WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 53 | 54 || 56 | 57 |   ...   | 82 |

Некоторую сложность представляет интерпретация ARIMA(p, d, q) в вид е мод ели линейного фильтра, поскольку ряд модулей коэффициентов такого разложения является расходящимся. Однако это только технические сложности обоснования формул (в которые мы не будем вдаваться), а сами формулы фактически не меняются.

Таким образом, отвлекаясь от технических тонкостей, можем записать ARIMA(p, d, q) ввид еMA():

(L) xt = t = t + 1t-1 + 2t-2 +... = (L)t. (14.68) f(L) Функцию реакции на импульсы можно рассчитать по рекуррентной формуле p+d i = fji-j - i, (14.69) j=14.8. Прогнозирование по модели Бокса—Дженкинса где 0 =1, i =0 при i <0 и i =0 при i >q.

Кроме того, прогнозы xt() можно вычислять по рекуррентной формуле, которая получается из (14.67) по аналогии с (14.65):

p+d q xt() = = fjxt+ -j + - jt+ -j, (14.70) xt+ t+ j=1 j=где условные математические ожидания xt+i = E[xt+i|t] и t+i = E[t+i|t] рассчитываются по тому же принципу, что и в (14.65).

Таким образом, для прогнозирования в модели ARIMA можно использовать формулы (14.70), (14.8) и (14.66), где коэффициенты i рассчитываются в соответствии с (14.69).

Альтернативный подход к прогнозированию в модели ARIMA(p, d, q) состоит в том, чтобы сначала провести необходимые вычисления для wt = (1 - L)dxt, т.е. процесса ARMA(p, q), который лежит в основе прогнозируемого процесса ARIMA(p, d, q), а потом на их основе получить соответствующие показатели для xt.

Так, (14.70) можно записать в виде E[f(L)xt+ |t] =E[(L)(1 - L)dxt+ |t] =E[(L)t+ |t], т.е.

E[(L)wt+ |t] =E[(L)t+ |t] или (L)wt+ = (L).

t+ Здесь по аналогии wt+i = E[wt+i|t], причем wt+i = wt(i) (равно прогнозу) при i >0 и wt+i = wt+i (равно значению самого ряда) при i 0.

Отсюда видно, что можно получить сначала прогнозы для процесса wt по формулам (14.65), заменив xt на wt, а затем применить к полученным прогнозам оператор Sd =(1 - L)-d, т.е. попросту говоря, просуммировать такой ряд d раз, добавляя каждый раз нужную константу суммирования. В частности, при d = получаем i xt(i) =xt + wt(j).

j=Далее, (L) можно записать в виде (L) (L) (L) = =(1 - L)-d =(1 - L)-dw(L) =Sdw(L).

f(L) (L) 482 Глава 14. Линейные стохастические модели ARIMA Здесь w(L) = (L)/(L) — оператор представления MA( ) д ля wt. Таким w образом, коэффициенты i можно рассчитать из коэффициентов i. Например, при d =1 получаем i w i = j.

j=Получение общих формул для прогнозирования в модели ARIMA с помощью решения разностных уравнений Формула (14.70) представляет собой разностное уравнение для xt+, решив которое получаем в явном виде общую формулу прогноза. Проиллюстрируем этот прием на примере процесса ARIMA(1, 1, 1), для которого f1 =1 +1, f2 = -1:

xt+ =(1 +1)xt+-1 - 1xt+-2 + t+ - 1t+-1. (14.71) Берем условное математическое ожидание от обеих частей равенства (14.71), получаем точечные прогнозы на 1, 2,..., шагов вперед.

xt(1) = (1 + 1)xt - 1xt-1 - 1t, xt(2) = (1 + 1)xt(1) - 1xt, xt(3) = (1 + 1)xt(2) - 1xt(1),.

.

.

xt() =(1 +1)xt( - 1) - 1xt( - 2), > 2.

Мы видим, что начиная с > q =1 природу прогнозирующей функции определяет только оператор авторегрессии:

xt+ =(1 +1) - 1xt+-2, > 1.

xt+-Общее решение этого разностного уравнения имеет следующий вид:

xt+ = A0 + A1.

