WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 47 | 48 || 50 | 51 |   ...   | 82 |

[T/2] + 1,..., [T/2] + M. Однако проблема краевых эффектов легко решается, 13.5. Оценка функции спектральной плотности если доопределить функцию выборочного спектра (и, соответственно, периодограмму), сделав ее периодической. Формула (13.24) дает такую возможность, поскольку основана на синусоидах и косинусоидах. Таким образом, будем считать, что выборочный спектр определен формулой (13.24) для всех частот f (-, +).

При этом ясно, что выборочный спектр будет периодической функцией с периодом 1, зеркально-симметричной относительно нуля (и относительно любой частоты вида i/2, гд е i — целое число):

p(f - i) =p(f), i =..., -1, 0, 1,...

и p(-f) =p(f).

Формулу (13.33) несложно обобщить так, чтобы можно было производить сглаживание не только в гармонических частотах. Кроме того, в качестве расстояния между «усредняемыми» частотами можно брать не 1/T, а произвольное > 0.

Таким образом приходим к следующей более общей формуле:

M ps(f) = µk p(f - k). (13.34) k=-M Просматривая поочередно значения выборочного спектра и придавая наибольший вес текущему значению, можно сгладить спектр в каждой интересующей нас точке.

2) Взвешивание автоковариационных функций.

Известно, что при увеличении лага k выборочные автоковариации ck являются все более неточными оценками. Это связано с тем, что k-я автоковариация вычисляется как среднее по T -k наблюдениям. Отсюда возникает идея в формуле (13.25) ослабить влияние дальних автоковариаций за счет применения понижающих весов так, чтобы с ростом k происходило уменьшение весового коэффициента при ck.

Если ряд весов, связанных с автоковариациями c0, c1,..., cT -1, обозначить как m0, m1,..., mT -1, оценка спектра будет иметь вид:

T - pc(f) =2 m0c0 +2 mkck cos 2fk, где 0 f. (13.35) k=Набор весов mk, используемый для получения такой оценки, получил название корреляционное, илилаговое окно.

420 Глава 13. Спектральный и гармонический анализ При использовании корреляционного окна для уменьшения объема вычислений удобно брать такую систему весов, что mk = 0 при k K, гд е K < T. Тогд а формула (13.35) приобретает вид K- pc(f) =2 m0c0 +2 mkck cos 2fk. (13.36) k=Корреляционное окно удобно задавать с помощью функции m(·), заданной на интервале [0; 1], такой, что m(0) = 1, m(1) = 0. Обычно функцию выбирают так, чтобы между нулем и единицей эта функция плавно убывала. Тогда понижающие веса mk при k =0,..., K вычисляются по формуле mk = m(k/K).

Ясно, что при этом m0 = 1 (это величина, с помощью которой мы взвешиваем дисперсию в формуле (13.35)) и mK =0.

Наиболее распространенные корреляционные окна, удовлетворяющие перечисленным свойствам — это окна Парзена и Тьюки—Хэннинга (см. рис. 13.2).

Окно Тьюки—Хэннинга:

m(z) = (1 + cos(z)).

Окно Парзена:

1 - 6z2 +6z3, если z [0; ];

m(z) = 2(1 - z)3, если z [1; 1].

Можно доказать, что сглаживание в частотной области эквивалентно понижающему взвешиванию автоковариаций. Чтобы это сделать, подставим в (13.34) выборочный спектр, выраженный через комплексные экспоненты (13.30):

M T - ps(f) =2 µj cke-i2(f-j)k.

j=-M k=-(T -1) Меняя здесь порядок суммирования, получим T -1 M ps(f) =2 cke-i2fk µjei2jk.

k=-(T -1) j=-M 13.5. Оценка функции спектральной плотности m(z) окно Парзена 0.окно Тьюки—Хэннинга 0.0.0.z 0.2 0.4 0.6 0.8 Рис. 13.2. Наиболее популярные корреляционные окна Введя обозначение M M mk = µjei2jk = µ0 + µj ei2jk + e-i2jk j=-M j=M = µ0 +2 µj cos(2jk), j=придем к формуле T - ps(f) = 2 mkcke-i2fk = k=-(T -1) T - = 2 m0c0 +2 mkck cos 2fk, k=которая, очевидно, совпадает с (13.35).

