WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 44 | 45 || 47 | 48 |   ...   | 82 |

1.3. Вычислите кросс-ковариации и кросс-корреляции для рядов x и y из предыдущих упражнений для сдвигов -9,..., 0,..., 9.

1.4. Для временного ряда x =(7, -9, 10, -2, 21, 13, 40, 36, 67, 67) оцените параметры полиномиального тренда второго порядка. Постройте точечный и интервальный прогнозы по тренду на 2 шага вперед.

1.5. Сгенерируйте 20 рядов, задаваемых полиномиальным трендом третьего порядка t =5+4t-0.07t2 +0.0005t3 длиной 100 наблюдений, с добавлением белого шума с нормальным распределением и дисперсией 20.

Допустим, истинные значения параметров тренда неизвестны.

а) Для 5 рядов из 20 оцените полиномиальный тренд первого, второго и третьего порядков и выберите модель, которая наиболее точно аппроксимирует сгенерированные данные.

б) Для 20 рядов оцените полиномиальный тренд третьего порядка по первым 50 наблюдениям. Вычислите оценки параметров тренда и их ошибки. Сравните оценки с истинными значениями параметров.

в) Проведите те же вычисления, что и в пункте (б), для 20 рядов, используя 100 наблюдений. Результаты сравните.

г) Используя предшествующие расчеты, найдите точечные и интервальные прогнозы на три шага вперед с уровнем доверия 95%.

1.6. Найдите данные о динамике денежного агрегата M0 в России за 10 последовательных лет и оцените параметры экспоненциального тренда.

1.7. Ряд x =(0.02, 0.05, 0.06, 0.13, 0.15, 0.2, 0.31, 0.46, 0.58, 0.69, 0.78, 0.81, 0.95, 0.97, 0.98) характеризует долю семей, имеющих телевизор. Оцените параметры логиcтического тренда.

1.8. По ряду x из упражнения 3 рассчитайте ранговый коэффициент корреляции Спирмена и сделайте вывод о наличии тенденции.

11.11 Упражнения и задачи Таблица 11.Расходы на рекламу 10 100 50 200 20 70 100 50 300 Объем продаж 1011 1030 1193 1149 1398 1148 1141 1223 1151 1.9. Дан ряд:

x =(10, 9, 12, 11, 14, 12, 17, 14, 19, 16, 18, 21, 20, 23, 22, 26, 23, 28, 25, 30).

а) Оцените модель линейного тренда. Остатки, полученные после исключения тренда, проверьте на стационарность с использованием рангового коэффициента корреляции Спирмена.

б) Рассчитайте для остатков статистику Бартлетта, разбив ряд на 4 интервала по 5 наблюдений. Проверьте однородность выборки по дисперсии.

в) Рассчитайте для остатков статистику Голдфельда—Квандта, исключив 6 наблюдений из середины ряда. Проверьте однородность выборки по дисперсии. Сравните с выводами, полученными на основе критерия Бартлетта.

1.10. По данным таблицы 11.1 оцените модель распределенного лага зависимости объема продаж от расходов на рекламу с лагом 2.

Определите величину максимального лага в модели распределенного лага, используя различные критерии ( t-статистики, F -статистики, информационные критерии).

Задачи 1. Перечислить статистики, использующиеся в расчете коэффициента автокорреляции, и записать их формулы.

2. Чем различается расчет коэффициента автокорреляции для стационарных и нестационарных процессов Записать формулы.

3. Вычислить значение коэффициента корреляции для двух рядов:

x =(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,... ) и y =(2, 4, 6, 8, 10, 12, 14,... ).

4. Посчитать коэффициент автокорреляции первого порядка для ряда x =(2, 4, 6, 8).

5. Есть ли разница между автокорреляционной функцией и трендом автокорреляции 390 Глава 11. Основные понятия в анализе временных рядов 6. Записать уравнения экспоненциального и полиномиального трендов и привести формулы для оценивания их параметров.

7. Записать формулу для оценки темпа прироста экспоненциального тренда.

8. Привести формулу логистической кривой и указать особенности оценивания ее параметров.

9. Оценить параметры линейного тренда для временного ряда x =(1, 2, 5, 6) и записать формулу доверительного интервала для прогноза на 1 шаг вперед.

