WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 52 | 53 || 55 | 56 |   ...   | 82 |

T -1 T -2 T -3 · · · Несложно убедиться, что обратная к R матрица имеет вид:

1 - 0 · · · 0 - (1 + 2) - · · · 0 0 - (1 + 2) · · · 0 R-1 =.

.....

.

......

.

.....

0 0 0 · · · (1 + 2) 0 0 0 · · · - Матрицу R-1 легко представить в виде произведения: R-1 = D D, где - 2 0 0 · · · - 1 0 · · · D =.

0 - 1 · · ·....

.

.....

.

....

0 0 0 · · · Далее можем использовать полученную матрицу D для преобразования в пространстве наблюдений:

Z = DZ, X = DX, (14.63) тогда полученные в преобразованной регрессии с помощью обычного МНК оценки будут оценками обобщенного МНК для исходной регрессии:

aОМНК =(Z Z)-1Z X.

472 Глава 14. Линейные стохастические модели ARIMA 0.0.0.0.0.0.0.0.0 50 100 150 200 0 50 100 150 Рис. 14.6. Автокорреляционная функция интегрированного процесса (слева) и стационарного процесса (справа) Они будут обладать не только свойством состоятельности, но и свойством эффективности.

К примеру, для парной регрессии xt = zt + wt, где w = wt-1 + t, преобразование (14.63) приводит к уравнениям 1 - 2x1 = 1 - 2z1 + и xt - xt-1 = (zt - zt-1) +, t > 1, t для оценивания которых при данном применим обычный МНК.

После получения эффективных оценок параметров регрессии можно пересмотреть оценки параметров процесса ARMA. Можно продолжать такие итерации и далее до тех пор, пока не будет достигнута требуемая сходимость (см. метод Кочрена—Оркатта, описанный в п. 8.3).

Распознавание порядка модели Сначала вычисляются разности исходного ряда до тех пор, пока они не окажутся стационарными относительно математического ожидания и дисперсии, и отсюда получают оценку d.

Если процесс является интегрированным, то его выборочная автокорреляционная функция затухает медленно, причем убывание почти линейное. Если же автокорреляционная функция затухает быстро, то это является признаком стационарности. В качестве примера на рисуке 14.6 слева изображена коррелограмма 14.7 Оценивание, распознавание и диагностика модели ARIMA ряда длиной в 1000 наблюдений, полученного по модели ARIMA(3, 1, 2), заданной уравнением (14.53). Справа на том же рисунке изображена коррелограмма первых разностей того же ряда, которые подчиняются стационарной модели ARMA(3, 2), заданной уравнением (14.54).

Формальные критерии выбора d рассматриваются в пункте 17.4.

Следует понимать, что достаточно сложно отличить процесс, который имеет единичный корень, от стационарного процесса, в котором есть корень близкий к единице.

Если d окажется меньше, чем требуется, то дальнейшее оценивание будет применяться к нестационарному процессу, что должно проявиться в оценках параметров авторегрессии — в сумме они будут близки к единице. Если d окажется больше, чем требуется, то возникнет эффект избыточного взятия разности (overdifferencing), который проявляется в том, что в характеристическом уравнении скользящего среднего появляется единичный корень. Это может создать трудности при оценивании скользящего среднего.

Для выбора порядка авторегрессии можно использовать выборочную частную автокорреляционную функцию. Как известно, теоретическая частная автокорреляционная функция процесса AR(p) обрывается на лаге p. Таким образом, p следует выбрать равным порядку, при котором наблюдается последнее достаточно большое (по модулю) значение выборочной частной автокорреляционной функции. Доверительные интервалы можно основывать на стандартной ошибке выборочного частного коэффициента автокорреляции, которая равна примерно для поT рядков выше p (для которых теоретическая автокорреляционная функция равна нулю).

