WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 46 | 47 || 49 | 50 |   ...   | 82 |

e±i =cos ± i sin, (13.7) cos = (ei + e-i), (13.8) sin = (ei - e-i). (13.9) 2i Итак, при j = T T 2j 2j 2j cos t = ei T t + e-i T t = T t=1 t=2j 2j 1 1 - ei2j 1 1 - e-i2j = ei T + e-i T =0, 2j 2j 1 - ei T 2 1 - e-i T где предпоследнее равенство получено из формулы суммы геометрической прогрессии, а последнее — из формулы (13.7), т.к.

e±i2j =cos(2j) ± i sin(2j) =1.

T 2j Очевидно, что при j =0, T cos t = T.

t=1 T Равенство (13.6) доказывается аналогично. При доказательстве соотношений (13.2–13.4) используются утверждения (13.5, 13.6).

Таким образом, T T T 2j 2k 1 2(j - k) 1 2(j + k) (cj, ck) = cos t·cos t = cos t+ cos t = T T 2 T 2 T t=1 t=1 t= T 0, j = k, 0 j, k, T T = (13.10), j = k, 0

T T T 2j 2k 1 2(j - k) 1 2(j + k) (sj, sk) = sin t · sin t = cos t - cos t = T T 2 T 2 T t=1 t=1 t= T - 0, j = k, 0

2 13.1 Ортогональность тригонометрических функций T 2j 2k (cj, sk) = cos t · sin t = T T t=T T 1 2(j + k) 1 2(j - k) = sin t + sin t =0. (13.12) 2 T 2 T t=1 t=Мы доказали выполнение (13.2–13.4) для указанного набора функций, получив одновременно некоторые количественные их характеристики. Таким образом, 2j 2j функции cos t и sin t образуют ортогональный базис и всякую функцию, T T в том числе и временной ряд {xt}, определенный на множестве {1,..., T}, можно разложить по этому базису, т.е. представить в виде конечного ряда Фурье:

[T/2] 2j 2j xt = j cos t + j sin t, (13.13) T T j=или, вспоминая (13.1), кратко [T/2] xt = (jcjt + jsjt), j=где 0 и [T/2] при четном T отсутствуют (т.к. sin 0 = 0, sin t =0).

Величину 2j/T = j называют частотой Фурье, а набор скаляров j и j ( j =0, 1,..., [T/2]) —коэффициентами Фурье.

Если cjt и sjt — элементы векторов cj и sj, стоящие на t-ом месте, то, переходя к векторным обозначениям, (13.13) можно переписать в матричном виде:

x = C S, (13.14) где x =(x1,..., xT ), =(0,..., [T/2]), =(1,..., [(T -1)/2]), C = {cjt}, j =0, 1,..., [T/2], t =1,..., T, S = {sjt}, j =1,..., [(T - 1)/2], t =1,..., T.

410 Глава 13. Спектральный и гармонический анализ Перепишем в матричной форме свойства ортогональности тригонометрических функций, которые потребуются при вычислении коэффициентов Фурье:

c sk =0, j, k, j c 1T =0, k =0, k s 1T =0, k, k (13.15) c ck = s sk =0, j = k, j j c ck = s sk = T/2, k =0, T/2, k k c c0 = T, c cT/2 = T, для четных T, T/где 1T =(1,..., 1) — T -компонентный вектор.

Для нахождения коэффициентов Фурье скалярно умножим c на вектор x и, j воспользовавшись изложенными свойствами ортогональности (13.15), получим:

c x = c C S =(c c0,..., c c[T/2], c s1,..., c s[(T -1)/2]) = j j j j j j T T = jc cj = j, для j =0,.

j 2 Таким образом, T 2 2 2j T j = c x = xt cos t, для j =0,, j T T T t=T 1 0 = c x = xt, (13.16) T T t=T 1 T/2 = c x = (-1)txt, для четных T.