Чтобы вычислить неизвестные коэффициенты, необходимо учесть, что xt = xt и xt+1 = xt(1) = (1 + 1)xt - 1xt-1 - 1t. Получается система уравнений:

A0 + A1 = xt, A0 + A11 =(1 +1)xt - 1xt-1 - 1t, из которой находятся A0 и A1.

14.8. Прогнозирование по модели Бокса—Дженкинса Точно так же можно рассматривать формулу (14.69) как разностное уравнение, решая которое относительно i, получим в явном виде общую формулу для функции реакции на импульсы. По формуле (14.69) получаем 0 =1, 1 =(1 +1)0 - 1 =1 +1 - 1, 2 =(1 +1)1 - 10,.

.

.

i =(1 +1)i-1 - 1i-2, i > 1.

Легко показать, что решение этого разностного уравнения имеет следующий общий вид:

i = B0 + B1i, 1 - 1 1 - где B0 =, B1 =1 - B0 =. С учетом этого модель ARIMA(1, 1, 1) 1 - 1 1 - представляется в виде:

xt = B0 + B1i t-i.

i=Используя полученную формулу для коэффициентов i, найдем также дисперсию прогноза:

-2 -2 p = 2 = 1 - 1 +(1 - 1) i.

i (1 - 1)i=0 i=Отметим, что в пределе слагаемые стремятся к положительному числу 1 - 1.

Это означает, что с ростом горизонта прогноза дисперсия (а, следовательно, ширина прогнозного интервала) неограниченно возрастает. Такое поведение дисперсии связано с тем, что рассматриваемый процесс является нестационарным.

Прогнозирование по модели Бокса—Дженкинса в конечных выборках Выше мы предполагали, что в момент t известна полная предыстория t =(xt, xt-1,... ). Фактически, однако, человеку, производящему прогноз, известен только некоторый конечный ряд (x1,..., xt). В связи с этим для практического использования приведенных формул, требуется внести в них определенные поправки.

484 Глава 14. Линейные стохастические модели ARIMA В частности, параметры модели на практике не известны, и их требуется оценить. Это вносит дополнительную ошибку в прогноз.

Кроме того, ошибки t, вообще говоря, неизвестны, и вместо них в выражении (14.65) следует использовать остатки et, полученные в результате оценивания модели. При наличии в модели скользящего среднего (т.е. при q > 0) ошибки не выражаются однозначно через наблюдаемый ряд {xt} и требуется использовать какое-то приближение. Наиболее простой метод состоит в том, чтобы положить остатки et при t 0 равными нулю, а остальные остатки вычислять рекуррентно, пользуясь формулой p+d q t = xt - fjxt-j + jt-j, j=1 j=где вместо ошибок t используются остатки et, а вместо неизвестных истинных параметров fj и j —их оценки.

Из-за того, что параметры не известны, а оцениваются, дисперсия ошибки прогноза будет выше, чем следует из (14.8). Имея некоторую оценку ковариационной матрицы оценок параметров, можно было бы внести приблизительную поправку, но эти расчеты являются достаточно громоздкими.

Далее, расчеты дисперсии прогноза с использованием (14.8) сами по себе являются приближенными, поскольку встречающиеся там величины приходится оценивать. Это относится и к функции реакции на импульсы i, и к дисперсии ошибки.

Приложение.

Неоптимальность линейных прогнозов в модели ARMA То, что ошибка t представляет собой белый шум (т.е. ошибки некоррелированы, имеют нулевое математическое ожидание и одинаковую дисперсию), не подразумевает, что E (t+k|t) =0 при k >0. Поэтому в общем случае прогнозная функция, полученная по формуле (14.64) (или, эквивалентно, (14.65)) не будет оптимальной в среднеквадратическом смысле. Однако она, как было показано, является оптимальной среди линейных прогнозных функций. Кроме того, если ошибки независимы, то требуемое свойство выполнено. В частности, оно верно для гауссовского белого шума, т.к. для гауссовских процессов некоррелированность эквивалентна независимости.

Рассмотрим в качестве примера неоптимальности прогноза (14.64) следующий процесс {t}. Значения, соответствующие четным t независимы и распределены как N(0; 1). При нечетных же t значения определяются по формуле 2 - t-t =.