10. Дан временной ряд: x =(1, 0.5, 2, 5, 1.5). Проверить его на наличие тренда среднего.

11. Пусть L — лаговый оператор. Представьте в виде степенного ряда следующие выражения:

2 -1, 5 2.8 -а) ; б) ; в) ; г).

1 - 0.8L 1 - 0.9L 1+0.4L 1+0.5L Рекомендуемая литература 1. Айвазян С.А. Основы эконометрики. Т.2. — М.: «Юнити», 2001.

2. Андерсон Т. Статистический анализ временных рядов. — М.: «Мир», 1976.

(Гл. 1, 3, 7).

3. Бокс Дж., Дженкинс Г. Анализ временных рядов. Прогноз и управление.

Вып. 1. — М.: «Мир», 1974. (Гл. 1).

4. Кендалл М. Дж., Стьюарт А. Многомерный статистический анализ и временные ряды. — М.: «Наука», 1976. (Гл. 45–47).

Маленво Э. Статистические методы эконометрии. Вып. 2. — М.: «Статистика», 1976. (Гл. 12).

5. Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. Эконометрика — начальный курс. — М.: «Дело», 2000. (Гл. 12).

6. Enders Walter. Applied Econometric Time Series. — Iowa State University, 1995. (Ch. 1).

7. Mills Terence C. Time Series Techniques for Economists, Cambridge University Press, 1990 (Ch. 5).

8. Wooldridge Jeffrey M. Introductory Econometrics: A Modern Approach, 2nd ed., Thomson, 2003 (Ch. 10).

Глава Сглаживание временного ряда 12.1. Метод скользящих средних Одним из альтернативных по отношению к функциональному описанию тренда вариантов сглаживания временного ряда является метод скользящих или, как еще говорят, подвижных средних.

Суть метода заключается в замене исходного временного ряда последовательностью средних, вычисляемых на отрезке, который перемещается вдоль временного ряда, как бы скользит по нему. Задается длина отрезка скольжения (2m +1) по временной оси, т.е. берется нечетное число наблюдений. Подбирается полином p t = aktk (12.1) k=к группе первых (2m +1) членов ряда, и этот полином используется для определения значения тренда в средней (m +1)-й точке группы. Затем производится сдвиг на один уровень ряда вперед и подбирается полином того же порядка к группе точек, состоящей из 2-го, 3-го,..., (2m +2)-го наблюдения. Находится значение тренда в (m +2)-й точке и т.д. тем же способом вдоль всего ряда до последней группы из (2m +1) наблюдения. В действительности нет необходимости строить полином для каждого отрезка. Как будет показано, эта процедура эквивалентна нахождению линейной комбинации уровней временного ряда с коэффициентами, 392 Глава 12. Сглаживание временного ряда которые могут быть определены раз и навсегда и зависят только от длины отрезка скольжения и степени полинома.

Для определения коэффициентов a0, a1,..., ap полинома (12.1) с помощью МНК по первым (2m +1) точкам минимизируется функционал:

m = (xt - a0 - a1t -... - aptp)2. (12.2) t=-m Заметим, что t принимает условные значения от -m до m. Это весьма удобный прием, существенно упрощающий расчеты. Дифференцирование функционала по a0, a1,..., ap дает систему из p +1 уравнения типа:

m m m m m a0 tj + a1 tj+1 + a2 tj+2 + · · · + ap tj+p = xttj, t=-m t=-m t=-m t=-m t=-m j =0, 1,..., p. (12.3) Решение этой системы уравнений относительно неизвестных параметров m a0, a1,..., ap (i =0, 1,..., 2p) облегчается тем, что все суммы ti при t=-m нечетных i равны нулю. Кроме того, т. к. полином, подобранный по 2m +1 точкам, используется для определения значения тренда в средней точке, а в этой точке t =0, то, положив в уравнении (12.1) t =0, получаем значение тренда, равное a0.

Стало быть, задача сглаживания временного ряда сводится к поиску a0.

