WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 54 | 55 || 57 | 58 |   ...   | 82 |

По каждому из них с помощью МНК оцените модель AR(1). Проанализируйте распределение полученных оценок авторегрессионного параметра. Насколько велика дисперсия оценок и есть ли значимое смещение по сравнению с истинным параметром 1.2. Рассмотрите построение прогноза на 1 шаг вперед с помощью трех моделей: AR(1), AR(2) и модели линейного тренда. Для этого ряд следует разбить на 200 непересекающихся интервалов по 20 наблюдений. По каждому из этих интервалов с помощью МНК необходимо оценить каждую из трех моделей, построить прогноз и найти ошибку прогноза. Сравните среднеквадратические ошибки прогноза по трем моделям и сделайте выводы.

Упражнение Сгенерируйте 200 рядов длиной 20 наблюдений по модели AR(1) с авторегрессионным параметром 1 =(k - 1)/200, k =1,..., 200, с нормально распределенной неавтокоррелированной ошибкой и единичной дисперсией. По каждому ряду с помощью МНК оцените модель AR(1). Постройте график отклонения оценки от истинного значения параметра в зависимости от истинного значения параметра 1. Что можно сказать по этому графику о поведении смещения оценок в зависимости от 1 Подтверждается ли, что оценки смещены в сторону нуля и смещение тем больше, чем 1 ближе к единице Упражнение Сгенерируйте 200 рядов длиной 20 наблюдений по модели MA(2) с параметрами 1 = 0.5, 2 = 0.3 и нормально распределенной неавтокоррелированной ошибкой с единичной дисперсией.

3.1. Для каждого из рядов постройте выборочную автокорреляционную функцию для лагов 1, 2, 3. Рассмотрите распределение коэффициентов автокорреляции и сравните их с теоретическими значениями.

14.10 Упражнения и задачи 3.2. По каждому ряду на основе выборочных коэффициентов автокорреляции оцените модель MA(2), выбирая то решение квадратного уравнения, которое соответствует условиям обратимости процесса. Рассмотрите распределение оценок и сравните их с истинными значениями.

Упражнение Имеется информация о реальных доходностях ценных бумаг для трех фирм Blaster, Mitre, и Celgene (дневные доходности, приведенные к годовым). (См. табл.

14.1.) 4.1. Изобразите график ряда для каждой из фирм и кратко охарактеризуйте свойства ряда.

4.2. Для каждой из фирм посчитайте среднее по двум разным непересекающимся подпериодам. Проверьте гипотезу равенства двух средних, используя простой t-критерий.

4.3. Для каждой из фирм посчитайте дисперсию по тем же двум подпериодам.

Проверьте гипотезу равенства дисперсий, используя F -критерий. Какой вывод можно сделать относительно стационарности рядов 4.4. Для каждой из фирм рассчитайте выборочные автоковариации, автокорреляции и выборочные частные автокорреляции для лагов 0,..., 6. Постройте соответствующие графики. Оцените значения параметров p и q модели ARMA(p, q).

4.5. Оцените параметры и модели ARMA(p, q) для каждой фирмы.

4.6. Постройте прогнозы доходности ценных бумаг на основе полученных моделей на 6 дней вперед.

Упражнение Для данных по производству природного газа в СССР (табл. 12.2, с. 403) постройте модель ARIMA(p, d, q) и оцените доверительный интервал для прогноза на 5 шагов вперед.

Задачи 1. Записать с использованием лагового оператора случайный процесс:

а) xt = µ + 1xt-1 + 2xt-2 +... + pxt-p + t;