Кроме того, без доказательства отметим, что подбором шага ивесов µj мы всегда можем сымитировать применение корреляционного окна (13.35) с помощью (13.34). Существует бесконечно много способов это сделать.

В частности, как несложно проверить, частотное окно Тьюки—Хэннинга полу1 чим, если возьмем M =1, µ0 =, µ1 = µ-1 = и =.

2 2K 422 Глава 13. Спектральный и гармонический анализ Особого внимания требует вопрос о том, насколько сильно нужно сглаживать спектральную плотность. Для корреляционных окон степень гладкости зависит от того, насколько быстро убывают понижающие веса. При фиксированной функции m(·) все будет зависеть от параметра K —чемменьше K, тем более гладкой будет оценка.

Для спектральных окон степень гладкости зависит от того, насколько близко «масса» коэффициентов µk лежит к той частоте, для которой вычисляется ошибка.

При этом принято говорить о ширине окна, илиширине полосы.

Если ширина окна слишком большая, то произойдет «пересглаживание», оценка будет сильно смещенной, и пики спектральной плотности станут незаметными.

(В предельном случае оценка будет ровной, похожей на спектр белого шума.) Если ширина окна слишком малая, то произойдет «недосглаживание», и оценка будет похожа на исходную несглаженную оценку и иметь слишком большую дисперсию.

Таким образом, ширина окна выбирается на основе компромисса между смещением и дисперсией.

13.6. Упражнения и задачи Упражнение Сгенерируйте ряд длиной 200 по модели:

xt =10 +0.1t +4sin(t/2) - 3cos(t/2) + t, где t — нормально распределенный белый шум с дисперсией 3. Предположим, что параметры модели неизвестны, а имеется только сгенерированный ряд xt.

1.1. Оцените модель линейного тренда и найдите остатки. Постройте график ряда остатков, а также графики автокорреляционной функции и выборочного спектра.

1.2. Выделите тренд и гармоническую составляющую, сравните их параметры с истинными значениями.

Упражнение Для временного ряда, представленного в таблице 12.2 (с. 403), выполните следующие задания.

2.1. Исключите из временного ряда тренд.

13.6. Упражнения и задачи 2.2. Остатки ряда, получившиеся после исключения тренда, разложите в ряд Фурье.

2.3. Найдите коэффициенты j и j разложения этого ряда по гармоникам.

2.4. Постройте периодограмму ряда остатков и выделите наиболее существенные гармоники.

2.5. Постройте модель исходного временного ряда как линейную комбинацию модели тренда и совокупности наиболее значимых гармоник.

2.6. Вычислите выборочные коэффициенты автоковариации и автокорреляции для ряда остатков после исключения тренда.

2.7. Найдите значение периодограммы для частоты 0.5 разными способами (в том числе через автоковариационную функцию).

Упражнение Используя данные таблицы 12.2, выполните следующие задания.

j 3.1. С помощью периодограммы вычислите оценку спектра на частоте fj =, 2K K = 4. Получите сглаженную оценку спектра с помощью спектрального окна Тьюки—Хэннинга.

3.2. Рассчитайте автокорреляционную функцию rj, j = 1,..., 4. Оцените спектр с помощью корреляционного окна Тьюки—Хэннинга при K = 4.

Сравните с предыдущим результатом.

3.3. Оцените спектр с помощью корреляционного окна Парзена при K =4.

3.4. Постройте график оценки спектра для корреляционного окна Тьюки— j Хэннинга в точках fj =, j =0,..., 20.

Задачи 1. Записать гармонику для ряда x =(1, -1, 1, -1, 1, -1,... ).

2. Пусть временной ряд xt имеет гармонический тренд: t = 3 cos(t) + +4sin(t). Найти значения амплитуды, фазы и периода.

3. Записать ортогональный базис, по которому разлагается исследуемый процесс xt в ряд Фурье для T =6, T =7.