T/T T t=Аналогично находим коэффициенты j:

T 2 2 2j j = s x = xt sin t. (13.17) j T T T t=13.2. Теорема Парсеваля 13.2. Теорема Парсеваля Суть теоремы Парсеваля состоит в том, что дисперсия процесса xt разлагается по частотам соответствующих гармоник следующим образом:

T/2- 2 var(xt) = Rj + RT/2, для четных T, (13.18) j=(T -1)/ var(xt) = Rj, для нечетных T. (13.19) j=Покажем, что это действительно так. Из (13.14) мы имеем:

C x x = = C S S C C C S = = S C S S C = = 0 S [T/2] [(T -1)/2] = C + S = 21 1T + 2c cj + j s sj, 0 T j j j j=1 j=где c и s — диагональные матрицы. Таким образом, если T —четно, то T/2 T/2- x x = 21 1T + 2c cj + j s sj = 0 T j j j j=1 j=T/2-1 T/2-1 T/2- T T T 2 = 2T + 2 + j + 2 T = 2T + (2 + j )+2 T = 0 j T/2 0 j T/2 2 j=1 j=1 j=T/2-1 T/2- T T 2 2 2 = 2T + Rj + 2 T = R0T + Rj + RT/2T. (13.20) 0 T/2 j=1 j=Аналогично для нечетных T :

(T -1)/2 (T -1)/ x x = 21 1T + 2c cj + j s sj = 0 T j j j j=1 j=412 Глава 13. Спектральный и гармонический анализ (T -1)/2 (T -1)/ T T = 2T + 2 + j = 0 j 2 j=1 j=(T -1)/2 (T -1)/ T T 2 2 = 2T + (2 + j ) =R0T + Rj. (13.21) 0 j 2 j=1 j=Разделим уравнения (13.20) и (13.21) на T и перенесем в левые части R0. Сучетом того, что R0 = 2 =2, получаем выражения для дисперсии процесса xt.

x T/2- x x 2 2 var(xt) = - R0 = Rj + RT/2, для четных T, (13.22) T j=(T -1)/ x x 2 var(xt) = - R0 = Rj, для нечетных T. (13.23) T j=Таким образом, вклад в дисперсию процесса для T/2-й гармоники равен RT/2, ад ля k-й гармоники, k = T/2, равен Rk.

Следовательно, наряду с определением коэффициентов Фурье для k-й гармоники, можно определить долю этой же гармоники в дисперсии процесса.

13.3. Спектральный анализ Введем понятия периодограммы и спектра.

Периодограммой называют последовательность значений {Ij}:

T T Ij = (2 + j ), j =0, 1,...,, j 2 T T т.е. Ij равно квадрату амплитуды j-ой гармоники, умноженному на, Ij = Rj.

Величина Ij называется интенсивностью на j-ой частоте.

На практике естественнее при вычислении периодограммы использовать центрированный ряд xt = xt - x. При этом меняется только I0. Для центрированного ряда 0 = 0, поэтому I0 = 2 = 0. Все остальные значения периодограммы не меняются, что следует из (13.5) и (13.6) — влияние константы на остальные значения обнуляется. В оставшейся части главы мы будем использовать только центрированный ряд.

В определении периодограммы принципиальным является то, что гармонические частоты fj = j/T (j = 0, 1,..., [T/2]) изменяются дискретно, причем наиболее высокая частота составляет 0, 5 цикла за временной интервал.

13.3. Спектральный анализ Вводя понятие спектра, мы ослабляем это предположение и позволяем частоте изменяться непрерывно в диапазоне 0 - 0.5 Гц ( 0.5 цикла в единицу времени).

Обозначим линейную частоту через f и введем следующие обозначения:

T T 2 f = xt cos(2ft), f = xt sin(2ft) T T t=1 t=и 2 Rf = 2 + f.

f Функция T T 2 p(f) = Rf = 2 + f = f 2 2 T T = xt cos(2ft) + xt sin(2ft), (13.24) T t=1 t=где 0 f, называется выборочным спектром. Очевидно, что значения периодограммы совпадают со значениями выборочного спектра в точках fj, то есть p(fj) =Ij.

Спектр показывает, как дисперсия стохастического процесса распределена в непрерывном диапазоне частот. Подобно периодограмме он может быть использован для обнаружения и оценки амплитуды гармонической компоненты неизвестной частоты f, скрытойвшуме.

И периодограмму, и спектр представляют для наглядности в виде графика, на оси ординат которого — интенсивность Ij или p(f), на оси абсцисс — частота j fj = или f, соответственно. График выборочного спектра часто называют T спектрограммой.

