WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 51 | 52 || 54 | 55 |   ...   | 82 |

dt Один из способов вычисления функции реакции на импульсы сводится к использованию уравнения (z)(z) =(z), или (1 - 1z - 2z2 -... - pzp)(1 + 1z + 2z2 +... ) =(1 - 1z -... - qzq), 14.6. Модель ARIMA из которого, приравнивая коэффициенты в левой и правой частях при одинаковых степенях z, можно получить выражения для i.

Более простой способ состоит в том, чтобы продифференцировать по t уравнение ARMA-процесса, сдвинутое на i периодов вперед, p q xt+i = jxt+i-j + t+i - jt+i-j, j=1 j=p dxt+i dxt+i-j = j - i, dt j=1 dt где 0 = -1 и j =0 при j >q. Таким образом, получим рекуррентную формулу для i = dxt+i/dt:

p i = ji-j - i.

j=При расчетах по этой формуле следует положить 0 =1 и i =0 при i <0.

Если процесс ARMA является обратимым5, то полученное представление в виде MA() является разложением Вольда этого процесса.

14.6. Модель авторегрессии — проинтегрированного скользящего среднего ARIMA Характерной особенностью стационарных процессов типа ARMA(p, q) является то, что корни i характеристического уравнения (L) =0 находятся вне единичного круга. Если один или несколько корней лежат на единичной окружности или внутри нее, то процесс нестационарен.

Теоретически можно предложить много различных типов нестационарных моделей ARMA(p, q), однако, как показывает практика, наиболее распространенным типом нестационарных стохастических процессов являются интегрированные процессы или, как их еще называют, процессы с единичным корнем. Единичным называют корень характеристического уравнения, равный действительной единице: i =1.

Разложение Вольда необратимого процесса, у которого некоторые корни характеристического уравнения по модулю больше единицы, такое же, как у эквивалентного обратимого процесса. Ошибки однопериодных прогнозов, лежащие в основе разложения Вольда, при этом не будут совпадать сошибкамимод ели t.

464 Глава 14. Линейные стохастические модели ARIMA мнимая часть действительная часть ––Рис. 14.5. Корни характеристического уравнения процесса xt =2.8xt-1 - 3.1xt-2 +1.7xt-3 - 0.4xt-4 + t +0.5t-1 - 0.4t-на комплексной плоскости Рассмотрим в качестве примера следующий процесс ARMA(4, 2):

xt =2.8xt-1 - 3.1xt-2 +1.7xt-3 - 0.4xt-4 + t +0.5t-1 - 0.4t-2. (14.53) Характеристическое уравнение этого процесса имеет следующие корни: 1 =1 + + i, 2 = 1 - i, 3 = 1.25, 4 = 1. Все корни лежат за пределами единичного круга, кроме последнего, который является единичным. Эти корни изображены на рисунке 14.5.

Оператор авторегрессии этого процесса можно представить в следующем виде:

1 - 2.8L +3.1L2 - 1.7L3 +0.4L4 =(1 - 1.8L +1.3L2 - 0.4L3)(1 - L) = =(1 - 1.8L +1.3L2 - 0.4L3), где =1 - L — оператор первой разности.

Введем обозначение wt = xt = xt - xt-1. Полученный процесс {wt} является стационарным процессом ARMA(3, 2), задаваемым уравнением:

wt =1.8wt-1 - 1.3wt-2 +0.4wt-3 + t +0.5t-1 - 0.4t-2. (14.54) В общем случае, если характеристическое уравнение процесса ARMA(p + d, q) содержит d единичных корней, а все остальные корни по модулю больше единицы, то d-я разность этого временного ряда wt = dxt = (L)(1 - L)dxt может быть представлена как стационарный процесс ARMA(p, q):

(L)dxt = (L)t или (L)wt = (L)t. (14.55) 14.6. Модель ARIMA В развернутой форме модель 14.55 выглядит как wt = 1wt-1 + 2wt-2 +... + pwt-p + (14.56) + t - 1t-1 - 2t-2 -... - qt-q.

