WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 36 | 37 || 39 | 40 |   ...   | 82 |

Mk1a1 · · · Mkkak mk1 · · · mkk 1 где Mll = Zl Zl, mll = Zl Xl, т.е. вектор оценок параметров каждого уравN N нения должен удовлетворять k взаимоисключающим, в общем случае, системам уравнений.

Правильная оценка параметров регрессии дается решением следующих уравнений:

k k -1 - ll Mll al = ll mll, l =1,..., k, l =1 l =-где ll — элемент матрицы -1.

Или в матричной записи:

-1 -1 -1 -11 M11a1+ · · · +1k M1kak 11 m11+ · · · +1k m1k....

..

......

=, (10.6)..

....

-1 -1 -1 -k1 Mk1a1+ · · · +kk Mkkak k1 mk1+ · · · +kk mkk которая при сравнении с (10.5) оказывается результатом умножения в (10.5) всех - Mll и mll на ll и сложения столбцов в обеих частях этого выражения.

10.1. Невзаимозависимые системы Для доказательства этого утверждения необходимо перегруппировать уравнения системы так, чтобы X1 Z1 0 · · · a.

X X =, Z =.

0 Z2., = a2, = 2,....

..

......

..

....

т.е. если забыть об особой структуре матрицы Z, формально имеется одна изучаемая переменная, для которой имеется N · k «наблюдений».

Теперь система (10.4) записывается следующим образом:

X = Z +, и применение простого МНК приводит к получению обычных оценок уравнений в отдельности:

-al = Mll mll.

Однако такой подход неприемлем, надо применять ОМНК, поскольку остатки коррелированы по «наблюдениям», ибо в соответствии со сделанными предположениями E( ) = IN, где — операция прямого умножения матриц (см. Приложения A.1.1 и A.1.2).

Из (8.1) следует, что система нормальных уравнений ОМНК в данном случае выглядит так:

Z -1 IN Z = Z -1 IN X. (10.7) Легко убедиться, что.

-1 - 11 Z11 12 Z12.

.

.

.

Z -1 IN = -1 -.

21 Z21 22 Z22.

.

..

...

..

.

Умножение этой матричной конструкции справа на Z и деление на N дает блочную - матрицу {ll Mll }, которая является матрицей системы (10.6), а умножение ее - справа на X и деление на N —вектор ll mll, являющийся правой частью l системы (10.6).

Таким образом, (10.7) эквивалентна (10.6). Что и требовалось доказать.

-Эта оценка совпадает с обычной МНК-оценкой al = Mll mll, если матрица диагональна, т.е. ошибки изучаемых переменных не коррелированы.

318 Глава 10. Оценка параметров систем уравнений 10.2. Взаимозависимые или одновременные уравнения. Проблема идентификации Далее в этом разделе уравнения регрессии записываются в форме со скрытым свободным членом.

X — N k-матрица наблюдений за изучаемыми переменными x;

Z — N (n +1)-матрица наблюдений за независимыми факторами z;

B — k k-матрица параметров регрессии при изучаемых переменных;

B = Ik, иначе система была бы невзаимозависимой; |B| =0 и ll =1 — усло вия нормализации, т.е. предполагается, что, в конечном счете, в левой части l-го уравнения остается только l-я переменная, а остальные изучаемые переменные переносятся в правую часть;

A — (n+1)k-матрица параметров регрессии (последняя строка — свободные члены в уравнениях);

— N k-матрица значений случайных ошибок по наблюдениям;

XB = ZA +. (10.8) Такая запись одновременных уравнений называется структурной формой.

Умножением справа обеих частей этой системы уравнений на B-1 она приводится к форме, описанной в предыдущем пункте. Это — приведенная форма системы:

X = ZAB-1 + B-1.

D = AB-1 — (n +1) k-матрица параметров регрессии приведенной формы.

Как показано в пункте 10.1, для их оценки можно использовать МНК:

D =(Z Z)-1Z X.

Таким образом, матрица D оценивается без проблем, и ее можно считать известной. Однако задача заключается в оценке параметров B и A системы в приведенной форме. Эти параметры, по определению, удовлетворяют следующим условиям:

DB - A =0 (10.9) или WH =0, гд е W — (n +1) (n + k +1)-матрица D In+1, B H — (n + k +1) k-матрица.

-A 10.2 Взаимозависимые или одновременные уравнения Это — условия для оценки параметров структурной формы. В общем случае эти условия достаточно бессмысленны, т.к. они одинаковы для параметров всех уравнений. Они описывают лишь множество допустимых значений параметров (одинаковое для всех уравнений), поскольку для n + k +1 параметров каждого уравнения структурной формы имеется только n +1 одинаковых уравнений.

Необходимы дополнительные условия, специальные для каждого уравнения.

Пусть для параметров l-го уравнения кроме требования WHl =0 ((Z Z)-1Z XBl - Al =0) (10.10) имеется дополнительно rl условий:

RlHl =0, (10.11) где Rl — rl (n + k +1)-матрица дополнительных условий, Bl Hl — (n + k +1)-вектор-столбец параметров l-го уравнения — -Al l-й столбец матрицы H.