Аналогично, для выбора порядка скользящего среднего можно использовать выборочную автокорреляционную функцию, поскольку теоретическая автокорреляционная функция процесса MA(q) обрывается на лаге q. Таким образом, q следует выбрать равным порядку, при котором наблюдается последнее достаточно большое (по модулю) значение выборочной автокорреляционной функции. Стандартная ошибка выборочного коэффициента автокорреляции тоже примерно равна.

T Более точная формула стандартной ошибки для автокорреляции порядка k ( k >q) T - k имеет вид (см. стр. 367).

T (T +2) Если же нет уверенности, что процесс является чистой авторегрессией или чистым процессом скользящего среднего, то эти методы не подходят. Но, по крайней мере, по автокорреляционной функции и частной автокорреляционной функции можно проследить, насколько быстро угасает зависимость в ряде.

474 Глава 14. Линейные стохастические модели ARIMA Порядок модели ARMA(p, q) можно выбирать на основе информационных критериев:

информационный критерий Акаике:

2(p + q + n +1) AIC =ln(s2) + ;

e T байесовский информационный критерий Шварца:

(p + q + n +1) lnT BIC =ln(s2) +.

e T Здесь s2 — остаточная дисперсия, рассчитанная по модели, n +1 относится e к дополнительным оцениваемым параметрам — константе и коэффициентам при факторах регрессии (14.60). Порядок (p, q) выбирается посредством перебора из некоторого множества моделей так, чтобы информационный критерий достигал минимума. Критерий Акаике нацелен на повышение точности прогнозирования, а байесовский критерий — на максимизацию вероятности выбора истинного порядка модели.

Можно также выбирать порядок по тому принципу, что остатки должны быть похожи на белый шум, для чего использовать проверку остатков на автокорреляцию. Если остатки автокоррелированы, то следует увеличить p или q.

Диагностика В основе модели ARIMA лежит предположение, что ошибки t являются белым шумом. Это предполагает отсутствие автокорреляции и гомоскедастичность ошибок. Для проверки ошибок на гомоскедастичность могут использоваться те же критерии, которые были рассмотрены ранее в других главах. Здесь мы рассмотрим диагностику автокорреляции ошибок.

Простейший способ диагностики — графический, состоящий в изучении коррелограммы и спектрограммы остатков. Кореллограмма должна показывать только малые, статистически незначимые значения автокорреляций. Спектрограмма должна быть достаточно «плоской», не иметь наклона и не содержать сильно выделяющихся пиков.

Для формальной проверки отсутствия автокорреляции ошибок можно использовать Q-статистику Бокса—Пирса и ее модификацию — статистику Льюнга— Бокса, которые основаны на квадратах нескольких ( m) первых выборочных коэффициентов автокорреляции9 (см. стр. 368).

При выборе числа m следует помнить, что при малом m, если имеется автокорреляция высокого порядка, критерий может не показать автокорреляцию. При большом же m присутствие значитель14.8. Прогнозирование по модели Бокса—Дженкинса Статистика Бокса—Пирса:

m Q = n rk.

k=Статистика Льюнга—Бокса:

m rk Q = n(n +2).

n - k k=Здесь в качестве rk следует использовать выборочные коэффициенты автокорреляции, рассчитанные на основе остатков et модели ARIMA:

n etet-k t=k+rk =.

n et t=Поскольку для вычисления rk используется не белый шум, а остатки, то асимптотическое распределение этих Q-статистик отличается от того, которое имеет место для истинного белого шума, на количество параметров авторегрессии и скользящего среднего, оцененных по модели, т.е. на величину (p + q). Обе статистики асимптотически распределены как 2. Как показали Льюнг и Бокс, предлоm-p-q женная ими модифицированная Q-статистика, которая придает меньший вес дальним автокорреляциям, имеет распределение, которое ближе аппроксимирует свой асимптотический аналог, поэтому более предпочтительно использовать именно ее.

Нулевая гипотеза состоит в том, что ошибка представляет собой белый шум (автокорреляция отсутствует). Если Q-статистика превышает заданный квантиль распределения хи-квадрат, то нулевая гипотеза отвергается и делается вывод о том, что модель некорректна. Возможная причина некорректности — неудачный выбор порядка модели (слишком малые значения p и q).