Система нормальных уравнений (12.3), которую нужно разрешить относительно a0, разбивается на две подсистемы: одну — содержащую коэффициенты с четными индексами a0, a2, a4,..., другую — включающую коэффициенты с нечетными индексами a1, a3, a5,.... Решение системы относительно a0 зависит от чис m m ленных значений ti и линейных функций от x типа xttj.

t=-m t=-m В итоге, значением тренда в центральной точке отрезка будет средняя арифметическая, взвешенная из значений временного ряда от x-m до xm c весовыми коэффициентами t, которые зависят от значений m и p:

m a0 = txt.

t=-m Указанная формула применяется для всех последующих отрезков скольжения, с вычислением значений тренда в их средних точках.

Продемонстрируем рассматриваемый метод на примере полинома второй степени и длины отрезка скольжения, равной пяти точкам. Здесь надо свести к минимуму сумму:

= (xt - a0 - a1t - a2t2)2.

t=-12.1. Метод скользящих средних Получается система уравнений:

2 2 2 a0 + a1 t + a2 t2 = xt, t=-2 t=-2 t=-2 t=- 2 2 2 a0 t + a1 t2 + a2 t3 = xtt, t=-2 t=-2 t=-2 t=- 2 2 2 a0 t2 + a1 t3 + a2 t4 = xtt2.

t=-2 t=-2 t=-2 t=-Для конкретных значений сумм при ap система уравнений приобретает вид:

5a0 +10a2 = xt, t=- 10a1 = xtt, t=- 10a0 +34a2 = xtt2.

t=-Решение этой системы относительно a0 дает следующий результат:

2 1 a0 = 17 xt - 5 xtt2 = (-3x-2 +12x-1 +17x0 +12x1 - 3x2).

35 t=-2 t=-Весовые коэффициенты для полиномов 2–5 степени и длины отрезка скольжения от 5 до 9 представлены в таблице 12.1.

Таблица 12.1. Фрагмент таблицы Каудена для весов t Длина Степени полинома отрезка скольжения 2m +1 m p =2, p =3 p =4, p =5 2 (-3, 12, 17, 12, -3) 7 3 (-2, 3, 6, 7, 6, 3, -2) (5, -30, 75, 131, 75, -30, 5) 9 4 (-21, 14, 39, 54, 59, 54, (15, -55, 30, 135, 179, 135, 231 30, -55, 15) 39, 14, -21) 394 Глава 12. Сглаживание временного ряда Метод скользящих средних в матричной форме Введем следующие обозначения:

m 1. cj = xttj.

t=-m Так как xt и tj известны, то cj также известно для каждого j =0, 1,..., p.

m 2. i = ti, i =0, 1,..., 2p. Тогда t=-m 0, если i — нечетно, 2m +i =, если i =0, 1i +2i +... + mi, если i — четно.

В таких обозначениях система (12.3) принимает вид:

0 1 · · · p a0 c 1 2 · · · p+1 a1 c =.

.....

.

......

.

.....

p p+1 · · · 2p ap cp В краткой записи эта система выглядит как Ma = c, где матрица M — известна, кроме того, ее элементы с нечетными индексами равны нулю, вектор c также известен.

Из полученной системы следует a = M-1c.

Теперь можно использовать формулу Крамера для нахождения ak:

det Mk+ak =, det M 12.1. Метод скользящих средних где матрица Mk+1 получается из матрицы M заменой (k +1)-го столбца вектором c.

Таким образом, det M1 det M2 det Mp+a =,,...,.

det M det M det M Рассмотрим частный случай, когда m =2 и p =2, т.е. временной ряд аппроксимируется полиномом второй степени:

t = a0 + a1t + a2t2.

Система уравнений, которую нужно решить относительно ak, имеет вид:

2 2 2 a0 tj + a1 tj+1 + a2 tj+2 = xttj, t=-2 t=-2 t=-2 t=-где x-2, x-1, x0, x1, x2 —известны, j =0,..., p. Находим i:

0, если i — нечетно, i =, если i =0, 1i +2i, если i —четно.

Тогда 0 1 2 5/2 0 M = =.

1 2 3 0 5 2 3 4 5 0 Находим определители:

25 · det M = c0 0 5 2 det M1 = =5(17c0 - 5c2) = 17 xt - 5 xtt2, c1 5 t=-2 t=- c2 0 5/2 c0 35 det M2 = = c1 = xtt, 0 c1 2 t=- 5 c2 396 Глава 12. Сглаживание временного ряда 5/2 0 c0 2 c 25 det M3 = =25 - c0 = xtt2 - xt.