492 Глава 14. Линейные стохастические модели ARIMA Таблица 14.t Blaster Mitre Celgene t Blaster Mitre Celgene t Blaster Mitre Celgene 1 0.41634 0.12014 0.37495 43 2.26050 0.04130 1.26855 85 1.86053 1.29274 2.2 –0.23801 –0.05406 –0.18396 44 –2.67700 1.04649 –1.18533 86 –0.71307 0.01583 –0.3 0.29481 –0.32615 0.15691 45 3.59910 1.50975 1.83224 87 1.43504 2.43129 0.4 –0.61411 –0.29108 –0.40341 46 –1.91408 –0.78975 –0.08880 88 1.13397 0.92309 1.5 0.27774 –0.02705 0.05401 47 1.41616 0.89511 –0.57678 89 0.06334 –1.09645 –0.6 –0.40301 –0.78572 –0.11704 48 –0.13194 0.49100 1.61395 90 –0.42419 0.20130 –0.7 –0.45766 –1.29175 –0.75328 49 0.30387 –0.62728 –0.74057 91 0.56689 –1.83314 0.8 –0.89423 –2.42880 –0.73129 50 –0.40587 –0.53830 0.09482 92 –2.57400 –1.88158 –2.9 –1.88832 –1.67366 –1.96585 51 –0.31838 1.17944 –0.52098 93 0.59467 1.17998 0.10 –0.28478 2.05054 –0.33561 52 1.42911 0.42852 1.59066 94 –0.09736 –0.17633 0.11 1.58336 0.13731 1.85731 53 –1.06378 –0.62532 –0.95433 95 –0.32876 –0.36017 –1.12 –1.55354 –1.62557 –1.79765 54 0.83204 –1.31001 0.25028 96 0.31690 –0.82044 0.13 0.47464 0.40286 –0.12857 55 –2.19379 –1.15293 –1.40754 97 –1.38083 –1.70314 –1.14 –0.35276 –0.60609 0.58827 56 0.77155 –0.56983 –0.01986 98 –0.36896 1.23095 –0.15 –0.54645 0.32509 –1.19108 57 –1.72097 0.12615 –0.77365 99 1.17509 0.94729 1.16 1.00044 –0.02063 1.21914 58 1.49679 –0.37488 0.48386 100 –0.47758 1.29398 –0.17 –1.26072 0.59998 –1.11213 59 –1.90651 0.63942 –0.99107 101 2.24964 0.14180 1.18 2.05555 1.71220 1.51049 60 2.46331 0.47653 1.36935 102 –1.87715 –0.80889 –1.19 –0.37029 1.48972 0.48379 61 –1.94601 0.52649 –0.69769 103 1.42413 0.46915 0.20 2.20692 2.90700 1.21797 62 2.61428 2.10024 1.16649 104 –1.04233 1.22177 0.21 1.26647 1.98764 2.19226 63 –0.29189 0.75862 1.24826 105 2.09249 1.09135 0.22 1.25773 1.16628 0.60026 64 1.28001 0.44524 –0.08931 106 –0.65041 0.10892 0.23 0.88074 –1.06153 1.25668 65 –0.12871 –1.52804 0.85085 107 1.02974 –1.06781 0.24 –1.52961 –1.80661 –1.52435 66 –1.39518 –1.76352 –1.92776 108 –1.75288 –0.89211 –0.25 –0.04273 1.19855 –0.15779 67 –0.25838 –0.16521 –0.01712 109 0.65799 0.73063 –0.26 0.72479 0.76704 1.33383 68 –0.58997 0.26832 –0.30668 110 –0.17125 –0.07063 0.27 –0.18366 0.18001 –0.56059 69 0.57022 –0.32595 0.19657 111 –0.08333 0.45717 –0.28 0.79879 0.50357 0.61117 70 –0.90955 0.05597 –0.70997 112 0.81080 0.32701 1.29 –0.21699 1.20339 0.12349 71 0.97552 0.40011 0.58198 113 –0.58788 –0.50112 –0.30 1.55485 1.29821 1.23577 72 –0.64304 –0.27051 –0.11007 114 0.33261 1.75660 0.31 –0.01895 0.57772 0.41794 73 0.42530 0.30712 –0.17654 115 1.37591 0.46400 1.32 0.99008 0.30803 0.46562 74 –0.02964 –0.43812 0.48921 116 –0.84495 –2.36130 –0.33 –0.32137 –0.55553 0.21106 75 –0.50316 –0.19260 –0.82995 117 –0.99043 –0.78306 –1.34 –0.12852 –1.63234 –0.49739 76 0.41743 0.35469 0.50887 118 –0.04455 –0.13031 0.35 –1.43837 –0.79997 –1.10015 77 –0.26740 –0.43595 –0.10447 119 –0.70314 –1.05764 –0.36 0.28452 0.83711 0.05172 78 –0.10744 –0.69389 –0.39020 120 –0.43426 –0.38007 –0.37 0.14292 1.01700 0.54283 79 –0.56917 0.77134 –0.37322 121 –0.13906 0.42198 0.38 0.78978 0.93925 0.33560 80 1.14361 0.19675 1.03231 122 0.27676 –1.59661 0.39 0.48850 –0.73179 0.65711 81 –0.99591 0.28117 –0.74445 123 –1.86932 –0.04115 –1.40 –0.96077 0.31793 –1.09358 82 1.49172 0.62375 0.92118 124 1.74776 2.69062 1.41 1.45039 –1.34070 1.42896 83 –0.83109 –0.96831 –0.06863 125 0.52476 1.04090 1.42 –2.99638 –0.75896 –2.47727 84 –0.00917 1.77019 –0.81888 126 0.86322 0.23965 –0.14.10 Упражнения и задачи Таблица 14.1.

