WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 37 | 38 || 40 | 41 |   ...   | 82 |

Если данное уравнение точно идентифицировано, то для оценки его параметров можно использовать косвенный метод (КМ) наименьших квадратов: с помощью МНК оцениваются параметры приведенной формы системы уравнений, через которые однозначно выражаются структурные параметры данного уравнения.

В качестве примера можно использовать оценку параметров второго уравнения модели (10.15, 10.16), которое точно идентифицировано. Действительно, параметры приведенной формы модели однозначно определяют оценку -22, как это следует из (10.19):

d-bKM =. (10.23) dПоскольку xii1 pii d11 =, d12 =, 2 i1 iто соотношение (10.23) означает, что xii -bKM =, pii т.е. что (ср. с (10.22)) используется метод инструментальных переменных с z1 вкачестве инструментальной переменной.

326 Глава 10. Оценка параметров систем уравнений Можно записать уравнения для оценки косвенным методом в общем случае.

Сначала следует обратить внимание на то, что условия (10.11) эквивалентны требованиям TlBl = Bl, TlAl = Al, (10.24) где TlB — k kl-матрица, полученная из Ik вычеркиванием столбцов, соответствующих тем изучаемым переменным, которые исключены из l-го уравнения;

TlA –аналогичная (n +1) (nl +1)-матрица для Al.

Bl и Al имеют нулевые компоненты, соответствующие исключенным из l-го уравнения переменным.

Далее необходимо учесть, что параметры структурной формы, удовлетворяющие условиям (10.24), должны для своей идентификации еще удовлетворять соотношениям (10.10). Тем самым получается система уравнений для нахождения параметров структурной формы:

DTlBbl - TlAal =0, или по определению матрицы TlB:

Dlbl - TlAal =0, где Dl – оценки параметров приведенной формы уравнений для изучаемых переменных, вошедших в l-е уравнение, или, наконец, Dl = Dl bl + TlAal, (10.25) где Dl — оценки параметров l-го уравнения в приведенной форме, Dl — оценки параметров приведенной формы уравнений для изучаемых переменных, вошедших в правую часть l-го уравнения.

Эти матрицы коэффициентов приведенной формы представляются следующим образом:

Dl =(Z Z)-1Z Xl, Dl =(Z Z)-1Z Xl, Dl =(Z Z)-1Z Xl.

- Система уравнений (10.25) может быть также получена умножением обеих частей системы (10.21) слева на (Z Z)-1Z, т.к. третье слагаемое правой части отбрасывается (МНК-остатки должны быть ортогональны регрессорам), а во 2-м слагаемом (Z Z)-1Z Zl заменяется на TlA (т.к. по определению этой матрицы Zl = ZTlA).

В общем случае, матрица этой системы Dl TlA имеет размерность (n +1) (kl + nl). Первый ее блок имеет размерность (n +1) (kl - 1), второй — (n +1) (nl +1).

10.3. Оценка параметров отдельного уравнения В случае точной идентификации и строгого выполнения условий (10.14) эта матрица квадратна и не вырождена. Система (10.25) дает единственное решение — оценку параметров структурной формы l-го уравнения косвенным методом наименьших квадратов.

В структурной форме со скрытым свободным членом модель (10.15+10.16) записывается следующим образом:

1 1 a11 X P =[ Z1 1N ] +[ e1 e2 ], -b21 b22 c1 cа ее второе, точно идентифицированное уравнение в форме (10.21) — X = P (-b22) +[ Z1 1N ] +[ e1 e2 ]. (10.26) cКак это было показано выше, обе части (10.26) умножаются на матрицу - Z Z 1 Z1 1N :

1 N N d11 d= (-b22) +, d21 d22 cили A A D1 = D2(-b22) +T2 c2, где T2 =.

Непосредственно в форме (10.25) при учете условий нормализации эта система записалась бы в виде:

A D2b22 = -D1 + T2 c2.

Из решения этой системы -bKM получается таким же, как в (10.23), кроме того, получается оценка свободного члена:

dcKM = d21 - d22.

d328 Глава 10. Оценка параметров систем уравнений Если уравнение не идентифицировано, переменных в системе (10.21) оказывается больше, чем уравнений, и эта система представляет бесконечное множество значений параметров структурной формы. Чтобы выбрать из этого множество какое-то решение, часть параметров структурной формы надо зафиксировать, т.е. сделать уравнение идентифицированным.