Из-за практического значения такую разновидность моделей ARMA выделяют в отдельный класс моделей авторегрессии — проинтегрированного скользящего среднего и обозначают ARIMA(p, d, q). При d =0 модель описывает стационарный процесс. Как и исходную модель ARMA, мод ель ARIMA также называют моделью Бокса—Дженкинса.

Обозначив f(L) =(L)(1 - L)d, представим процесс ARMA(p + d, q) ввид е:

f(L)xt = (L)t.

f(L) называют обобщенным (нестационарным) оператором авторегрессии, таким, что d корней характеристического уравнения f(z) =0 равны единице, а остальные по модулю больше единицы. Такой процесс можно записать в виде модели ARIMA (L)(1 - L)dxt = (L)t. (14.57) Ряд {xt} называют интегрированным, поскольку он является результатом применения к стационарному ряду {wt} операции кумулятивной (накопленной) суммы d раз. Так, если d =1, тод ля t >t xt = wi + x0.

i=Этим объясняется название процесса авторегрессии — проинтегрированного скользящего среднего ARIMA(p, d, q).

Этот факт можно символически записать как xt = Sdwt, где S = -1 = (1 - L)-1 — оператор суммирования, обратный к оператору разности. Следует понимать, однако, что оператор S не определен однозначно, поскольку включает некоторую константу суммирования.

Простейшим процессом с единичным корнем является случайное блуждание:

xt = St, где t —белыйшум.

466 Глава 14. Линейные стохастические модели ARIMA 14.7. Оценивание, распознавание и диагностика модели Бокса—Дженкинса Для практического моделирования с использованием модели Бокса—Дженкинса требуется выбрать порядок модели (значения p, q и d), оценить ее параметры, а затем убедиться, правильно ли была выбрана модель и не нарушаются ли какие-либо предположения, лежащие в ее основе.

Заметим, что один и тот же процесс может быть описан разными моделями ARMA (14.41). Во-первых, неоднозначна компонента скользящего среднего (L)t, о чем говорилось выше. Из разных возможных представлений MA здесь следует предпочесть обратимое. Во-вторых, характеристические многочлены авторегрессии и скользящего среднего могут содержать общие корни. Пусть (z) и (z) содержат общий корень. Тогда характеристические многочлены можно представить в виде (z) = (1 - z/)(z) и (z) = (1 - z/)(z). Соответственно, один и тот же процесс можно записать как (L)xt = (L)t или как (L)xt = (L)t.

Ясно, что вторая запись предпочтительнее, поскольку содержит меньше параметров. Указанные неоднозначности могут создавать проблемы при оценивании.

Прежде, чем рассмотреть оценивание, укажем, что уравнение (14.41) задает модель в довольно ограничительной форме. А именно, стационарный процесс, заданный уравнением (14.41), должен иметь нулевое математическое ожидание. Для того чтобы сделать математическое ожидание ненулевым, можно ввести в модель константу:

xt = µ + 1xt-1 +... + pxt-p + t - 1t-1 -... - qt-q.

Если процесс {xt} стационарен, то µ E(xt) =.

1 - 1 -· · · -p Альтернативно можно задать xt как xt = + wt, (14.58) где ошибка {wt} является стационарным процессом ARMA:

wt = 1wt-1 +... + pwt-p + t - 1t-1 -... - qt-q. (14.59) 14.7 Оценивание, распознавание и диагностика модели ARIMA При этом E(xt) =. Ясно, что для стационарных процессов два подхода являются эквивалентными.

Последнюю модель можно развить, рассматривая регрессию xt = Zt + wt, (14.60) с ошибкой wt в виде процесса (14.59). В этой регрессии Zt не должны быть коррелированы с процессом wt и его лагами. Составляющая Zt может включать детерминированные тренды, сезонные переменные, фиктивные переменные для выбросов и т.п.