424 Глава 13. Спектральный и гармонический анализ 4. Записать ковариационную матрицу для гармонических переменных, составляющих ортогональный базис, если T =6, T =7.

5. Привести формулу расчета коэффициентов гармонических составляющих временного ряда.

T 6. Что описывает формула: I(f) = (2 + f ), гд е 0 f Почему f f 2 меняется в указанном диапазоне значений 7. Как соотносятся понятия интенсивности и амплитуды, периодограммы и спектра 8. Вывести формулу для определения периодограммы на нулевой частоте.

9. Как связаны выборочный спектр и автокорреляционная функция для чисто случайного процесса Записать формулу с расшифровкой обозначений.

10. Пусть для ряда из 4-х наблюдений выборочная автокорреляционная функция 1 1 равна: r1 = 2, r2 = 2, r3 = 2, дисперсия равна 1. Вычислить значение выборочного спектра на частоте 4.

11. Как соотносится выборочный спектр с автоковариационной функцией, спектральными и корреляционными окнами 12. Пусть для ряда из 4-х наблюдений выборочная автокорреляционная функция равна: r1 = r2 = r3 = -2, 1 4, 4, дисперсия равна 1. Вычислить значение сглаженной оценки выборочного спектра на частоте с помощью окна Парзена с весами mk, k =1, 2.

13. По некоторому временному ряду рассчитана периодограмма:

1 1 I(0) = 2, I =6, I =1, I =4.

6 3 Найти оценки спектральной плотности для тех же частот с использованием окна Тьюки—Хэннинга.

14. Записать уравнение процесса с одной периодической составляющей для частоты 0.33, амплитуд ы 2 ифазы 0.

15. Изобразить графики спектра для стационарных и нестационарных процессов.

13.6. Упражнения и задачи Рекомендуемая литература 1. Андерсон Т. Статистический анализ временных рядов. — М.: «Мир», 1976.

(Гл. 4, 9).

2. Бокс Дж., Дженкинс Г. Анализ временных рядов. Прогноз и управление.

Вып. 1. — М.: «Мир», 1974. (Гл. 2).

3. Гренджер К., Хатанака М. Спектральный анализ временных рядов в экономике. — М.: «Статистика», 1972.

4. Дженкинс Г., Ваттс Д. Спектральный анализ и его приложения. — М.:

«Мир», 1971.

5. Кендалл М. Дж., Стьюарт А. Многомерный статистический анализ и временные ряды. — М.: «Наука», 1976. (Гл. 49).

6. Маленво Э. Статистические методы эконометрии. Вып. 2. — М.: «Статистика», 1976. (Гл. 11, 12).

7. Бриллинджер Д. Временные ряды. Обработка данных и теория. — М.: Мир, 1980. (Гл. 5).

8. Hamilton James D., Time Series Analysis. — Princeton University Press, 1994.

(Ch. 6).

9. Judge G.G., Griffiths W.E., Hill R.C., Luthepohl H., Lee T. Theory and Practice of Econometrics. — New York: John Wiley & Sons, 1985. (Ch. 7).

Глава Линейные стохастические модели ARIMA 14.1. Модель линейного фильтра Стационарный стохастический процесс {xt} с нулевым математическим ожиданием иногда полезно представлять в виде линейной комбинации последовательности возмущений t, t-1, t-2,..., т.е.

xt = t + 1t-1 + 2t-2 +... = it-i, (14.1) i=или с использованием лагового оператора:

xt =(1 +1L + 2L2 + · · · )t, где 0 =1 и выполняется |i| <, (14.2) i=т.е. ряд абсолютных значений коэффициентов сходится.

Уравнение (14.1) называется моделью линейного фильтра, а линейный оператор:

(L) =1 +1L + 2L2 + · · · = iLi, i=14.1. Модель линейного фильтра преобразующий t в xt, —оператором линейного фильтра.

Компактная запись модели линейного фильтра выглядит следующим образом:

xt = (L)t.