(продолжение) t Blaster Mitre Celgene t Blaster Mitre Celgene t Blaster Mitre Celgene 127 0.12222 1.31876 0.60471 169 –2.20714 –0.41948 –0.27731 211 1.51485 –0.97684 0.128 1.30642 0.45303 1.17204 170 1.83600 –1.04210 –0.00317 212 –2.50036 –1.13180 –1.129 –0.57192 0.41682 –0.26719 171 –2.62281 0.90594 –0.89549 213 1.32618 1.48218 0.130 1.30327 0.32936 0.87774 172 3.12742 –0.71167 1.64780 214 –0.16750 0.39183 1.131 –0.84416 0.61935 –0.20724 173 –3.79724 –0.02254 –2.18906 215 0.42028 –0.52533 –0.132 1.58641 0.83562 0.93209 174 3.80089 2.35129 1.77382 216 –0.42438 –1.01260 0.133 –0.58774 0.34732 0.17484 175 –1.54768 –0.64010 0.83427 217 –0.74802 –0.83307 –0.134 1.12133 –0.03793 0.34328 176 1.05327 –1.19450 –1.29993 218 –0.18508 –0.07511 –0.135 –0.88277 –0.54302 –0.15044 177 –1.57945 0.55914 0.11559 219 –0.27858 0.72752 –0.136 0.33158 –1.70839 –0.28336 178 1.54446 0.18847 0.55672 220 0.87498 –1.35822 0.137 –2.03067 –1.22414 –1.43274 179 –1.28825 0.66119 –0.37065 221 –2.18781 –1.93248 –2.138 0.43818 –0.54955 –0.13700 180 1.94968 0.46034 0.92503 222 0.29517 –0.01706 –0.139 –1.44659 –0.53705 –0.71974 181 –1.29186 –0.82241 –0.26353 223 –0.87564 –2.02272 0.140 0.56263 1.64035 –0.26807 182 0.58699 –1.93992 –0.48556 224 –1.55568 0.90288 –2.141 0.96118 1.70204 1.61264 183 –2.43099 –0.43524 –1.43990 225 2.33976 1.99827 2.142 0.71138 0.30461 0.25218 184 1.49486 –0.15310 0.67209 226 –0.86069 –0.33414 –0.143 0.25957 –0.42989 0.26638 185 –2.02672 –0.86983 –1.00252 227 1.13389 –0.46117 –0.144 –0.39911 1.64975 –0.31866 186 1.01176 0.74648 –0.28958 228 –1.28321 1.37416 –0.145 2.09642 2.59804 2.14297 187 –0.32973 0.50541 0.83129 229 2.46195 0.98181 1.146 0.55396 2.44417 0.91428 188 0.60712 –1.01920 –0.30054 230 –1.33630 0.18633 –0.147 2.59219 0.87112 1.93566 189 –1.24396 –0.47570 –0.74958 231 1.88226 0.65077 0.148 –0.92353 –1.59130 –0.23407 190 0.61988 0.73345 0.21236 232 –0.96236 0.01818 0.149 –0.06896 –2.00737 –0.80695 191 –0.09182 1.10966 0.49188 233 0.99833 0.56680 –0.150 –1.90109 –0.21639 –0.97295 192 1.14494 –0.35472 0.60138 234 –0.15850 0.72097 0.151 1.04222 0.08106 0.52037 193 –1.15962 –0.25419 –0.80978 235 0.79860 0.01263 0.152 –1.32252 –1.41365 –0.69199 194 1.05295 0.23071 0.57739 236 –0.44636 0.10951 –0.153 –0.15447 0.10208 –1.09443 195 –0.92113 –0.21711 –0.17697 237 0.60990 –0.43066 0.154 0.16722 0.11579 0.87557 196 0.66513 0.87219 –0.07976 238 –0.97024 –0.33060 –0.155 –0.45657 –0.63291 –0.78207 197 0.28363 1.51583 0.92934 239 0.58530 1.47322 0.156 0.00584 –0.89310 –0.08703 198 1.19450 0.91161 0.75373 240 0.78037 –0.52826 1.157 –1.05101 0.07757 –0.86295 199 0.17008 0.90071 0.41868 241 –1.25522 –0.88925 –1.158 0.93651 –0.18388 0.70155 200 1.08470 –0.51061 0.82681 242 0.72438 –1.90852 0.159 –1.32255 –1.33106 –0.91757 201 –1.27643 –0.82689 –0.90190 243 –2.97849 –1.06136 –2.160 0.01609 0.35961 –0.66348 202 0.57728 0.16717 0.14775 244 1.61219 1.26234 0.161 0.15497 3.33824 0.82107 203 –0.61943 0.62127 0.07797 245 –0.92336 –0.22703 0.162 2.87330 0.51674 2.49646 204 1.06910 1.37518 0.45461 246 0.60912 1.03409 –0.163 –1.82484 0.42367 –1.53503 205 0.47147 –0.10956 0.94669 247 0.78275 –0.54114 1.164 3.02300 0.22201 2.08618 206 –0.36583 1.29469 –0.80073 248 –1.45383 –0.91160 –1.165 –2.73530 0.34709 –1.13867 207 2.02680 1.27776 2.17034 249 0.90928 2.84407 0.166 3.23531 0.78318 1.51341 208 –0.75375 –0.42283 –0.35325 250 1.53899 1.62233 2.167 –2.32656 0.76416 –0.36499 209 0.86800 –0.58282 0.168 3.15157 0.54297 1.16592 210 –1.27776 0.43351 –0.494 Глава 14.