14.8. Прогнозирование по модели Бокса—Дженкинса Прогнозирование стационарного процесса ARMA Пусть для стационарного обратимого процесса ARMA вмомент t делается прогноз процесса x на шагов вперед, т.е. прогноз величины xt+. Для упрощения ных автокорреляций может быть не замечено при наличии большого числа незначительных. То есть мощность критерия зависит от правильного выбора m.

476 Глава 14. Линейные стохастические модели ARIMA рассуждений предположим, что при прогнозировании доступна вся информация о процессе x до момента t включительно, т.е. информация, на основе которой строится прогноз, совпадает с полной предысторией процесса t =(xt, xt-1,... ).

Заметим, что на основе (xt, xt-1,... ) можно однозначно определить ошибки (t, t-1,... ) и наоборот, поэтому при сделанных предположениях ошибки (t, t-1,... ) фактически входят в информационное множество. Кроме того, имея полную предысторию, можно точно вычислить параметры процесса, поэтому будем далее исходить из того, что параметры процесса нам известны.

Из теории прогнозирования известно, что прогнозом, минимизирующим средний квадрат ошибки, будет математическое ожидание xt+, условное относительно t, т.е. E (xt+ |t). Убедимся в этом, воспользовавшись представлением модели ARMA в виде модели линейного фильтра (разложением Вольда) (14.52) xt+ = t+ + 1t+-1 +... + -1t+1 + t + +1t-1 +..., где во вторую строчку вынесены слагаемые, относящиеся к предыстории; получим таким образом следующее представление условного математического ожидания:

E (xt+ |t) =E (t+ |t) +1E (t+ -1|t) +... + + -1E (t+1|t) + t + +1t-1 +....

Вторую строчку формулы пишем без оператора условного математического ожидания, поскольку соответствующие слагаемые входят в предысторию t.

Будем предполагать, что условное относительно предыстории математическое ожидание будущих ошибок равно нулю, т.е. E (t+k|t) =0 при k >0. Этобуд ет выполнено, например, если все ошибки t независимы между собой. (Отсутствия автокорреляции тут недостаточно. В приложении приводится пример белого шума, для которого это неверно.) Тогда рассматриваемое выражение упрощается:

E (xt+ |t) = t + +1t-1 +..., что дает нам линейную по ошибкам формулу для оптимального прогноза:

xt () = t + +1t-1 +... = +it-i, (14.64) i=где мы обозначили через xt () прогноз на периодов, сделанный в момент t.

14.8. Прогнозирование по модели Бокса—Дженкинса Проверим, что эта прогнозная функция будет оптимальной (в смысле минимума среднего квадрата ошибки) среди линейных прогнозных функций, т.е. среди прогнозных функций, представимых в виде линейной комбинации случайных ошибок, входящих в предысторию:

xt() = t + +1t-1 + +2t-2 +... = +it-i.

i= Для этого найдем веса, +1, +2,..., которые обеспечивают минимум сред него квадрата ошибки. С учетом того, что xt+ = it+ -i, ошибка такого i=прогноза t() равна t() =xt+ - xt() = it+-i - +it-i = i=0 i=- = it+-i + (+i - +i)t-i, i=0 i=а средний квадрат ошибки прогноза (с учетом некоррелированности ошибок) равен - E[t()2] =E it+ -i + ( +i - +i)t-i = i=0 i= - = E i 2 + ( +i - +i)22 = t+-i t-i i=0 i= 2 2 2 2 = (1 + 1 + 2 +... + -1) + (+i - +i)2.

i= Очевидно, что средний квадрат ошибки достигает минимума при +i = +i иравен - 2 E[t()2] = 1+ i.

i=Ошибка такого прогноза рассчитывается по формуле - t() = it+ -i.

i=Из формулы видно, что эта ошибка проистекает из будущих ошибок t+k, которые в момент t еще неизвестны. Беря математическое ожидание от обеих частей, 478 Глава 14. Линейные стохастические модели ARIMA видим, что математическое ожидание ошибки прогноза равно нулю. Таким образом, прогноз, полученный по формуле (14.64), будет несмещенным.