14.9. Модели, содержащие стохастический тренд Таким образом, при нечетных t значения ряда полностью предопределены предысторией. Несложно проверить, что данный процесс представляет собой белый шум.

Он имеет нулевое математическое ожидание, единичную дисперсию и не автокоррелирован. Если же построить на основе такого белого шума марковский процесс xt = 1xt-1 + t, то при нечетных t оптимальным прогнозом на один шаг вперед будет не 1xt-1, а 1xt-1 + 2 - 1 / 2, причем прогноз будет безошибочным.

t-При четных же t стандартная формула будет оптимальной.

Приведенный пример наводит на мысль о том, что во многих случаях можно подобрать нелинейную прогнозную функцию, которая позволяет сделать более точный прогноз, чем полученная нами оптимальная линейная прогнозная функция.

В качестве менее экзотического примера можно привести модели с авторегрессионной условной гетероскедастичностью, о которых речь идет в одной из последующих глав.

14.9. Модели, содержащие стохастический тренд Модели со стохастическим трендом можно отнести к классу линейных нестационарных моделей ARIMA(p, d, q), но они имеют свои особенности.

Рассмотрим эти модели.

1. Модель случайного блуждания (The Random Walk Model).

Эта модель является частным случаем модели AR(1) с единичным корнем:

xt = xt-1 + t. (14.72) Если начальное условие x0 известно, общее решение может быть представлено ввид е t xt = x0 + i.

i=Безусловное математическое ожидание: E(xt) =E(xt+k) =x0.

Условное математическое ожидание:

k t E(xt+k|t) =E((xt + t+i)|t) =xt = x0 + i.

i=1 i=Таким образом, условное математическое ожидание E(xt+k|t) обязательно t включает в себя случайную компоненту, равную i, которую называют стоi=хастическим трендом.

486 Глава 14. Линейные стохастические модели ARIMA Для любых значений k влияние каждой ошибки на последовательность {xt} со временем не исчезает.

2 Безусловная дисперсия: var(xt) =t, var(xt+k) =(t + k).

k Условная дисперсия: var(xt+k|t) =var((xt + t+i)|t) =k.

i=Таким образом, и безусловная, и условная дисперсии зависят от времени, что свидетельствует о нестационарности процесса случайного блуждания.

Этот вывод подтверждается расчетом коэффициентов автоковариации и автокорреляции, которые также зависят от времени:

k = cov(xt, xt+k) =E((xt - x0)(xt+k - x0)) = = E((1 +... + t)(1 +... + t+k)) = E(2 +... + 2) =t ·.

1 t Тогда t t k = =.

2 t + k t(t + k) В практических ситуациях нередко модель случайного блуждания используется для описания динамики темпов роста.

В модели случайного блуждания первая разность xt = t — чисто случайный процесс, следовательно, эта модель может быть интерпретирована как ARIMA(0, 1, 0).

2. Модель случайного блуждания с дрейфом (The Random Walk plus Drift Model).

Эта модель получается из модели случайного блуждания добавлением константы a0:

xt = xt-1 + a0 + t. (14.73) Общее решение для xt при известном x0:

t xt = x0 + a0t + i.

i=Здесь поведение xt определяется двумя нестационарными компонентами: линейt ным детерминированным трендом a0t и стохастическим трендом i.

i=Ясно, что динамику ряда определяет детерминированный тренд. Однако не следует думать, что всегда легко различить процесс случайного блуждания и процесс случайного блуждания с дрейфом.

14.9. Модели, содержащие стохастический тренд На практике многие ряды, включая предложение денег и реальный ВНП, ведут себя как процесс случайного блуждания с дрейфом.

Заметим, что первая разность ряда стационарна, т.е. переход к первой разности создает стационарную последовательность: {xt} = {a0 + t} с математическим ожиданием, равным a0, дисперсией и k =0 для всех t, следовательно, это тоже ARIMA(0, 1, 0).

3. Модель случайного блуждания с шумом (The Random Walk plus Noise Model).

