WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 42 | 43 || 45 | 46 |   ...   | 82 |

xt = zt + +, где zt — фиктивная переменная, принимающая значение 0 в первой части ряд а и 1 во второй части ряда. Статистика Стьюдента для переменной zt совпадает со статистикой (11.16).

Критерий сравнения средних применим и в случае, когда ряд xt не является гауссовским, а имеет какое-либо другое распределение. Однако его использование в случае автокоррелированного нестационарного ряда для проверки неизменности среднего неправомерно, поскольку критерий чувствителен не только Формула (11.16) намеренно записана без учета того, что T1 + T2 = T, чтобы она охватывала и вариант использования с T1 + T2

372 Глава 11. Основные понятия в анализе временных рядов к структурным сдвигам, но и к автокоррелированности ряда. Поэтому в исходном виде критерий сравнения средних следует считать одним из критериев случайности.

В какой-то степени проблему автокорреляции (а одновременно и гетероскедастичности) можно решить за счет использования устойчивой к автокорреляции и гетероскедастичности оценки Ньюи—Уэста (см. п. 8.3). При использовании этой модификации критерий сравнения средних перестает быть критерием случайности и его можно использовать как критерий стационарности ряда.

Легко распространить этот метод на случай, когда ряд разбивается более чем на две части. В этом случае во вспомогательной регрессии будет более одной фиктивной переменной и следует применять уже F -статистику, а не t-статистику. Так, разбиение на три части может помочь выявить U-образную динамику среднего (например, в первой и третьей части среднее велико, а во второй мало).

Ясно, что с помощью подобных регрессий можно также проверять отсутствие неслучайной зависящей от времени t компоненты другого вида. Например, переменная zt может иметь видлинейного тренда zt = t. Можно также дополнительно включить в регрессию t2, t3 и т.д. и тем самым «уловить» нелинейную тенденцию.

Однако в таком виде по указанным выше причинам следует проявлять осторожность при анализе сильно коррелированных рядов.

11.6.4. Постоянство дисперсии Сравнение дисперсий Так же как при сравнении средних, при сравнении дисперсий последовательность xt разбивается на две группы с числом наблюдений T1 и T2 = T - T1, д ля каждой из них вычисляется несмещенная дисперсия s2 и строится дисперсионное i отношение:

sF =. (11.17) sЭтот критерий представляет собой частный случай критерия Голдфельда— Квандта (см. п. 8.2).

Если дисперсии однородны и выполнено предположение о нормальности распределения исходного временного ряда (более точно — ряд представляет собой гауссовский белый шум), то F -статистика имеет распределение Фишера FT2-1, T1-1 (см. Приложение A.3.2).

Смысл данной статистики состоит в том, что, когда дисперсии сильно отличаются, статистика будет либо существенно больше единицы, либо существенно 11.7. Лаговый оператор меньше единицы. В данном случае естественно использовать двусторонний критерий (поскольку мы априорно не знаем, растет дисперсия или падает). Это, конечно, не совсем обычно для критериев, основанных на F -статистике. Для уровня можно взять в качестве критических границ такие величины, чтобы вероятность попадания и в левый, и в правый хвост была одной и той же — 2.

Нулевая гипотеза состоит в том, что дисперсия однородна. Если дисперсионное отношение попадает в один из двух хвостов, то нулевая гипотеза отклоняется.

Мощность критерия можно увеличить, исключив часть центральных наблюдений. Этот подход оправдан в случае монотонного поведения дисперсии временного ряда, тогда дисперсионное отношение покажет больший разброс значений.

Если же временной ряд не монотонен, например имеет U-образную форму, то мощность теста в результате исключения центральных наблюдений существенно уменьшается.

Как и в случае сравнения средних, критерий применим только в случае, когда проверяемый процесс является белым шумом. Если же, например, ряд является стационарным, но автокоррелированным, то данный критерий применять не следует.

11.7. Лаговый оператор Одним из основных понятий, употребляемых при моделировании временных рядов, является понятие лага. В буквальном смысле в переводе с английского лаг — запаздывание. Под лагом некоторой переменной понимают ее значение в предыдущие периоды времени. Например, для переменной xt лагом в k периодов будет xt-k.

При работе с временными рядами удобно использовать лаговый оператор L, т.е. оператор запаздывания, сдвига назад во времени. Хотя часто использование этого оператора сопряжено с некоторой потерей математической строгости, однако это окупается значительным упрощением вычислений.

Если к переменной применить лаговый оператор, то в результате получится лаг этой переменной:

Lxt = xt-1.

Использование лагового оператора L обеспечивает сжатую запись разностных уравнений и помогает изучать свойства целого ряда процессов.

Удобство использования лагового оператора состоит в том, что с ним можно обращаться как с обычной переменной, т.е. операторы можно преобразовывать сами по себе, без учета тех временных рядов, к которым они применяются. Основное 374 Глава 11. Основные понятия в анализе временных рядов отличие лагового оператора от обычной переменной состоит в том, что оператор должен стоять перед тем рядом, к которому применяется, т.е. нельзя переставлять местами лаговый оператор и временной ряд.