Для сверхидентифицированного уравнения система (10.21) является переопределенной, и ее уравнения не могут выполняться как равенства. Различные методы оценки такого уравнения реализуют различные подходы к минимизации невязок по уравнениям этой системы.

Одним из таких методов является двухшаговый метод (2М) наименьших квадратов.

На первом шаге с помощью МНК оцениваются параметры приведенной формы для переменных Xl :

l Xl = ZDl + V, - l где V — N (kl-1)-матрица остатков по уравнениям; и определяются расчетные значения этих переменных уже без ошибок:

Xlc = ZDl.

- На втором шаге с помощью МНК оцениваются искомые параметры структурной формы из уравнения:

Xl = Xlc bl + Zlal + el. (10.27) Для этого уравнения гипотеза g2 выполняется, т.к. регрессоры не имеют ошибок, и поэтому применим обычный МНК.

Можно определить единый оператор 2M-оценивания. Поскольку Xlc = FXl, - где F = Z(Z Z)-1Z, уравнение (10.24) записывается как:

bl Xl = FXl Zl + el, (10.28) al а оператор, входящий в него, как:

- bl Xl FXl Xl Zl Xl FXl - - - - =. (10.29) al Zl Xl Zl Zl Zl Xl 10.3. Оценка параметров отдельного уравнения Оператор в такой форме получается как результат применения МНК к уравнению (10.25), т.е. результат умножения обеих частей этого уравнения слева на транспонированную матрицу регрессоров и отбрасывания компоненты остатков:

l l F F X- X- Xl = FXl Zl bl. (10.30) Zl Zl al l Откуда следует оператор 2М-оценивания в указанной форме, т.к. F — симметричная идемпотентная матрица и FZl = FZTlA = ZTlA = Zl.

Такой оператор оценивания сверхидентифицированного уравнения можно получить, если МНК применить к системе (10.21) (в этом случае она переопределена и в ее уравнениях возникают невязки), умножив предварительно обе ее части слева на Z.

Система нормальных уравнений для оценки (10.21), умноженной на Z, записывается следующим образом:

l l D- D- Z ZDl = Z Z Dl TlA bl, TlA TlA al и, учитывая, что Dl Z ZDl = Xl FXl, TlA Z ZDl = Zl Xl и т.д., - она преобразуется к виду (10.29).

Отсюда, в частности, следует, что для точно идентифированного уравнения 2М-оценка совпадает с КМ-оценкой, т.к. параметры структурной формы уравнения, однозначно определяемые соотношениями (10.21), удовлетворяют в этом случае и условиям (10.25).

Соотношения (10.29) — первая форма записи оператора 2М-оценивания. Есc l ли в (10.24) учесть, что Xl = Xl - V, этот оператор можно записать в более - прозрачной второй форме:

- l l l bl Xl Xl - V V Xl Zl (Xl - V )Xl - - - - =. (10.31) al Zl Xl Zl Zl Zl Xl 330 Глава 10. Оценка параметров систем уравнений l Это доказывается аналогично с учетом того, что остатки V ортогональны регрессорам Z и, соответственно, l l l l l Z V =0, Xl V = V V, Xl cV =0.

- Попытка применить оператор 2М-оценивания для не идентифицированного уравнения не имеет смысла, т.к. обращаемая матрица в данном операторе вырождена.

В этом легко убедиться, т.к.

FXl Zl = Z Dl TlA, - т.е. матрица наблюдений за регрессорами в (10.25) получается умножением на Z слева матрицы системы (10.21). В последней, если уравнение не идентифицировано, — столбцов больше, чем строк. Следовательно, регрессоры в (10.25) линейно связаны между собой, а матрица системы нормальных уравнений (матрица оператора оценивания) вырождена.

Для сверхидентифицированного уравнения можно использовать также метод наименьшего дисперсионного отношения (МНДО). Строгое обоснование его применимости вытекает из метода максимального правдоподобия.

