WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 45 | 46 || 48 | 49 |   ...   | 82 |

В принципе, если ставится задача выявления тренда, то, с учетом особенностей покомпонентного разложения временного ряда, следует ориентироваться не на минимальную остаточную дисперсию, а на стационарность остатков, получающихся после исключения тренда.

12.2. Экспоненциальное сглаживание Кроме метода скользящей средней как способа фильтрации временного ряда известностью пользуется экспоненциальное сглаживание, в основе которого лежит расчет экспоненциальных средних.

Экспоненциальная средняя рассчитывается по рекуррентной формуле:

st = xt + st-1, (12.4) где st — значение экспоненциальной средней в момент t, — параметр сглаживания (вес последнего наблюдения), 0 <<1, =1 -.

Экспоненциальную среднюю, используя рекуррентность формулы (12.4), можно выразить через значения временного ряда:

st = xt + (xt-1 + st-2) =xt + xt-1 + 2st-2 =... = = xt + xt-1 + 2xt-2 +... + jxt-j +... + t-1x1 + ts0 = t- = jxt-j + ts0, (12.5) j=t — количество уровней ряда, s0 — некоторая величина, характеризующая начальные условия для первого применения формулы (12.4) при t =1. Вкачестве s0 можно использовать первое значение временного ряда, т.е. x1.

Так как < 1, то при t величина t 0, а сумма коэффициентов t- j 1.

j=Действительно, 1 j = =(1 - ) =1.

1 - 1 - j=12.2. Экспоненциальное сглаживание Тогда последним слагаемым в формуле (12.5) можно пренебречь и st = jxt-j = (1 - )jxt-j.

j=0 j=Таким образом, величина st оказывается взвешенной суммой всех уровней ряда, причем веса уменьшаются экспоненциально, по мере углубления в историю процесса, отсюда название — экспоненциальная средняя.

Несложно показать, что экспоненциальная средняя имеет то же математическое ожидание, что и исходный временной ряд, но меньшую дисперсию.

Что касается параметра сглаживания, то чемближе к единице, тем менее ощутимо расхождение между сглаженным рядом и исходным. И наоборот, чем меньше, тем в большей степени подавляются случайные колебания ряда и отчетливее вырисовывается его тенденция. Экспоненциальное сглаживание можно представить в виде фильтра, на вход которого поступают значения исходного временного рядя, а на выходе формируется экспоненциальная средняя.

Использование экспоненциальной средней в качестве инструмента выравнивания временного ряда оправдано в случае стационарных процессов с незначительным сезонным эффектом. Однако многие процессы содержат тенденцию, сочетающуюся с ярко выраженными сезонными колебаниями.

Довольно эффективный способ описания таких процессов — адаптивные сезонные модели, основанные на экспоненциальном сглаживании. Особенность адаптивных сезонных моделей заключается в том, что по мере поступления новой информации происходит корректировка параметров модели, их приспособление, адаптация к изменяющимся во времени условиям развития процесса.

Выделяют два вида моделей, которые можно изобразить схематично:

1. Модель с аддитивным сезонным эффектом, предложенная Тейлом и Вейджем (Theil H., Wage S.):

xt = ft + gt + t, (12.6) где ft отражает тенденцию развития процесса, gt, gt-1,..., gt-k+1 — аддитивные коэффициенты сезонности; k — количество опорных временных интервалов (фаз) в полном сезонном цикле; t —белыйшум.

2. Модель с мультипликативным сезонным эффектом, разработанная Уинтерсом (Winters P.R.):

xt = ft · mt · t, (12.7) где mt, mt-1,..., mt-k+1 — мультипликативные коэффициенты сезонности.

400 Глава 12. Сглаживание временного ряда В принципе, эта модель после логарифмирования может быть преобразована в модель с аддитивным сезонным эффектом.

Мультипликативные модели целесообразно использовать в тех ситуациях, когда наряду, допустим, с повышением среднего уровня увеличивается амплитуда колебаний, обусловленная сезонным фактором. Если в аддитивных моделях индексы сезонности измеряются в абсолютных величинах, то в мультипликативных — в относительных.