0 5 c2 2 t=-2 t=- 5 0 cОтсюда:

2 det M1 a0 = = 17 xt - 5 xtt2, det M t=-2 t=- det M2 a1 = = xtt, det M t=-2 det M3 1 a2 = = xtt2 - xt.

det M 14 t=-2 t=-Таким образом, 3 12 17 12 a0 = - x-2 + x-1 + x0 + x1 - x2, 35 35 35 35 a1 = -0, 2x-2 - 0, 1x-1 +0, 1x1 +0, 2x2, 1 1 1 1 a2 = x-2 - x-1 - x0 - x1 + x2, 7 14 7 14 и каждый из этих коэффициентов получается как взвешенная средняя из уровней временного ряда, входящих в отрезок.

Оценки параметров a1, a2,..., ap необходимы для вычисления значений тренд авпервых m и последних m точках временного ряда, поскольку рассмотренный способ сглаживания ряда через a0 сделать это не позволяет.

Размерность матрицы M определяется степенью полинома: (p +1) (p +1), пределы суммирования во всех формулах задаются длиной отрезка скольжения.

Следовательно, для выбранных значений p и m можно получить общее решение в виде вектора (a0, a1,..., ap).

Свойства скользящих средних m 1. Сумма весов t в формуле a0 = txt равна единице.

t=-m Действительно, пусть все значения временного ряда равны одной и той же m m константе c. Тогд а txt = c t должна быть равна этой константе t=-m t=-m m c, а это возможно только в том случае, если t =1.

t=-m 2. Веса симметричны относительно нулевого значения t, т.е. t = -t 12.1. Метод скользящих средних Это следует из того, что весовые коэффициенты при каждом xt зависят от tj, а j принимает только четные значения.

3. Для полиномов четного порядка p =2k формулы расчета a0 будут теми же самыми, что и для полиномов нечетного порядка p =2k +1.

Пусть p =2k +1, тогда матрица коэффициентов системы (12.3) при неизвестных параметрах a0, a1,..., ap будет выглядеть следующим образом:

m m m m t0 t · · · t2k t2k+t=-m t=-m t=-m t=-m m m m m t t2 · · · t2k+1 t2k+ t=-m t=-m t=-m t=-m....

.

.....

.

.

....

m m m m t2k t2k+1 · · · t4k t4k+t=-m t=-m t=-m t=-m m m m m t2k+1 t2k+2 · · · t4k+1 t4k+t=-m t=-m t=-m t=-m Для нахождения a0 используются уравнения с четными степенями t при a0, следовательно, половина строк матрицы, включая последнюю, в расчетах участвовать не будет.

В этом блоке матрицы, содержащем коэффициенты при a0, a2, a4,..., последний столбец состоит из нулей, так как его элементы — суммы нечетных степеней t. Таким образом, уравнения для нахождения a0 при нечетном значении p =2k +1 в точности совпадают с уравнениями, которые надо решить для нахождения a0 при меньшем на единицу четном значении p =2k:

m m m t0 t2 · · · t2k t=-m t=-m t=-m m m m t2 t4 · · · t2k+ t=-m t=-m t=-m.

...

.

....

.

...

m m m t2k t2k+2 · · · t4k t=-m t=-m t=-m 4. Оценки параметров a1,..., ap тоже выражены в виде линейной комбинации уровней временного ряда, входящих в отрезок, но весовые коэффициенты в этих формулах в сумме равны нулю и не симметричны.

Естественным образом возникает вопрос, какой степени полином следует выбирать и какой должна быть длина отрезка скольжения. Закономерность такова:

чем выше степень полинома и короче отрезок скольжения, тем ближе расчетные 398 Глава 12. Сглаживание временного ряда значения к первоначальным данным. При этом, помимо тенденции могут воспроизводиться и случайные колебания, нарушающие ее смысл. И наоборот, чем ниже степень полинома и чем длиннее отрезок скольжения, тем более гладкой является сглаживающая кривая, тем в большей мере она отвечает свойствам тенденции, хотя ошибка аппроксимации будет при этом выше.

Pages:     | 1 |   ...   | 44 | 45 || 47 | 48 |   ...   | 82 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.