Метод моментов для оценивания параметров модели Бокса—Дженкинса Опишем в общих чертах процедуру оценивания ARIMA(p, d, q). Предположим, что имеется ряд x1,..., xT, по которому требуется оценить параметры процесса. Оценке подлежат три типа параметров: параметры детерминированной части модели (такие как,, о которых речь шла выше), авторегрессионные параметры и параметры скользящего среднего. При оценивании предполагается, что порядок разности d, порядок авторегрессии p и порядок скользящего среднего q заданы.

Если ряд {xt} описывается моделью (14.58) (которая предполагает d =0), то параметр этой модели можно оценить с помощью среднего x, а далее дей ствовать так, как если бы процесс сразу задавался моделью (14.59). В качестве wt рассматриваются центрированные значения, полученные как отклонения исходных уровней временного ряда от их среднего значения: wt = xt - x.

Если ряд {xt} описывается более общей моделью (14.60), которая тоже предполагает d = 0, то можно оценить параметры с помощью обычного МНК, который дает здесь состоятельные, но не эффективные оценки a. Далее можно взять wt = xt - Zta и действовать так, как если бы процесс задавался моделью (14.59).

При d > 0 от ряда xt следует взять d-е разности: wt = dxt. Мы не будем рассматривать оценивание детерминированной составляющей в случае d >0.

Заметим только, что исходный ряд не нужно центрировать, поскольку уже первые разности исходных уровней ряда совпадают с первыми разностями центрированного ряда. Имеет смысл центрировать d-е разности dxt.

Проведя предварительное преобразование ряда, мы сведем задачу к оцениванию стационарной модели ARMA (14.59), где моделируемая переменная wt имеет нулевое математическое ожидание. Получив ряд w1,..., wT (при d >0 рядбудет 468 Глава 14. Линейные стохастические модели ARIMA на d элементов короче), можно приступить к оцениванию параметров авторегрессии и скользящего среднего.

Выше мы рассмотрели, как можно оценивать авторегрессии на основе уравнений Юла—Уокера (14.21). Прямое использование этого метода для модели ARMA(p, q) при q >0 невозможно, поскольку в соответствующие уравнения будут входить кросс-ковариации между изучаемым процессом и ошибкой (см. 14.42). Однако можно избавиться от влияния элементов скользящего среднего, если сдвинуть уравнения на q значений вперед. Тогда уравнения для автокорреляций будут иметь вид (14.43). При k = q +1,..., q + p получим следующую систему (т.е. используем здесь тот же подход, что и раньше: умножаем (14.59) на wt-q-1,..., wt-q-p и переходим к математическому ожиданию):

q+1 = 1q + 2q-1 +... + pq-p+1, q+2 = 1q+1 + 2q +... + pq-p+2, (14.61) · · · q+p = 1q+p-1 + 2q+p-2 +... + pq.

В итоге имеем систему, состоящую из p уравнений относительно p неизвестных параметров j. Решение этих уравнений, в которых вместо k берутся эмпирические значения автоковариаций ck для последовательности значений {wt}, т.е.

T ck = wtwt-k, T t=k+дает нам оценки параметров 1,..., p 6.

С помощью оценок авторегрессионных параметров можно, с учетом (14.59) построить новый временной ряд p+1,..., T :

t = wt - 1wt-1 -... - pwt-p, и для него рассчитать первые q выборочных автокорреляций r1,..., rq. Полученные автокорреляции используются при расчете начальных оценок параметров скользящего среднего 1,..., q.

На данный метод получения оценок параметров авторегрессии можно смотреть как на применение метода инструментальных переменных к уравнению регрессии:

wt = 1wt-1 +... + pwt-p + t, где ошибка t является MA(q) и поэтому коррелирована с лагами wt только вплоть до q-го.

В качестве инструментов здесь используются лаги wt-q-1,..., wt-q-p.

14.7 Оценивание, распознавание и диагностика модели ARIMA Действительно, {t} фактически представляет собой процесс скользящего среднего:

t = t - 1t-1 -· · · -qt-q, (14.62) для которого, как мы знаем, первые q автокорреляций могут быть выражены через параметры модели (см. (14.36)):

-k + 1k+1 + 2k+2 +... + q-kq =, k =1,..., q.

k 2 1+1 + 2 +... + q Заменив в этих выражениях на rk, решаем полученную систему q нелинейных k уравнений относительно q неизвестных параметров и получаем их оценки.