W Hl = WlHl =0 — общие условия для определения структурных пара Rl метров l-го уравнения, где Wl — (n + rl +1) (n + k +1)-матрица.

Они позволяют определить искомые параметры с точностью до постоянного множителя (при выполнении условий нормализации l =1 параметры определяются однозначно), если и только если ранг матрицы Wl равен n + k. Для этого необходимо, чтобы rl k - 1. (10.12) Однако, это условие не является достаточным. Имеется необходимое и достаточное условие для определения параметров l-го уравнения (более операциональное, чем требование равенства n + k ранга матрицы Wl):

rank(RlH) =k - 1. (10.13) Доказательство данного утверждения опускается по причине сложности.

Теперь вводятся определения, связанные с возможностью нахождения параметров уравнения структурной формы: l-е уравнение не идентифицировано, если rl < k - 1; оно точно идентифицировано, если rl = k - 1 и ранг Wl равен n + k; сверхидентифицировано, если rl >k - 1. В первом случае параметры не 320 Глава 10. Оценка параметров систем уравнений могут быть оценены, и, хотя формально, например, используя МНК, оценки можно получить, они никакого смысла не имеют; во втором случае параметры уравнения оцениваются однозначно; в третьем — имеется несколько вариантов оценок.

Обычно строки матрицы Rl являются ортами, т.е. дополнительные ограничения исключают некоторые переменные из структурной формы. Тогда, если kl и nl — количества, соответственно, изучаемых переменных, включая l-ю, и независимых факторов в l-м уравнении, то для его идентификации необходимо, чтобы kl + nl n +1. (10.14) (10.12) По определению, rl = n - nl + k - kl k - 1 nl + kl n +1.

В таком случае условие (10.13) означает, что матрица, составленная из коэффициентов во всех прочих уравнениях, кроме l-го, при переменных, которые исключены из l-го уравнения, должна быть не вырождена. При этом l-й столбец матрицы RlH из (10.13), равный нулю, как это следует из (10.11), исключается из рассмотрения.

Для иллюстрации введенных понятий используется элементарная модель равновесия спроса и предложения на рынке одного товара в предположении, что уравнения спроса и предложения линейны (в логарифмах):

s = b21p + c1 + 1 — предложение, d = -b22p + c2 + 2 —спрос, где p —цена, b21, b22 — эластичности предложения и спроса по цене, s, d и p — логарифмы предложения, спроса и цены.

Наблюдаемой переменной является фактический объем продаж x, и, пред положив, что в действительности рынок находится в равновесии: x = s = d, эту мод ель в структурной форме (10.8) можно записать следующим образом:

1 [ x p ] =[ c1 c2 ] +[ 1 2 ]. (10.15) -b21 bВ такой записи условия нормализации не выполнены, т.к. в левой части обоих уравнений находится одна и та же переменная x; понятно, что принципиального значения эта особенность модели не имеет.

Следует напомнить, что одной из главных гипотез применения статистических методов вообще и МНК в частности является g1: уравнения регрессии представляют истинные зависимости, и речь идет лишь об оценке параметров этих истинных зависимостей. В данном случае это означает, что на спрос и предложение влияет только 10.2 Взаимозависимые или одновременные уравнения x s d p Рис. 10.цена, и линии спроса и предложения в плоскости, абсциссой которой является цена, не меняют своего положения. Поэтому наблюдаемые пары (p, x) сконцентрированы вокруг единственной точки равновесия, облако наблюдений не имеет вытянутостей, и зависимости x от p статистически выявить невозможно (рис. 10.1).

Статистически оба уравнения одинаковы, и нет оснований считать коэффициент регрессии, например, x по p, эластичностью спроса или предложения по цене.

Более того, в данном случае эта регрессия будет не значима. Эти уравнения не идентифицированы. Действительно, k = 2, n = 0, r1 = r2 = 0, и необход имое условие идентификации (10.12) для обоих уравнений не выполнено.

Пусть речь идет о товаре, имеющем сельскохозяйственное происхождение. Тогда его предложение зависит от погодных условий, и в модель следует ввести переменную z1 — некий индекс погоды в течение сельскохозяйственного цикла. В правую часть соотношения (10.15) вводится дополнительное слагаемое:

z1 [ a11 0]. (10.16) Если модель (10.15, 10.16) истинна (гипотеза g3), то подвижной становится линия предложения (погодные условия в разные сельскохозяйственные циклы различны), и облако фактических наблюдений вытягивается вдоль линии спроса. Регрессия x на p дает оценку эластичности спроса по цене (рис. 10.2). В этой ситуации уравнение предложения по-прежнему не идентифицировано, но для уравнения спроса условия идентификации (10.12) выполнены, и это уравнение идентифицировано.

ssx sssd p Рис. 10.322 Глава 10. Оценка параметров систем уравнений s x ddddddp Рис. 10.Действительно: k =2, n =1, r1 =0, r2 =1 и r1

Матрица H в этих условиях имеет следующий вид:

1 -b21 b H =.

