WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 50 | 51 || 53 | 54 |   ...   | 82 |

Частная автокорреляционная функция может оказаться полезной в решении задачи идентификации модели временного ряда: если она быстро затухает, то это авторегрессия, причем ее порядок следует выбрать по последнему большому значению частной автокорреляционной функции.

452 Глава 14. Линейные стохастические модели ARIMA 14.4. Процессы скользящего среднего Другой частный случай модели линейного фильтра, широко распространенный в анализе временных рядов, — модель скользящего среднего, когд а xt линейно зависит от конечного числа q предыдущих значений :

xt = t - 1t-1 - 2t-2 -... - qt-q. (14.33) Модель скользящего среднего q-го порядка обозначают MA(q) (от английского moving average).

Данную модель можно записать и более сжато:

xt = (L)t, через оператор скользящего среднего:

(L) =1 - 1L - 2L2 -... - qLq. (14.34) Легко видеть, что процесс MA(q) является стационарным без каких-либо ограничений на параметры j.

Действительно, математическое ожидание процесса E(xt) =0, а дисперсия 2 2 2 0 =(1 +1 + 2 +... + q), т.е. равна дисперсии белого шума, умноженной на конечную величину (1 + 1 + 2 + 2 +... + q).

Остальные моменты второго порядка (k, k) также от времени не зависят.

Автоковариационная функция и спектр процесса MA(q) Автоковариационная функция MA(q) (-k + 1k+1 +... + q-kq), k =1, 2,..., q, k = (14.35) 0,k > q.

В частном случае для MA(1) имеем:

2 0 =(1 +1), 1 = -1, k =0, k > 1, 14.4. Процессы скользящего среднего и автоковариационная матрица, соответствующая последовательности x1, x2,..., xT, будет иметь следующий трехдиагональный вид:

1+1 -1 0 · · · -1 1+1 -1 · · · = 0 -1 1+1 · · · 0.

....

.

.....

.

....

0 0 0 · · · 1+В общем случае автоковариационная матрица процесса скользящего среднего порядка q имеет q ненулевых поддиагоналей и q ненулевых наддиагоналей, все же остальные элементы матрицы равны нулю.

Автокорреляционная функция имеет вид:

-k + 1k+1 +... + q-kq, k =1, 2,..., q, 1+1 +... + q k = (14.36) 0,k > q.

Таким образом, автокорреляционная функция процесса MA(q) обрывается на задержке q, и в этом отличительная особенность процессов скользящего среднего.

С другой стороны, частная автокорреляционная функция, в отличие от авторегрессий, не обрывается и затухает экспоненциально. Например, для MA(1) частная автокорреляционная функция имеет вид 1 - p -1 2p+2.

1 - Ясно, что модель скользящего среднего является частным случаем модели линейного фильтра (14.1), где j = -j при j = 1,..., q и j = 0 при j > q.

Фактически модель линейного фильтра является моделью MA().

Формула спектра для процесса скользящего среднего следует из общей формулы для модели линейного фильтра (14.6):

p(f) =2 - 1e-i2f - 2e-i4f -... - qe-i2qf.

454 Глава 14. Линейные стохастические модели ARIMA Соответственно, для MA(1):

2 2 p(f) =2 1 - 1e-i2f =2(1 + 1 - 21 cos 2f);

для MA(2):

p(f) =2 - 1e-i2f - 2e-i4f = 2 2 =2 1+1 + 2 - 21(1 - 2)cos2f - 22 cos 4f.

Обратимость процесса MA(q) Авторегрессию, как мы видели выше, можно представить как MA(). С другой стороны, процесс скользящего среднего можно представить в виде AR().

Рассмотрим, например, MA(1) (будем для упрощения писать вместо 1):

xt = t - t-1, (14.37) Сдвигом на один период назад получим t-1 = xt-1 + t-2 и подставим в (14.37):

xt = t - xt-1 - 2t-2.

Далее, t-2 = xt-2 + t-3, поэтому xt = t - xt-1 - 2xt-2 - 3t-3.

Продолжая, получим на k-м шаге xt = t - xt-1 - 2xt-2 -· · · -kxt-k - k+1t-k-1.