Пусть bl в уравнении (10.20) оценено, и Xlbl рассматривается как единая эндогенная переменная. В результате применения МНК определяются:

al =(Zl Zl)-1Zl Xlbl, l l (10.32) el =(IN - F )Xlbl, где F = Zl(Zl Zl)-1Zl, l l l e el = bl W bl, где W = Xl (IN - F )Xl.

l Теперь находится остаточная сумма квадратов при условии, что все экзогенные переменные входят в l-е уравнение. Она равна bl Wbl, гд е W = Xl (IN - F )Xl.

Тогда bl должны были бы быть оценены так, чтобы l bl W bl = min! bl Wbl Иначе было бы трудно понять, почему в этом уравнении присутствуют не все экзогенные переменные.

Решение этой задачи приводит к следующим условиям:

l (W - W )bl =0. (10.33) 10.4. Оценка параметров системы идентифицированных уравнений Действительно, из условия равенства нулю первой производной:

l l 2W bl(bl Wbl) - 2Wbl(bl W bl) l = = (W bl - W bl) =0, bl (bl Wbl)2 bl Wbl сразу следует (10.33).

Следовательно, находится как минимальный корень характеристического уравнения (см. Приложение A.1.2) l W - W =0, а bl определяется из 10.33 с точностью до постоянного множителя, т.е. с точностью до нормировки bll =1.

В общем случае min > 1, но при правильной спецификации модели min - 1.

N Оператор - l l l bl Xl Xl - kV V Xl Zl (Xl - kV )Xl - - - - = al Zl Xl Zl Zl Zl Xl позволяет получить так называемые оценки k-класса (не путать с k —количеством эндогенных переменных в системе).

При k =0, они являются обычными МНК-оценками для l-го уравнения, что легко проверяется; при k = 1, это — 2М-оценки; при k = min — МНДОоценки (принимается без доказательства). 2М-оценки занимают промежуточное положение между МНК- и МНДО-оценками (т.к. min > 1). Исследования показывают, что эффективные оценки получаются при k <1.

10.4. Оценка параметров системы идентифицированных уравнений Из приведенной формы системы уравнений следует, что x =(B-1) A z +(B-1).

Как и прежде, в любом наблюдении E() =0, E( ) =2, и ошибки не коррелированы по наблюдениям. Тогда E(x ) =(B-1) E( ) =2(B-1), 332 Глава 10. Оценка параметров систем уравнений т.е. в общем случае все эндогенные переменные коррелированы с ошибками во всех уравнениях. Это является основным препятствием для применения обычного МНК ко всем уравнениям по отдельности.

Но в случае, если в матрице B все элементы, расположенные ниже главной диагонали, равны нулю, т.е. в правой части l-го уравнения могут появлять ся только более младшие эндогенные переменные xl, l < l, и последней компонентой любого вектора xl является xl, а матрица диагональна, то l не коррелирует с переменными xl при любом l. Это — рекурсивная система, и для оценки ее параметров можно применять МНК к отдельным уравнениям.

Для оценки параметров всех идентифицированных уравнений системы можно применить трехшаговый метод (3М) наименьших квадратов.

Первые два шага 3М совпадают с 2М, но представляются они по сравнению с предыдущим пунктом в несколько иной форме.

Предполагается, что идентифицированы все k уравнений:

Xl = Xl l + Zll + l = Qll + l, l =1,..., k, где Ql =[Xl, Zl], l =[ l l ]. Учитывая указанные выше свойства остатков:

E(l ) =2llIN, E(l ) =2l lIN.

l l Теперь обе части l-го уравнения умножаются слева на Z :

Z Xl = Z Qll + Z l, (10.34) и Z Xl рассматривается как вектор n +1 наблюдений за одной эндогенной переменной, а Z Ql — как матрица n +1 наблюдений за nl + kl экзогенными переменными, включая свободный член. Так как все уравнения идентифицированы, и выполнено условие (10.14), во всех этих новых регрессиях количество наблюдений не меньше количества оцениваемых параметров. Для сверхидентифицированных уравнений количество наблюдений в новой регрессии будет превышать количество оцениваемых параметров. Это более естественный случай. Поэтому 3М-метод обычно применяют для всех сверхидентифицированных уравнений системы.