Линейные стохастические модели ARIMA б) xt = µ + t + 1t-1 + 2t-2 +... + qt-q;

в) xt = µ+1xt-1 +2xt-2 +...+pxt-p +t +1t-1 +2t-2 +...+qt-q.

2. Вывести формулы для вычисления математического ожидания, дисперсии и ковариаций случайного процесса xt = µ + t + it-i при условии его i=слабой стационарности, если t — белый шум с дисперсией 2 и математического ожидания E(txt-k) =0, |k| 1.

3. Вывести формулы для вычисления математического ожидания, дисперсии и ковариаций случайного процесса xt = µ + 1xt-1 + t при условии его слабой стационарности, если t — белый шум с дисперсией 2.

4. Обосновать утверждение о том, что модель авторегрессии является частным случаем модели линейного фильтра.

5. Записать случайный процесс xt =0.2+0.6xt-1 + t с использованием лагового оператора и виде процесса скользящего среднего бесконечного порядка.

6. При каких условиях процесс AR(1) стационарен и обратим 7. Задана модель: xt =0.25xt-1 +t, гд е t — белый шум. Дисперсия процесса xt равна единице. Вычислить дисперсию белого шума.

8. Чему равна дисперсия Марковского процесса xt =0.5xt-1 +t, если дисперсия белого шума равна 1 Изобразить график автокорреляционной функции данного процесса.