Поскольку система уравнений нелинейная, то могут возникнуть некоторые проблемы с ее решением. Во-первых, система может не иметь решений. Во-вторых, решение может быть не единственным.

Рассмотрим в качестве примера случай q =1. При этом имеем одно уравнение с одним неизвестным:

- r1 =.

1+ Максимальное по модулю значение правой части достигается при 1 = ±1. Ес 1 ли |r1| > то уравнение не имеет действительного решения7. Если |r1| < 2, 2, то оценку 1 получим, решая квадратное уравнение. А оно будет иметь два корня:

-1 ± 1 - 4(r1)1 =.

2rОдин из корней по модулю больше единицы, а другой меньше, т.е. один соответствует обратимому процессу, а другой — необратимому.

Таким образом, из нескольких решений данных уравнений следует выбирать такие, которые соответствуют обратимому процессу скользящего среднего. Для этого, если некоторые из корней характеристического уравнения скользящего среднего по модулю окажутся больше единицы, то их следует обратить и получить коэффициенты, которые уже будут соответствовать обратимому процессу (см. 14.40).

Для q > 1 следует применить какую-либо итеративную процедуру решения нелинейных уравнений8.

Если решения не существует, то это может быть признаком того, что порядок разности d выбран неверно или порядок авторегрессии p выбран слишком низким.

Например, метод Ньютона, состоящий в линеаризации нелинейных уравнений в точке текущих приближенных параметров (т.е. разложение в ряд Тейлора до линейных членов).

470 Глава 14. Линейные стохастические модели ARIMA Описанный здесь метод моментов дает состоятельные, но не эффективные (не самые точные) оценки параметров. Существует ряд методов, позволяющих повысить эффективность оценок.

Методы уточнения оценок Система (14.61) при q > 1 основана на уравнениях для автоковариаций, которые сдвинуты на q. Поскольку более дальние выборочные автоковариации вычисляются не очень точно, то это приводит к не очень точным оценкам параметров авторегрессии. Чтобы повысить точность, можно предложить следующий метод.

С помощью вычисленных оценок 1,..., q, на основе соотношения (14.62), находим последовательность значений {t} по рекуррентной формуле:

t = t + 1t-1 +... + qt-q.

Вкачестве t-j при t j берем математическое ожидание ряда E(t) =0.

Получив с помощью предварительных оценок и последовательность значений {t} и имея в наличии ряд {wt}, методом наименьших квадратов находим уточненные оценки параметров модели (14.59), рассматривая t в этом уравнении как ошибку.

Можно также получить уточненные оценки параметров детерминированной компоненты в модели (14.60). Для этого можно использовать обобщенный методнаименьших квадратов (см. гл. 8), основанный на оценке ковариационной матрицы ошибок wt, которую можно получить, имея некоторые состоятельные оценки параметров процесса ARMA.

Автоковариационную матрицу процесса ARMA можно представить в виде =. Оценку матрицы можно получить, имея оценки параметров авторегрессии и скользящего среднего (см. выше вывод автоковариационной функции процесса ARMA). Имея оценку, воспользуемся обобщенным МНК для оценивания параметров регрессии:

aОМНК =(Z -1Z)-1Z -1X.

Можно использовать также автокорреляционную матрицу R:

aОМНК =(Z R-1Z)-1Z R-1X.

В качестве примера приведем регрессию с процессом AR(1) в ошибке. Матрица автокорреляций для стационарного процесса AR(1), соответствующего последова14.7 Оценивание, распознавание и диагностика модели ARIMA тельности значений w1,..., wT, имеет вид:

1 2 · · · T - 1 · · · T - R = 2 1 · · · T -3.

....

.

.....

.

....

Pages:     | 1 |   ...   | 51 | 52 || 54 | 55 |   ...   | 82 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.