И в том, и в другом случае обновление параметров модели производится по схеме экспоненциального сглаживания. Оба варианта допускают как наличие тенденции (линейной или экспоненциальной), так и ее отсутствие.

Множество комбинаций различных типов тенденций с циклическими эффектами аддитивного и мультипликативного характера можно представить в виде обобщенной формулы:

ft = fd1 +(1- f )d2, где ft — некоторый усредненный уровень временного ряда в момент t после устранения сезонного эффекта, f — параметр сглаживания, 0

xt, — если сезонный эффект отсутствует, xt - gt-k, — в случае аддитивного сезонного эффекта, d1 = xt, — в случае мультипликативного сезонного эффекта.

mt-k Таким образом, d1 представляет собой текущую оценку процесса xt, очищенную от сезонных колебаний с помощью коэффициентов сезонности gt-k или mt-k, рассчитанных для аналогичной фазы предшествующего цикла.

ft-1, — при отсутствии тенденции, d2 = ft-1 + ct-1, — в случае аддитивного роста, ft-1 · rt-1, — в случае экспоненциального роста.

В этой формуле ct-1 — абсолютный прирост, характеризующий изменение среднего уровня процесса, или аддитивный коэффициент роста, rt-1 — коэффициент экспоненциального роста.

Например, для модели с аддитивным ростом и мультипликативным сезонным эффектом подойдет график, изображенный на рисунке 12.1а, а для модели с экспоненциальным ростом и аддитивным сезонным эффектом — график на рисунке 12.1б.

12.2. Экспоненциальное сглаживание Примеры графиков для некоторых типов адаптивных сезонных моделей a) б) xt xt t t Модель с аддитивным ростом Модель с экспоненциальным ростом и мультипликативным сезонным эффектом и аддитивным сезонным эффектом Рис. 12.1. Графики некоторых типов временных рядов Адаптация всех перечисленных параметров осуществляется с помощью экспоненциального сглаживания:

gt = g(xt - ft) +(1- g)gt-k, xt mt = m +(1- m)mt-k, ft ct = c(ft - ft-1) +(1- c)ct-1, ft rt = r +(1- r)rt-1, ft-где 0

Первые две формулы представляют собой линейную комбинацию текущей оценки коэффициента сезонности, полученной путем устранения из исходного уровня процесса значения тренда ( xt - ft и xt/ft), и оценки этого параметра на аналогичной фазе предшествующего цикла ( gt-k и mt-k). Аналогично, две последние формулы являются взвешенной суммой текущей оценки коэффициента роста (соответственно, аддитивного ft - ft-1 и экспоненциального ft/ft-1) и предыдущей его оценки ( ct-1 и rt-1).

Очевидно, что в случае отсутствия тенденции и сезонного эффекта получается простая экспоненциальная средняя:

ft = f xt +(1- f )ft-1.

402 Глава 12. Сглаживание временного ряда Рассмотрим для иллюстрации модель Уинтерса с аддитивным ростом и мультипликативным сезонным эффектом:

xt ft = f +(1- f )(ft-1 + ct-1), mt-k xt mt = m +(1- m)mt-k, (12.8) ft ct = c(ft - ft-1) +(1- c)ct-1.

Расчетные значения исследуемого показателя на каждом шаге, после обновления параметров ft, mt и ct, получаются как произведение ft · mt.

Прежде чем воспользоваться полной схемой экспоненциального сглаживания (12.8), а сделать это можно начиная с момента t = k +1, необходимо получить начальные, отправные значения перечисленных параметров.

Для этого с помощью МНК можно оценить коэффициенты f1 и c1 регрессии:

xt = f1 + c1t + t, и на первом сезонном цикле (для t =1,..., k) адаптацию параметров произвести по усеченному варианту:

ft = f xt +(1- f )ft-1, xt mt =, t =1,..., k, ft ct = c(ft - ft-1) +(1- c)ct-1, gt = xt - ft.

Задача оптимизации модели сводится к поиску наилучших значений параметров f, m, c, выбор которых определяется целями исследования и характером моделируемого процесса. Уинтерс предлагает находить оптимальные уровни этих коэффициентов экспериментальным путем, с помощью сетки значений f, m, c (например, (0, 1; 0, 1; 0, 1), (0, 1; 0, 1; 0, 2),... ). В качестве критерия сравнения вариантов рекомендуется стандартное отклонение ошибки.