Спектрограмма нужна для более наглядного изображения распределения дис k персии между отдельными частотами. Если частоте f = соответствует пик на T спектрограмме, то в исследуемом ряду есть существенная гармоническая состав T ляющая с периодом 1/f =.

k Целью спектрального анализа является определение основных существенных гармонических составляющих случайного процесса путем разложения дисперсии процесса по различным частотам. Спектральный анализ позволяет исследовать смесь регулярных и нерегулярных спадов и подъемов, выделять существенные гармоники, получать оценку их периода и по значению спектра на соответствующих частотах судить о вкладе этих гармоник в дисперсию процесса.

414 Глава 13. Спектральный и гармонический анализ Исследования показывают, что наличие непериодического тренда (тренда с бесконечным периодом) дает скачок на нулевой частоте, т.е. в начале координат спектральной функции. При наличии циклических составляющих в соответствующих частотах имеется всплеск; если рядслишком «зазубрен», мощность спектра перемещается в высокие частоты.

Типичным для большинства экономических процессов является убывание спектральной плотности по мере того, как возрастает частота.

Процесс выделения существенных гармоник — итеративный. При изучении периодограммы выделяется две-три гармоники с максимальной интенсивностью.

Находятся оценки параметров этих наиболее существенных гармоник, и они удаляются из временного ряда с соответствующими весами. Затем остатки временного ряда, получающиеся после исключения значимых гармоник, снова изучаются в той же последовательности, т.е. строится периодограмма для этих остатков, и проявляются те гармоники, которые на начальном этапе были незаметны, и т.д. Количество итераций определяется задаваемой точностью аппроксимации модели процесса, которая представляется в виде линейной комбинации основных гармоник.

Понятие спектра, являясь основополагающим в спектральном анализе, для экономистов играет важную роль еще и потому, что существует функциональная связь выборочного спектра и оценок автоковариационной функции.

13.4. Связь выборочного спектра с автоковариационной функцией Покажем, что выборочный спектр представляет собой косинус-преобразование Фурье выборочной автоковариационной функции.

Теорема Винера—Хинчина:

T -1 T - p(f) =2 c0 +2 ck cos 2fk =2s2 1+2 rk cos 2fk, (13.25) k=1 k=где rk = ck/c0 = ck/s2 — выборочные автокорреляции.

Доказательство.

Объединим коэффициенты Фурье f, f в комплексное число df = f - if, где i — мнимая единица. Тогда T T T p(f) = 2 + f = (f - if )(f + if) = df df, (13.26) f 2 2 где df комплексно сопряжено с df.

13.4. Связь выборочного спектра с автоковариационной функцией Используя формулы для f и f, получим:

T T 2 df = xt cos 2ft - i sin 2ft = xte-i2ft.

T T t=1 t=Точно так же T df = xtei2ft.

T t=Подставляя полученные значения df и df в выражение (13.26), получаем:

T T T 2 p(f) = · xte-i2ft · xtei2ft = 2 T T t=1 t =T T = xtxt e-i2f(t-t ). (13.27) T t=1 t =Произведем замену переменных: пусть k = t - t. Так как автоковариация равна T ck = xtxt-k, T t=k+что тождественно T -k ck = xtxt+k, T t=то выражение (13.27) преобразуется следующим образом:

T T T -1 T 2 xtxt e-i2f(t-t ) = e-i2fk xtxt-k = T T t=1 t =1 k=-(T -1) t=k+T -1 T T - =2 e-i2fk · xtxt-k =2 e-i2fkck.

T k=-(T -1) t=k+1 k=-(T -1) Тогда T -1 T - p(f) =2 e-i2fkck =2 ck cos 2fk - i sin 2fk = k=-(T -1) k=-(T -1) T - =2 c0 +2 ck cos 2fk, 0 f.

k=416 Глава 13. Спектральный и гармонический анализ Теперь допустим, что выборочный спектр, характеризующийся эмпирическими значениями частоты, амплитуды и фазы, вычислен для ряда из T наблюдений и мы можем неоднократно повторить этот эксперимент, соответственно собрав множество значений j, j и p(f) по повторным реализациям. Тогда среднее значение p(f) будет равно:

T - E(p(f)) = 2 E(c0) +2 E(ck)cos2fk, (13.28) k=где c0 и ck — эмпирические значения автоковариации. C учетом того, что E(ck) при больших T стремится к теоретической автоковариации k, получим, переходя к пределу, так называемую теоретическую спектральную плотность, или спектр мощности:

p(f) = lim E(p(f)), 0 f T или p(f) =2 0 +2 k cos(2fk) = k= =22 1+2 k cos(2fk), (13.29) k=где k = k/0 = k/2 — теоретические автокорреляции.