Как и для обычных переменных, существуют функции от лагового оператора, они, в свою очередь, тоже являются операторами. Простейшая функция — степенная.

По определению, для целых m Lmxt = xt-m, т.е. Lm, действующий на xt, означает запаздывание этой переменной на m периодов.

Продолжая ту же логику, можно определить многочлен от лагового оператора, или лаговый многочлен:

m (L) = iLt-k = 0 + 1L + · · · + mLm.

i=Если применить лаговый многочлен к переменной xt, то получается (L)xt =(0 + 1L + · · · + mLm)xt = 0xt + 1xt-1 + · · · + mxt-m.

Нетрудно проверить, что лаговые многочлены можно перемножать как обычные многочлены. Например, (0 + 1L)(0 + 1L) =00 +(10 + 01)L + 11L2.

При m получается бесконечный степенной рядот лагового оператора:

iLi xt =(0 + 1L + 2L2 + · · · )xt = i= = 0xt + 1xt-1 + 2xt-2 + · · · = ixt-i.

i=Полезно помнить следующие свойства лаговых операторов:

1) Лаг константы есть константа: LC = C.

2) Дистрибутивность: (Li + Lj)xt = Lixt + Ljxt = xt-i + xt-j.

3) Ассоциативность: LiLjxt = Li(Ljxt) = Lixt-j = xt-i-j. Заметим, что:

L0xt = xt, т.е. L0 = I.

11.8. Модели регрессии с распределенным лагом 4) L, возведенный в отрицательную степень, — опережающий оператор:

L-ixt = xt+i.

5) При || < 1 бесконечная сумма (1 + L + 2L2 + 3L3 +... )xt =(1 - L)-1xt.

Для доказательства умножим обе части уравнения на (1 - L):

(1 - L)(1 + L + 2L2 + 3L3 +... )xt = xt, поскольку при || < выражение nLnxt 0 при n.

Кроме лагового оператора в теории временных рядов широко используют разностный оператор, который определяется следующим образом:

=1 - L, так что xt =(1 - L)xt = xt - xt-1.

Разностный оператор превращает исходный ряд в ряд первых разностей.

Ряд d-х разностей (разностей d-го порядка) получается как степень разностного оператора, то есть применением разностного оператора d раз.

При d = 2 получается 2 = (1 - L)2 = 1 - 2L + L2, поэтому 2xt = =(1 - 2L + L2)xt = xt - 2xt-1 + xt-2.

Для произвольного порядка d следует использовать формулу бинома Ньютона:

d d! k k d =(1 - L)d = (-1)kCd Lk, гд е Cd =, k!(d - k)! k= d k так что dxt =(1 - L)dxt = (-1)kCd xt-k.

k=11.8. Модели регрессии с распределенным лагом Часто при моделировании экономических процессов на изучаемую переменную xt влияют не только текущие значения объясняющего фактора zt, но и его лаги. Типичным примером являются капиталовложения: они всегда дают результат с некоторым лагом.

Модель распределенного лага можно записать следующим образом:

q xt = µ + jzt-j + t = µ + (L)zt + t. (11.18) j=376 Глава 11. Основные понятия в анализе временных рядов q j где q — величина наибольшего лага, (B) = jL — лаговый многочлен, j=0 j t — случайное возмущение, ошибка. Коэффициенты j задают структуру лага q и называются весами. Конструкцию jzt-j часто называют «скользящим j=средним» переменной zt 10.

Рассмотрим практические проблемы получения оценок коэффициентов j в модели (11.18). Модель распределенного лага можно оценивать обычным методом наименьших квадратов, если выполнены стандартные предположения регрессионного анализа. В частности, количество лагов не должно быть слишком большим, чтобы количество регрессоров не превышало количество наблюдений, и все лаги переменной zt, т.е. zt-j (j =0,..., q), не должны быть коррелированы с ошибкой t.

Одна из проблем, возникающих при оценивании модели распределенного лага, найти величину наибольшего лага q. При этом приходится начать с некоторого предположения, то есть взять за основу число Q, выше которого q быть не может.

Выбор такого числа осуществляется на основе некоторой дополнительной информации, например, опыта человека, который оценивает модель. Можно предложить следующие способы практического определения величины q.

1) Для каждого конкретного q оценивается модель (11.18), и из нее берется t-статистика для последнего коэффициента, т.е. q. Эти t-статистики рассматриваются в обратном порядке, начиная с q = Q (и заканчивая q =0). Как только t-статистика оказывается значимой при некотором наперед заданном уровне, то следует остановиться и выбрать соответствующую величину q.

2) Следует оценить модель (11.18) при q = Q. Из этой регрессии берутся F -статистики для проверки нулевой гипотезы о том, что коэффициенты при последних Q - q +1 лагах, т.е. q,..., Q, одновременно равны нулю:

H0 : j =0, j = q,..., Q.