12.3. Упражнения и задачи Упражнение 1.1. Сгенерируйте 20 рядов по 100 наблюдений на основе полиномиального тренда t =5 + 4t - 0, 07t2 +0.0005t3 с добавлением белого шума с нормальным распределением и дисперсией 20.

Таблица 12.2. Производство природного газа в СССР (миллиардов кубических футов) январь февраль март апрель май июнь июль август сентябрь октябрь ноябрь декабрь 1971 653.1 589.5 653.1 610.7 610.7 583.2 600.1 614.2 600.1 642.5 642.5 670.1972 670.8 649.5 695.4 664.5 638.9 621.3 620.7 619.4 624.8 653.1 663.6 706.1973 720.1 656.6 734.2 691.9 688.3 688.4 691.2 701.2 653.1 673.2 720.1 673.1974 720.1 709.5 776.6 737.7 741.3 723.7 724.6 758.9 760.0 808.4 811.2 882.1975 864.9 871.9 868.4 861.2 864.8 833.3 833.1 829.6 829.6 840.2 900.1 953.1976 953.1 914.3 967.2 921.3 917.8 916.8 924.9 924.9 917.8 988.4 974.3 1009.1977 1048.4 960.2 960.2 1048.4 998.9 956.6 984.9 995.5 999.0 1175.5 1180.0 1190.1978 1129.6 1129.4 1126.1 1076.7 1080.2 1034.3 1062.5 1064.7 1023.7 1147.2 1136.7 1196.1979 1230.0 1220.0 1220.0 1175.5 1182.5 1140.2 1157.8 1161.4 1164.9 1249.6 1250.6 1306.1980 1309.6 1232.0 1306.1 1246.1 1256.7 1200.2 1246.1 1260.2 1270.8 1270.0 1323.8 1376.1981 1419.1 1299.0 1420.0 1345.0 1313.0 1271.0 1270.0 1334.0 1334.0 1430.0 1430.0 1460.1982 1504.0 1380.0 1528.5 1436.7 1457.9 1412.0 1419.1 1436.7 1447.3 1546.1 1528.5 1623.1983 1627.4 1486.1 1652.0 1528.5 1570.8 1517.9 1514.4 1539.1 1482.6 1648.5 1648.5 1747.1984 1747.4 1648.5 1757.9 1680.3 1697.9 1623.8 1669.7 1697.9 1694.4 1821.5 1803.8 1870.1985 1930.9 1775.6 1941.5 1853.2 1892.1 1765.0 1825.0 1846.2 1870.9 1990.9 1962.7 2047.1986 2075.6 1895.6 2118.0 1983.9 2005.0 1906.2 1959.2 1969.7 1976.8 2103.9 2089.8 2188.1987 2221.3 2030.6 2210.7 2083.6 2118.9 2012.9 2048.3 2048.3 2083.6 2223.9 2259.2 2330.1988 2369.6 2221.3 2366.1 2224.8 2275.0 2146.6 2118.9 2189.5 2189.5 2357.0 2394.8 2447.1989 2510.0 2300.0 2391.0 2333.0 2336.0 2187.7 2208.0 2279.0 2200.0 2500.0 2484.0 2495.1990 2630.0 2400.0 2420.0 2391.0 2430.0 2250.0 2340.0 2340.0 2250.0 2500.0 2450.0 2460.12.3. Упражнения и задачи 404 Глава 12. Сглаживание временного ряда а) Проведите сглаживание сгенерированных рядов с помощью полинома первой степени с длиной отрезка скольжения 5 и 9.

б) Выполните то же задание, используя полином третьей степени.

в) Найдите отклонения исходных рядов от сглаженных рядов, полученных в пунктах (а) и (б). По каждому ряду отклонений вычислите среднеквадратическую ошибку. Сделайте вывод о том, какой метод дает наименьшую среднеквадратическую ошибку.

1.2. Имеются данные о производстве природного газа в СССР (табл. 12.2).

а) Постройте графики ряда и логарифмов этого ряда. Чем они различаются Выделите основные компоненты временного ряда. Какой характер носит сезонность: аддитивный или мультипликативный Сделайте вывод о целесообразности перехода к логарифмам.