Матрица ковариации остатков по уравнению (10.34) равна 2llZ Z. Она отлична от 2IN, и для получения оценок cl параметров l этого уравнения нужно использовать ОМНК:

cl =(Ql Z(Z Z)-1Z Ql)-1Ql Z(Z Z)-1Z Xl, или cl =(Ql FQl)-1Ql FXl.

10.4. Оценка параметров системы идентифицированных уравнений Сравнив полученное выражение с (10.29), легко убедится в том, что cl — 2М-оценка.

Если 2М на этом заканчивается, то в 3М полученные оценки cl используются для того, чтобы оценить el, и затем получить оценки W матрицы 2:

1 wll = e el, wl l = e el.

l l N N Теперь все уравнения (10.34) записываются в единой системе (подобная запись использовалась в п.10.1 при доказательстве одного из утверждений):

Z X1 Z Q1 0 · · · 0 1 Z Z X2 0 Z Q2 · · · 0 2 Z = +, (10.35)......

.

.......

.

......

Z Xk 0 0 · · · Z Qk k Z k или Y = Q +, где Y — соответствующий k · (n +1)-вектор-столбец наблюдений за изучаемой переменной;

k Q — k(n +1) (kl + nl)-матрица наблюдений за экзогенными переменl=ными;

k — (kl + nl)-вектор-столбец параметров регрессии;

l= — k(n +1)-вектор-столбец остатков по наблюдениям.

Легко проверить, что матрица ковариации остатков удовлетворяет следующему соотношению:

E( ) =2 (Z Z).

Для нее имеется оценка: k(n +1) (n +1)-матрица =W (Z Z). Эта матрица отлична от 2Ik(n+1), поэтому на третьем шаге 3М-оценивания к единой системе (10.35) применяется ОМНК и получается окончательная оценка c параметров :

c =(Q -1Q)-1Q -1Y.

334 Глава 10. Оценка параметров систем уравнений 10.5. Упражнения и задачи Упражнение Рассматривается простая Кейнсианская модель:

Таблица 10. c = 1N + y +, i c y 1 = y = c + i, 2.00 18.19 20.19 0.2.00 17.50 19.50 –0.где c, i и y — объем потребления, инвестиции и доход соответственно, 1N — стол2.20 16.48 18.68 –2.бец, состоящий из единиц. Пусть каждый век2.20 19.06 21.26 0.тор имеет размерность 20 1, E() = 0 и E( ) =2IN =0.22I20. Система уравнений 2.40 21.38 23.78 1.приведенной формы следующая:

2.40 21.23 23.63 1. 2.60 21.11 23.71 0. c = 1N + i +, 1- 1- 1 2.60 22.65 25.25 2. 1 y = 1N + i +, 1- 1- 12.80 20.74 23.54 –0.Ошибки в приведенной форме для c и y та2.80 19.85 22.65 –1.ковы:

3.00 22.23 25.23 0.1 1 1 = 2 = = =, 3.00 22.23 25.23 0.1 - 1 - 0.8 0.т.е. в модели в приведенной форме ошибки 1 3.20 23.43 26.63 0.и 2 распределены как N(0, I). В таблице 3.20 23.04 26.24 0.10.1 на основе заданных 20-ти гипотетических 3.40 23.03 26.43 –0.значений для i (первая колонка) и нормально распределенных ошибок (последняя колон3.40 24.45 27.85 0.ка) получены данные для c и y из уравнений 3.60 26.63 30.23 2.приведенной формы, используя значения параметров =2 и =0.8.

3.60 24.47 28.07 0.В реальной ситуации существуют только 3.80 24.67 28.47 –0.значения i, c и y. Значения ошибки в модели 3.80 26.00 29.80 0.и значения и неизвестны.

1.1. Используя данные таблицы 10.1, оцените уравнения приведенной формы для объема потреблении и дохода.

10.5. Упражнения и задачи 1.2. Используя данные таблицы 10.1, посчитайте косвенные МНК-оценки для и из а) уравнения приведенной формы для объема потребления и б) уравнения приведенной формы для дохода.

Pages:     | 1 |   ...   | 37 | 38 || 40 | 41 |   ...   | 82 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.