Итак, это соотношение связывает функцию спектральной плотности с теоретическими автоковариациями.

Иногда более удобно использовать автокорреляции: разделим обе части p(f) на дисперсию процесса, 2, и получим нормированный спектр g(f):

g(f) =2 1+2 k cos 2fk, 0 f.

k=Если процесс представляет собой белый шум, то, согласно приведенным формулам, p(f) = 22, т.е. спектральная плотность белого шума постоянна. Этим объясняется термин «белый шум». Подобно тому, как в белом цвете смешаны в одинаковых объемах все цвета, так и белый шум содержит все частоты, и ни одна из них не выделяется.

13.5. Оценка функции спектральной плотности 13.5. Оценка функции спектральной плотности На первый взгляд, выборочный спектр, определенный как T - p(f) = 2 cke-i2fk = (13.30) k=-(T -1) T - = 2 c0 +2 ck cos 2fk, 0 f, (13.31) k=является естественной и правильной оценкой функции спектральной плотности:

+ p(f) =2 ke-i2fk =2 0 +2 k cos 2fk, 0 f. (13.32) k=- k=Известно, что выборочная автоковариация ck — это асимптотически несмещенная оценка параметра k, таккак lim E(ck) =k, T и поэтому выборочный спектр есть также асимптотически несмещенная оценка функции спектральной плотности.

Однако дисперсия оценки (выборочного спектра) не уменьшается по мере роста размера выборки. Это означает, что рассматриваемая оценка несостоятельна. В то время как график функции теоретической спектральной плотности стационарного стохастического процесса «гладкий», — график выборочного спектра, построенный на основе эмпирических данных, «неровный». Использование данной оценки в качестве оценки функции спектральной плотности может привести к ложным выводам.

Поведение выборочного спектра иллюстрируют спектрограммы на рис. 13.1 а), б), в). Гладкая жирная линия соответствует теоретической спектральной плотности случайного процесса, а неровная тонкая линия — оценке по формуле (13.24).

Видно, что с увеличением длины ряда оценка не становится более точной, а только увеличивает частоту флуктуаций.

Существует два подхода к решению проблемы несостоятельности выборочного спектра как оценки теоретического спектра. Оба заключаются в том, что выборочный спектр сглаживается, так что за счет некоторого увеличения смещения этой оценки достигается существенное снижение дисперсии (см. рис. 13.1 г) ). Один подход сглаживает оценку спектра в «частотной области», видоизменяя формулу (13.24), другой же подход видоизменяет формулу (13.25).

418 Глава 13. Спектральный и гармонический анализ а) б) T = T = в) г) T = 1000 T = 1000, сглаженная оценка Рис. 13.1) Взвешивание ординат периодограммы.

Первый способ сглаживания выборочного спектра применяет метод скользящего среднего, рассмотренный в предыдущей главе, к значениям периодограммы.

Сглаживающая оценка определяется в форме M M j j - k ps = µk p = µkIj-k. (13.33) T T k=-M k=-M Здесь {µ-M,..., µ-1, µ0, µ1,..., µM } — 2M +1 коэффициентов скользящего среднего, которые в сумме должны давать единицу, а также должны быть симметричными, в смысле µ-k = µk. Как правило, коэффициент µ0 максимальный, а остальные коэффициенты снижаются в обе стороны. Таким образом, наибольший вес в этой оценке имеют значения выборочного спектра, ближайшие к данной j частоте, в связи с чем данный набор коэффициентов называют спектральным T окном. Через это окно мы как бы «смотрим» на функцию спектральной плотности.

Формула сглаженной спектральной оценки определяется только для значений j = M,..., [T/2] - M. Для гармонических частот с номерами j =0,..., M - и j = [T/2] - M +1,..., [T/2] оценка не определена, поскольку при данных значениях j величина (j - k) может принимать значения -M,..., -1;

Pages:     | 1 |   ...   | 46 | 47 || 49 | 50 |   ...   | 82 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.