б) Примените к исходному ряду метод экспоненциального сглаживания, подобрав параметр сглаживания.

в) Проведите сглаживание временного ряда с использованием адаптивной сезонной модели.

Задачи 1. Сгладить временной ряд x =(3, 4, 5, 6, 7, 11), используя полином первого порядка с длиной отрезка скольжения, равной трем.

2. Записать формулу расчета вектора коэффициентов для полинома третьей степени с помощью метода скользящей средней в матричной форме с расшифровкой обозначений.

3. В чем специфика аппроксимации первых m и последних m точек временного ряда при использовании метода скользящих средних 4. Найти параметры адаптивной сезонной модели для временного ряда x =(1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4,... ).

5. Изобразить график временного ряда с аддитивным ростом и мультипликативным сезонным эффектом.

6. Изобразить график временного ряда с экспоненциальным ростом и аддитивным сезонным эффектом.

7. Записать модель с экспоненциальным ростом и мультипликативным сезонным эффектом, а также формулу прогноза на 5 шагов вперед.

12.3. Упражнения и задачи Рекомендуемая литература 1. Андерсон Т. Статистический анализ временных рядов. — М.: «Мир», 1976.

(Гл. 3).

2. Лукашин Ю.П. Адаптивные методы краткосрочного прогнозирования. — М.: «Статистика», 1979. (Гл. 1, 2).

3. Кендалл М. Дж., Стьюарт А. Многомерный статистический анализ и временные ряды. — М.: «Наука», 1976. (Гл. 46).

4. Маленво Э. Статистические методы эконометрии. Вып. 2. — М.: «Статистика», 1976. (Гл. 11, 12).

5. Mills Terence C. Time Series Techniques for Economists, Cambridge University Press, 1990 (Ch. 9).

Глава Спектральный и гармонический анализ 13.1. Ортогональность тригонометрических функций и преобразование Фурье временного ряда Как известно, тригонометрические функции cos t и sin t являются периодическими с периодом 2:

cos(t +2) =cos t, sin(t +2) =sin t.

Функции cos(t - ) и sin(t - ) периодичны с периодом 2/. Действительно, cos(t - ) =cos(t +2 - ) =cos ((t +2/) - ), sin(t - ) =sin(t +2 - ) =sin((t +2/) - ).

Величина /2, обратная периоду, называется линейной частотой, называют угловой частотой. Линейная частота равна числу периодов (не обязательно целому), содержащемуся в единичном интервале, то есть именно такое число раз функция повторяет свои значения в промежутке [0, 1].

Рассмотрим функцию:

R cos(t - ) =R(cos t cos +sint sin ) = cos(t) + sin(t), 13.1 Ортогональность тригонометрических функций.

где = R cos, = R sin или, что эквивалентно, R = 2 + 2, tg = Коэффициент R, являющийся максимумом функции R cos(t - ) называется амплитудой этой функции, а угол называется фазой.

Особенность тригонометрических функций заключается в том, что на определенном диапазоне частот они обладают свойством ортогональности.

Две функции (t) и (t), определенные на конечном множестве {1,..., T}, называются ортогональными, если их скалярное произведение, определенное как сумма произведений значений (t) и (t) в этих точках, равно нулю:

T (t) · (t) =0.

t=Система T тригонометрических функций в точках t {1,..., T} 2j T cjt =cos t, j =0, 1,...,, T (13.1) 2j T - sjt =sin t, j =1,..., T ортогональна, т.е. скалярное произведение векторов T T (cj, ck) = cjtckt =0, j = k, 0 j, k, (13.2) t= T T - (sj, sk) = sjtskt =0, j = k, 0

Для доказательства этого утверждения полезны следующие равенства T 0, при j =0, 2j cos t = (13.5) T T, при j =0, T, t=T 2j sin t =0, (13.6) T t=408 Глава 13. Спектральный и гармонический анализ истинность которых легко установить, выразив тригонометрические функции через показательные с использованием формул Эйлера:

Pages:     | 1 |   ...   | 45 | 46 || 48 | 49 |   ...   | 82 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.