Эта модель представляет собой совокупность стохастического тренда и компоненты белого шума. Формально модель описывается двумя уравнениями:

xt = µt + t, (14.74) µt = µt-1 + t, где {t} — белый шум с распределением N(0, ), t и t независимо распределены для всех t и k: E(t, t-k) =0.

Общее решение системы (14.74) имеет вид:

t xt = µ0 + i + t.

i=Легко убедиться в том, что все моменты второго порядка зависят от времени:

2 var(xt) =t +, k = cov(xt, xt+k) =E((1 +... + t + t)(1 +... + t-k + t)) = t, t k =.

2 2 2 (t + )((t + k) + ) Следовательно, процесс 14.74 нестационарен. Но первая разность этого процесса xt = t +t стационарна с параметрами:

E(xt) =E(t +t) =0, var(xt) =E((xt)2) =E((t +t)2) = 2 2 2 2 = +2E(tt) +E(t - 2tt-1 + t-1) = +2, 1 = cov(xt, xt-1) =E((t + t - t-1)(t-1 + t-1 - t-2)) = -, k = cov(xt, xt-k) =E((t + t - t-1)(t-k + t-k - t-k-1)) = 0, k > 1.

Таким образом, первые разности ведут себя как MA(1)-процесс, а модель случайного блуждания с шумом можно квалифицировать как ARIMA(0, 1, 1).

488 Глава 14. Линейные стохастические модели ARIMA 4. Модель общего тренда с нерегулярностью (The General Trend plus Irregular Model).

Эта модель содержит детерменированный и стохастический тренды, а также MA(q)-ошибку. Частный ее вариант:

xt = µt + t, (14.75) µt = µt-1 + a0 + t.

t Решением (14.75) является модель общего тренда a0t + i с шумом:

i=t xt = µ0 + a0t + i + t.

i=Первая разность этой модели отличается от предыдущего варианта на константу a0: xt = a0 + t +t. Поэтому E(xt) =a0, 2 var(xt) = +2, 1 = -, k =0, k > 1.

Следовательно, модель общего тренда с шумом — это также ARIMA(0, 1, 1).

В более общей постановке эта модель формулируется при помощи оператора (L):

t xt = µ0 + a0t + i + (L)t.

i=5. Модель локального линейного тренда (The Local Linear Trend Model).

Пусть {t}, {t} и {t} — три взаимно некоррелированных процесса белого шума. Тогда модель представляется следующими уравнениями:

xt = µt + t, µt = µt-1 + at + t, (14.76) at = at-1 + t.

Легко показать, что рассмотренные ранее модели являются частными случаями данной модели.

14.9. Модели, содержащие стохастический тренд Для нахождения решения выражаем at из последнего уравнения системы (14.76):

t at = a0 + i.

i=Этот результат используется для преобразования µt:

t µt = µt-1 + a0 + i + t.

i=Далее, t t- µt = µ0 + i + a0t + (t - j)j+1.

i=1 j=Наконец, находим решение для xt:

t t- xt = µ0 + i + a0t + (t - j)j+1 + t.

i=1 j=Каждый элемент в последовательности {xt} содержит детерминированный тренд, причем весьма специфического вида, стохастический тренд и шум t.

Модель локального линейного тренда ведет себя как ARIMA(0, 2, 2). Действительно, первые разности процесса xt = at + t +t нестационарны, поскольку at — процесс случайного блуждания. Однако, вторая разность 2xt = t +t +2t уже стационарна и имеет с параметры:

E(2xt) =0, 2 2 var(2xt) = + +6, 2 1 = - - 4, 2 =.

Все остальные коэффициенты автоковариации k для k >2 равны нулю.

490 Глава 14. Линейные стохастические модели ARIMA 14.10. Упражнения и задачи Упражнение Сгенерируйте ряд длиной 4000 наблюдений по модели AR(1) с параметром =0.5 и нормально распределенной неавтокоррелированной ошибкой с единичной дисперсией, предполагая что значение ряда в момент t =0 равно нулю. В действительности вид модели неизвестен, а задан только ряд.

1.1. Разбейте ряд на 200 непересекающихся интервалов по 20 наблюдений.

Pages:     | 1 |   ...   | 53 | 54 || 56 | 57 |   ...   | 82 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.