Из несмещенности прогноза следует, что дисперсия ошибки прогноза равна среднему квадрату ошибки прогноза, т.е.

- 2 2 p = E[t()2] = 1+ i.

i=или - 2 2 p = i, i=где 0 =1.

Хотя представление в виде бесконечного скользящего среднего удобно для анализа прогнозирования, однако для вычисления прогноза предпочтительнее вернуться к исходному представлению модели ARMA в виде разностного уравнения (со сдвигом на периодов вперед):

xt+ = 1xt+-1 +... + pxt+-p + +t+ - 1t+-1 -... - qt+-q.

Возьмем от обеих частей уравнения условное относительно предыстории математическое ожидание:

xt() =E[xt+ |t] =1E[xt+-1|t] +... + pE[xt+-p|t] + + E[t+ |t] - 1E[t+-1|t] -... - qE[t+-q|t].

Введем более компактные обозначения:

E[xt+i|t] = E[xt+ |i] = xt+i, t+i.

В этих обозначениях xt() = = 1xt+ -1 +... + pxt+ -p + xt+ + - 1t+ -1 -... - qt+ -q. (14.65) t+ 14.8. Прогнозирование по модели Бокса—Дженкинса При вычислении входящих в эту формулу условных математических ожиданий используют следующие правила:

xt+i, i 0, xt+i = E[xt+i|t] = xt(i), i > 0, t+i, i 0, t+i = E[t+i|t] = 0, i > 0, дающие удобную рекуррентную формулу для вычисления прогнозов.

Для вычисления показателя точности прогноза (дисперсии ошибки прогноза или, что в данном случае то же самое, поскольку прогноз несмещенный, среднего квадрата ошибки прогноза), удобно опять вернутся к представлению модели в виде бесконечного скользящего среднего. Как мы видели, дисперсия ошибки прогно -1 2 за равна p = (1 + i ). Формулы для вычисления коэффициентов i i=скользящего среднего приведены на стр. 462.

Мы вывели формулы для расчета точечного прогноза по модели ARMA и дисперсии этого прогноза. Если дополнительно предположить, что ошибки t подчиняются нормальному закону (т.е. представляют собой гауссовский процесс), то можно получить также интервальный прогноз. При этом предположении при известных значениях процесса до момента t распределение будущего значения процесса xt+ (т.е. условное распределение xt+ |t) также будет нормальным со средним значением xt() и дисперсией p:

xt+ |t N xt(), p.

Учитывая это, получаем доверительный интервал для xt+, т.е. интервальный прогноз:

[xt() - 1-p, xt() +1-p], или -1 -2 xt() - 1- i=0 i, xt() +1- i=0 i, (14.66) где 1- — двусторонний (1 - )-квантиль стандартного нормального распределения. Это (1 - ) · 100-процентный доверительный интервал.

480 Глава 14. Линейные стохастические модели ARIMA Прогнозирование процесса ARIMA Для прогнозирования процесса ARIMA(p, d, q) при d >0 можно воспользоваться представлением его в виде ARMA(p + d, q):

f(L)xt = (L)t, где f(L) =1 - f1L - f2L2 -... - fp+dLp+d = (L)(1 - L)d, а коэффициенты f1, f2,..., fp+d выражаются через 1, 2,..., p. Вразвернутой записи p+d q xt = fjxt-j + t - jt-j. (14.67) j=1 j=Например, модель ARIMA(1, 1, 1), (1 - 1L)(1 - L)xt =(1 - 1L)t, можно записать в виде:

xt =(1 +1)xt-1 - 1xt-2 + t - 1t-1 = f1xt-1 + f2xt-2 + t - 1t-1, где f1 =1 +1, f2 = -1.

При расчетах можно использовать те же приемы, что и выше для ARMA.

Pages:     | 1 |   ...   | 52 | 53 || 55 | 56 |   ...   | 82 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.