Если || < 1, то последнее слагаемое стремится к нулю при k. Переходя к пределу, получаем представление AR() для MA(1):

xt = - jxt-j + t. (14.38) j=С помощью лагового оператора можем записать это как (L)xt = t, где (L) =(1 - L)-1 = jLj.

j=14.4. Процессы скользящего среднего В то время как процесс (14.37) стационарен при любом, процесс (14.38) стационарен только при || < 1. При || 1 веса -j в разложении (14.38) растут (при || =1 не меняются) по абсолютной величине по мере увеличения j.

Тем самым, нарушается разумная связь текущих событий с событиями в прошлом.

Говорят, что при || < 1 процесс MA(1) является обратимым, а при || 1 — необратимым.

В общем случае уравнение процесса MA(q) в обращенной форме можно записать как t = -1(L)xt = (L)xt = jxt-j.

j=Процесс MA(q) называется обратимым, если абсолютные значения весов j вобращенном разложении образуют сходящийся ряд. Стационарным процесс MA(q) является всегда, но для того, чтобы он обладал свойством обратимости, параметры процесса должны удовлетворять определенным ограничениям.

Выведем условия, которым должны удовлетворять параметры 1, 2,..., q процесса MA(q), чтобы этот процесс был обратимым.

-Пусть Hi, i =1,..., q — корни характеристического уравнения (L) =(будем предполагать, что они различны). Оператор скользящего среднего (L) через обратные корни характеристического уравнения можно разложить на множители:

q (L) = (1 - HiL).

i=Тогда обратный к (L) оператор (L) можно представить в следующем виде:

q 1 Mi (L) =-1(L) = =. (14.39) q 1 - HiL i=(1 - HiL) i=Каждое слагаемое (14.39) можно, по аналогии с MA(1), представить в виде бесконечного ряда:

Mi j = Mi Hi Lj, i =1,..., q, 1 - HiL j=который сходится, если |Hi| < 1.

456 Глава 14. Линейные стохастические модели ARIMA Тогда процесс MA(q) в обращенном представлении выглядит как q j t = Mi Hi Ljxt, i=1 j=и он стационарен, если корни характеристического уравнения (L) =0 лежат вне единичного круга. Иными словами, MA(q) обладает свойством обратимости, если -для всех корней выполнено |Hi | > 1, т.е. |Hi| < 1 i. Если же для одного из корней |Hi| 1, то ряд не будет сходиться, и процесс MA(q) будет необратимым.

Для каждого необратимого процесса MA(q), у которого корни характеристического уравнения не равны по модулю единице, существует неотличимый от него обратимый процесс того же порядка. Например, процесс MA(1) (14.37) с || >можно записать в виде xt = t - t-1, 1 - L где t = t является белым шумом. Мы не будем доказывать, что t 1 - 1/ · L является белым шумом, поскольку это технически сложно. Вместо этого мы укажем на простой факт: пусть t — некоторый белый шум. Тогда процесс t- t-1 имеет такую же автоковариационную функцию, как и процесс xt, заданный уравнением 2 (14.37), если дисперсии связаны соотношением = 2. Для того чтобы в этом убедиться, достаточно проверить совпадение дисперсий и автоковариаций первого порядка (остальные автоковариации равны нулю).

В общем случае процесса MA(q), чтобы сделать его обратимым, требуется обратить все корни характеристического уравнения, которые по модулю меньше q единицы. А именно, пусть (L) = (1-HiL), — характеристический многочлен i=где |Hi| < 1 при i =1,..., m и |Hi| > 1 при i = m +1,..., q. Тогд а q m - (L) = (1 - HiL) (1 - Hi L) (14.40) i=1 i=m+— характеристический многочлен эквивалентного обратимого процесса.

Заметим, что хотя уравнение (14.33) по форме напоминает разложение Вольда процесса xt, оно будет таким, только если все корни характеристического уравнения по модулю будут не меньше единицы. Для получения разложения Вольда произвольного процесса MA(q) требуется проделать описанную операцию обращения корней, которые по модулю меньше единицы.