9. Для процесса xt = -0.7 - 0.7xt-1 + t, гд е t — белый шум, рассчитать частную автокорреляционную функцию, вычислить первые 6 значений автокорреляционной функции и начертить ее график.

10. Для модели AR(1): xt = µ +0.5xt-1 + t показать, что частная автокорреляционная функция 1,1 =0.5, k,k =0 при k 2.

11. Даны два марковских процесса:

xt =0.5xt-1 + t; yt =0.2yt-1 + t.

Дисперсия какого процесса больше и во сколько раз 12. Найти математическое ожидание, дисперсию и ковариации случайного процесса xt, если t — белый шум с единичной дисперсией.

а) xt =0.1+0.9xt-1 + t; б) xt = -0.2xt-1 + t.

13. Найти спектр процесса xt = t +0.1t-1 +0.01t-2 +....

14.10 Упражнения и задачи 14. Корень характеристического уравнения, соответствующего процессу Маркова, равен 2, остаточная дисперсия равна 1. Найти значение спектра на частоте 0.5.

15. Имеется ли разница в графиках спектра для процессов xt = 0.9xt-1 + t и xt =0.2xt-1 + t Если да, то в чем она выражается 16. Корни характеристических уравнений, соответствующих двум марковским процессам, равны +1.25 и -1.25. В чем отличие процессов и как это различие отражается на графиках спектра и автокорреляционной функции 17. Пусть t — белый шум с единичной дисперсией. Найти математическое ожидание, дисперсию и ковариации случайного процесса:

а) xt =1 +0.5xt-1 + t; б) xt =0.5xt-1 + t.

18. Проверить на стационарность следующие процессы:

а) xt - 0.4xt-1 - 0.4xt-2 = t; б) xt +0.4xt-1 - 0.4xt-2 = t;

в) xt - 0.4xt-1 +0.4xt-2 = t.

Изобразить схематически графики автокорреляционной функции этих процессов. Проверить правильность выводов с помощью точного вычисления автокорреляционной функции для каждого из процессов.

19. Корни характеристического уравнения для процесса Юла равны, соответственно, 5 и -5. Изобразить график автокорреляционной функции. Дать обоснование.

20. Корни характеристического уравнения, соответствующего процессу Юла, равны 1.9 и -1.3. Изобразить график автокорреляционной функции этого процесса. Ответ обосновать.

21. Коэффициенты автокорреляции первого и второго порядка в процессе Юла равны, соответственно, 0.5 и 0.4. Оценить параметры процесса. Найти дисперсию белого шума, если дисперсия процесса равна 1.

22. При каких значениях 2 следующие случайные процессы являются стационарными в широком смысле а) xt = xt-1 + 2xt-2 + t; б) xt = -xt-1 + 2xt-2 + t.

Вывести автокорреляционные функции данных случайных процессов при 2 = -0.5.

23. Параметры 1 и 2 процесса AR(2) равны, соответственно, 0.6 и -0.2.

Каковы первые три значения автокорреляционной функции 496 Глава 14. Линейные стохастические модели ARIMA 24. Для процесса xt = 0.5xt-1 +0.25xt-2 + t коэффициенты автокорреля 2 ции первого и второго порядка равны, соответственно, и Найти 3 12.

коэффициент автокорреляции четвертого порядка.

25. Пусть процесс AR(2) xt = 1xt-1 + 2xt-2 + t является стационарным в широком смысле, и t — белый шум с дисперсией 2. Показать, что частная автокорреляционаня функция 1 22 + 2(1 - 2)1, 1 =, 2, =, 1 - 2 2 (1 - 1 - 2)(1 + 1 - 2) k, k =0, при k 3.

26. По известным значениям частной автокорреляционной функции 1, 1 =0. и 2, 2 = случайного процесса найти значения коэффициентов автокорреляции первого и второго порядка.

27. Пусть процесс AR(p) является стационарным в широком смысле. Показать, что частная автокорреляционаня функция p+1,p+1 =0.

Pages:     | 1 |   ...   | 54 | 55 || 57 | 58 |   ...   | 82 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.