Предполагается, что последовательность { t } представляет собой чисто случайный процесс или, другими словами, белый шум (см. стр. 353). Напомним, что автоковариационная и автокорреляционная функции белого шума имеют очень простую форму:

, k =0, 1, k =0, k = = k 0, k =0, 0, k =0, а его спектральная плотность имеет вид p(f) =20 =2 = const.

Таким образом, белый шум легко идентифицируется с помощью графиков автокорреляционной функции и спектра. Часто предполагается, что последовательность {t} состоит из независимых одинаково распределенных величин. Упростить анализ помогает дополнительное предположение о том, что {t} имеет нормальное распределение, т.е. представляет собой гауссовский белый шум.

Данная модель не является произвольной. Фактически, согласно теореме Вольда, любой слабо стационарный ряд допускает представление в виде модели линейного фильтра, а именно: разложение Вольда ряда xt1. Следует помнить, однако, что разложение Вольда единственно, в то время как представление (14.1), вообще говоря, неоднозначно2. Таким образом, разложение Вольда представляет процесс в виде модели линейного фильтра, в то время как модель линейного фильтра не обязательно задает разложение Вольда.

Как мы увидим в дальнейшем, модель линейного фильтра (14.1) применима не только к стационарным процессам, таким что выполняется (14.2), — с соответствующими оговорками она упрощает анализ и многих нестационарных процессов.

Если процесс {xt} подчинен модели (14.1), то при выполнении условия (14.2) он имеет математическое ожидание, равное нулю:

E(xt) = iE(t-i) =0.

i=В разложении Вольда произвольного стационарного процесса может присутствовать также полностью предсказуемая (линейно детерминированная) компонента. Однако такая компонента, если ее свойства известны, не создает больших дополнительных сложностей для анализа.

См. ниже в этой главе анализ обратимости процесса скользящего среднего.

428 Глава 14. Линейные стохастические модели ARIMA Если требуется, чтобы математическое ожидание xt не было равно нулю, то уравнение модели линейного фильтра должно включать константу:

xt = µ + it-i = µ + (L)t.

i=Выведем формулы для автоковариаций рассматриваемой модели:

k = E(xtxt+k) =E it-i jt+k-j = i=0 j= = ijE(t-it+k-j) = ii+k. (14.3) i=0 j=0 i=Здесь учитывается, что для белого шума, j = i + k, E(t-it+k-j) = 0, j = i + k.

Заметим, что из (14.2) следует сходимость возникающих здесь рядов. Это говорит о том, что данное условие подразумевает стационарность.

Действительно, пусть (14.2) выполнено. Тогда существует индекс I, такой что |i| 1 при i >I (иначе бы ряд не сошелся). Тогда I |ii+k| |i||i+k| |i||i+k| + |i+k|.

i=0 i=0 i=0 i=I+Поскольку оба слагаемых здесь конечны, то |ii+k| <.

i=Ясно, что модель линейного фильтра (14.1) в общем виде представляет в основном теоретический интерес, поскольку содержит бесконечное число параметров.

Для прикладного моделирования желательно использовать уравнения с конечным числом параметров. В основе таких моделей может лежать так называемая рациональная аппроксимация для (L), т.е. приближение в виде частного двух лаговых многочленов:

(L) (L), (L) 14.1 Влияние линейной фильтрации... где лаговые многочлены (L) и (L) имеют уже конечное число параметров. Как показывает практика, многие ряды можно достаточно хорошо аппроксимировать этим методом.

Частными случаями применения рациональной аппроксимации являются модели авторегрессии AR(p) и скользящего среднего MA(q). В общем случае получаем смешанные процессы авторегрессии — скользящего среднего ARMA(p, q).

Прежде чем перейти к рассмотрению этих широко используемых линейных моделей временных рядов, рассмотрим общий вопрос о том, как изменяет применение линейного фильтра характеристики случайного процесса.

14.2. Влияние линейной фильтрации на автоковариации и спектральную плотность Пусть два стационарных процесса c нулевым математическим ожиданием {zt} и {yt} связаны между собой соотношением:

Pages:     | 1 |   ...   | 47 | 48 || 50 | 51 |   ...   | 82 |





© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.