14.5. Смешанные процессы авторегрессии — скользящего среднего 14.5. Смешанные процессы авторегрессии — скользящего среднего ARMA (модель Бокса—Дженкинса) На практике иногда бывает целесообразно ввести в модель как элементы авторегрессии, так и элементы скользящего среднего. Это делается для того, чтобы с использованием как можно меньшего числа параметров уловить характеристики исследуемого эмпирического ряда. Такой процесс называется смешанным процессом авторегрессии — скользящего среднего и обозначается ARMA(p, q):

xt = 1xt-1 +... + pxt-p + t - 1t-1 -... - qt-q, (14.41) или, с использованием оператора лага, (1 - 1L - 2L2 -... - pLp)xt =(1 - 1L - 2L2 -... - qLq)t.

В операторной форме смешанная модель выглядит так:

(L)xt = (L)t, где (L) — оператор авторегрессии, (L) — оператор скользящего среднего.

Модель (14.41) получила название модели Бокса—Дженкинса, поскольку была популяризирована Дж. Боксом и Г. Дженкинсом в их известной книге «Анализ временных рядов» [3]. Методология моделирования с помощью (14.41) получила название методологии Бокса—Дженкинса.

Автокорреляционная функция и спектр процесса ARMA(p, q) Рассмотрим, как можно получить автоковариационную и автокорреляционную функции стационарного процесса ARMA(p, q), зная параметры этого процесса.

Для этого умножим обе части уравнения (14.41) на xt-k, гд е k 0, и перейд ем к математическим ожиданиям:

E(xt-kxt) =1E(xt-kxt-1) +2E(xt-kxt-2) +... + pE(xt-kxt-p) + + E(xt-kt) - 1E(xt-kt-1) - 2E(xt-kt-2) -... - qE(xt-kt-q).

Обозначим через s кросс-ковариацию изучаемого ряда xt иошибки t с задержкой s, т.е.

s = E(xtt-s).

458 Глава 14. Линейные стохастические модели ARIMA Поскольку процесс стационарен, то эта кросс-ковариационная функция не зависит от момента времени t. В этих обозначениях E(xt-kt-j) =j-k.

Получаем выражение для автоковариационной функции:

k = 1k-1 +... + pk-p + -k - 11-k -... - qq-k. (14.42) Так как xt-k зависит только от импульсов, которые произошли до момента t - k, то j-k = E(xt-kt-j) =0 при j

Для того чтобы найти остальные нужные нам кросс-ковариации, 0,..., q, необходимо поочередно умножить все члены выражения (14.41) на t, t-1,..., t-q и перейти к математическим ожиданиям. В итоге получится следующая система уравнений:

0 =, 1 = 10 - 1, 2 = 11 + 20 - 2,...

Общая формула для всех 1 s p имеет вид:

s = 1s-1 + · · · + s0 - s.

При s >p (такой случай может встретиться, если p

Отсюда рекуррентно, предполагая и параметры и известными, найдем s.

Далее, зная s, по аналогии с уравнениями Юла—Уокера (14.21) по формуле (14.42) при k = 0,..., p с учетом того, что -k = k найдем автоковариации 0,..., p. Остальные автоковариации вычисляются рекуррентно по формуле (14.42).

Автокорреляции рассчитываются как k = k/0. Заметим, что если требуется найти только автокорреляции, то без потери общности можно взять ошибку t с единичной дисперсией: =1.

Если в уравнении (14.42) k >q, то все кросс-корреляции равны нулю, поэтому k = 1k-1 +... + pk-p, k > q. (14.43) 14.5. Смешанные процессы авторегрессии — скользящего среднего Поделив это выражение на 0, выводим уравнение автокорреляционной функции для k >q:

k = 1k-1 +... + pk-p, (14.44) или (L)k =0, k > q.

Таким образом, начиная с некоторой величины задержки, а точнее, когда q

По аналогии с AR(p) условия стационарности ARMA(p, q) определяются корнями характеристического уравнения (L) =0: если эти корни лежат вне единичного круга, то процесс стационарен.