Соответствующие F -статистики рассчитываются по формулам:

(RSSQ - RSSq-1)/(Q - q +1) Fq =, RSSQ/(T - Q - 2) где RSSr— сумма квадратов остатков из модели распределенного лага при q = r, T — количество наблюдений. При этом при проведении расчетов для сопоставимости во всех моделях надо использовать одни и те же наблюдения — те, которые использовались при q = Q (следовательно, при всех q используется одно и то же T ). Эти F -статистики рассматриваются в обратном порядке от q = Q до q =(в последнем случае в модели переменная z отсутствует). Как только F -статистика Другое часто используемое название — «линейный фильтр».

11.9. Условные распределения оказывается значимой при некотором наперед заданном уровне, то следует остановиться и выбрать соответствующую величину q.

3) Для всех q от q =0 до q = Q рассчитывается величина информационного критерия, а затем выбирается модель с наименьшим значением этого информационного критерия. Приведем наиболее часто используемые информационные критерии.

Информационный критерий Акаике:

RSS 2(n +1) AIC =ln( ) +, T T где RSS сумма квадратов остатков в модели, T — фактически использовавшееся количество наблюдений, n — количество факторов в регрессии (не считая константу). В рассматриваемом случае n = q +1, а T = T0 - q, гд е T0 — количество наблюдений при q =0.

Байесовский информационный критерий (информационный критерий Шварца):

RSS (n +1) lnT BIC =ln( ) +.

T T Как видно из формул, критерий Акаике благоприятствует выбору более короткого лага, чем критерий Шварца.

11.9. Условные распределения Условные распределения играют важную роль в анализе временных рядов, особенно при прогнозировании. Мы не будем вдаваться в теорию условных распределений, это предмет теории вероятностей (определения и свойства условных распределений см. в Приложении A.3.1). Здесь мы рассмотрим лишь основные правила, по которым можно проводить преобразования. При этом будем использовать следующее стандартное обозначение: если речь идет о распределении случайной величины X, условном по случайной величине Y (условном относительно Y ), то это записывается в виде X|Y.

Основное правило работы с условными распределениями, которое следует запомнить, состоит в том, что если рассматривается распределение, условное относительно случайной величины Y, тос Y и ее функциями следует поступать так же, как с детерминированными величинами. Например, для условных математических ожиданий и дисперсий выполняется E ((Y ) +(Y )X|Y ) =(Y ) +(Y )E(X|Y ), var ((Y ) +(Y )X|Y ) =2(Y )var(X|Y ).

378 Глава 11. Основные понятия в анализе временных рядов Как и обычное безусловное математическое ожидание, условное ожидание представляет собой линейный оператор. В частности, ожидание суммы есть сумма ожиданий:

E (X1 + X2|Y ) =E(X1|Y ) +E(X2|Y ).

Условное математическое ожидание E(X|Y ) в общем случае не является детерминированной величиной, т.е. оно является случайной величиной, которая может иметь свое математическое ожидание, характеризоваться положительной дисперсией и т.п.

Если от условного математического ожидания случайной величины X еще раз взять обычное (безусловное) математическое ожидание, то получится обычное (безусловное) математическое ожидание случайной величины X. Таким образом, действует следующее правило повторного взятия ожидания:

E (E(X|Y )) = E(X).

В более общей форме это правило имеет следующий вид:

E (E(X|Y, Z)|Y ) =E(X|Y ), что позволяет применять его и тогда, когда второй раз ожидание берется не полностью, т.е. не безусловное, а лишь условное относительно информации, являющейся частью информации, относительно которой ожидание бралось первый раз.

Если случайные величины X и Y статистически независимы, то распределение X, условное по Y, совпадает с безусловным распределением X. След овательно, для независимых случайных величин X и Y выполнено, в частности, E(X|Y ) =E(X), var(X|Y ) =var(X).

11.10. Оптимальное в среднеквадратическом смысле прогнозирование: общая теория 11.10.1. Условное математическое ожидание как оптимальный прогноз Докажем в абстрактном виде, безотносительно к моделям временных рядов, общее свойство условного математического ожидания, заключающееся в том, что оно минимизирует средний квадрат ошибки прогноза.

Предположим, что строится прогноз некоторой случайной величины x на основе другой случайной величины, z, и что точность прогноза при этом оценивается 11.10 Оптимальное в среднеквадратическом смысле прогнозирование на основе среднего квадрата ошибки прогноза = x - xp(z), гд е xp(z) —прогнозная функция. Таким образом, требуется получить прогноз, который бы минимизировал E 2 = E (x - xp(z))2.

Оказывается, что наилучший в указанном смысле прогноз дает математическое ожидание x, условное относительно z, т.е. E (x|z), которое мы будем обозначать x(z). Докажем это. Возьмем произвольный прогноз xp(z) и представим ошибку прогноза в виде:

x - xp(z) = =(x - x(z)) + (x(z) - xp(z)).

Pages:     | 1 |   ...   | 42 | 43 || 45 | 46 |   ...   | 82 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.