В качестве примера рассмотрим процесс ARMA(1, 1):

xt = xt-1 + t - t-1, (14.45) или через лаговый оператор:

(1 - L)xt =(1 - L)t.

Процесс стационарен, если -1 <<1, и обратим, если -1 < <1.

Для вывода формулы автокорреляционной функции умножим (14.45) на xt-k и перейдем к математическим ожиданиям:

E(xt-kxt) =E(xt-kxt-1) +E(xt-kt) - E(xt-kt-1), или k = k-1 + -k - 1-k. (14.46) Исследуем поведение автоковариационной функции при различных значениях параметра k.

Заметим, что граничные условия у AR(p) другие, поэтому автокорреляционные функции не будут совпадать.

460 Глава 14. Линейные стохастические модели ARIMA При k =0 = -1 + 0 - 1. (14.47) Чтобы найти второе слагаемое, умножим уравнение процесса (14.45) на t и возьмем математическое ожидание:

0 = E(xtt) =E(xt-1t) +E(tt) - E(tt-1) =. (14.48) Аналогичным способом распишем E(xtt-1):

1 = E(xtt-1) =E(xt-1t-1) +E(t-1t) - E(t-1t-1) =( - ).

Равенство E(xt-1t-1) = подтверждается так же, как (14.48).

Итак, принимая во внимание, что k = -k, выражение для дисперсии записывается как 2 0 = 1 + - ( - ). (14.49) При k =1 равенство (14.46) преобразуется в 1 = 0 + -1 - 0.

Используя ранее приведенные доводы относительно математических ожиданий, стоящих в этом уравнении, имеем:

1 = 0 -. (14.50) При k k = k-1.

Выразим автоковариации в (14.49) и (14.50) через параметры модели и.

Получим систему уравнений 2 0 = 1 + - ( - );

1 = 0 - ;

и решим ее относительно 0 и 1.

Решение имеет вид:

1 - 2 + 0 =, 1 - ( - )(1 - ) 1 =.

1 - 14.5. Смешанные процессы авторегрессии — скользящего среднего k k k k k –k -1 1 k k k k –k k –-Рис. 14.4. График автокорреляционной функции процесса ARMA(1, 1) С учетом того, что k = k/0, получаем выражения для автокорреляционной функции процесса ARMA(1, 1):

( - )(1 - ) 1 =, 1 - 2 + k = k-11, k 2.

На рисунке 14.4 изображены графики автокорреляционной функции процесса ARMA(1, 1) при различных сочетаниях значений параметров и.

По аналогии с процессами AR(p) и MA(q) выводится формула спектра процесса ARMA(p, q). Пусть {t} — такой процесс, что t = t - 1t-1 -... - qt-q.

Тогда xt, описываемый уравнением (14.41), можно записать в виде xt = 1xt-1 +... + pxt-p + t.

462 Глава 14. Линейные стохастические модели ARIMA По формуле (14.4), с одной стороны, p(f) =px(f) =p(f) 1 - 1e-i2f - 2e-i4f -... - pe-i2pf, а с другой стороны, для процесса скользящего среднего {t} выполняется p(f) =.

1 - 1e-i2f - 2e-i4f -... - qe-i2qf Таким образом, получаем 1 - 1e-i2f - 2e-i4f -... - qe-i2qf p(f) =2. (14.51) - 1e-i2f - 2e-i4f -... - pe-i2pf Представление процесса ARMA в виде MA() и функция реакции на импульсы Так же, как и в случае авторегрессии, стационарный процесс ARMA можно записать в виде модели линейного фильтра, или, другими словами, скользящего среднего бесконечного порядка MA():

(L) xt = t = t + 1t-1 + 2t-2 +... = it-i = (L)t, (14.52) (L) i=где 0 =1.

Коэффициенты i представляют собой функцию реакции на импульсы для процесса ARMA, т.е. i является количественным измерителем того, как небольшое изменение («импульс») в t влияет на x через i периодов, т.е. на xt+i, что можно символически записать как dxt+i i =.

Pages:     | 1 |   ...   | 50 | 51 || 53 | 54 |   ...   | 82 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.