-a11 c1 cМатрица R1 —пустая( rl =0), и условия (10.13) для первого уравнения не выполняются. Для второго уравнения R2 = [ 0 0 1 0 ], иматрица R2H равна [ -a11 0], т.е. ее ранг равен единице, и условие (10.13) выполнено. А матрица, составленная из коэффициентов во всех прочих уравнениях, кроме второго, при переменных, которые исключены из второго уравнения, есть [-a11], т.е. она не вырождена.

Теперь рассматривается другая возможность: изучаемый товар входит в потребительскую корзину, и спрос на него зависит от доходов домашних хозяйств. В модель вводится переменная z2 доходов домашних хозяйств, т.е. в правую часть соотношений (10.15) добавляется слагаемое z2 [ 0 a22 ]. (10.17) Если истинна модель (10.15, 10.17), то подвижной окажется линия спроса (разные домашние хозяйства имеют разные доходы), и регрессия x на p даст оценку эластичности предложения по цене (рис. 10.3). В такой ситуации не идентифицировано уравнение спроса. Уравнение предложения идентифицировано: k =2, n =1, r1 =1, r2 =0 и r1 = k - 1, r2

Понятно, что можно говорить о модели, в которую входят обе отмеченные переменные: и z1 и z2. Это — модель (10.15, 10.16, 10.17). В правую часть (10.15) 10.2 Взаимозависимые или одновременные уравнения ssx s3s sdddd2 ddp Рис. 10.добавляется слагаемое a11 [ z1 z2 ].

0 aВ этом случае идентифицированы оба уравнения: k =2, n =1, r1 = r2 =1 =k-1.

Но поскольку подвижны обе линии — и спроса, и предложения — облако наблюдений не имеет вытянутостей (рис. 10.4), и регрессия x на p опять оказывается не значимой. Для оценки параметров регрессии требуется использовать специальные методы, рассматриваемые ниже. Впрочем, и в двух предыдущих случаях необходимо использование специальных методов оценки параметров взаимозависимых систем, т.к. обычный МНК дает смещенные и несостоятельные оценки.

Пусть теперь на предложение товара влияет еще один фактор z3, показывающий, например, количество удобрений на единицу площади, с которой собирается продукт, принимающий в дальнейшем форму товара. Тогда в правой части уравнения (10.15) возникает слагаемое a11 [ z1 z3 ], a31 и первое уравнение по-прежнему остается не идентифицированным, а второе оказывается сверхидентифицированным.

Далее ряд утверждений будет иллюстрироваться на примере модели (10.15, 10.16).

В иллюстрациях эту модель удобнее записывать в сокращенном виде:

1 [ x p = 1 [ (10.18) ] 11 0] +[ 1 2 ].

-21 Поскольку -1 1 1 - =, 21 + -21 22 21 324 Глава 10. Оценка параметров систем уравнений приведенная форма модели имеет следующий вид:

[ x p = 1 [ d11 d12 ] +[ 1 2 ] = ] = (1 [ 1122 - 11 ] +[ 122 + 221 2 - 1 ]). (10.19) 21 + Из этого соотношения видно, как d и связаны с и.

Дальнейшее изложение ведется в предположении, что строки матрицы Rl — орты.

10.3. Оценка параметров отдельного уравнения Вводятся дополнительные обозначения:

Xl — N kl-матрица наблюдений за изучаемыми переменными xl, вход ящими в l-е уравнение;

Xl — N -вектор-столбец наблюдений за l-й переменной xl;

Xl — N (kl - 1)-матрица Xl без столбца Xl наблюдений за xl ;

- l — kl-вектор-столбец параметров при изучаемых переменных в l-м уравнении;

l — (kl - 1)-вектор-столбец l с обратным знаком и без l-го элемента ll =1;

Zl — N (nl+1)-матрица наблюдений за независимыми факторами zl,входящими в l-е уравнение, включая единичный столбец, соответствующий свободному члену;

l — (nl +1)-вектор-столбец параметров при этих факторах вместе со свободным членом;

l — N-вектор-столбец остатков в l-м уравнении по наблюдениям.

Тогда l-е уравнение регрессии можно записать следующим образом:

Xll = Zll + l (10.20) или Xl = Xl l + Zll + l. (10.21) Применение обычного МНК к этому уравнению дает в общем случае смещенные и несостоятельные оценки, прежде всего потому, что остатки l скорее всего коррелированы с регрессорами Xl, которые к тому же недетерминированы и наблюдаются с ошибками (гипотеза g2 нарушена).

10.3. Оценка параметров отдельного уравнения Для иллюстрации справедливости этого утверждения используется модель (10.15, 10.16). Пусть эта модель истинна, и тогда регрессия x на p даст оценку -22:

xipi -bмнк =. (10.22) p i Это выражение можно преобразовать, используя (10.18, 10.19) (чтобы не загро мождать записи, обозначено через P ):

p i xi=-22pi+i2 pi=i1d12+i - bмнк = P xipi = - 22 + P i2pi = i2-ii2= 21 + = -22 + P d12 i1i2 + i2i2 = - 22 + + P d12 i1i2 + 2 - i1i2.

21 + 22 iОчевидно, что -bмнк по математическому ожиданию никак не может равняться -22, поскольку в правой части полученного выражения имеется 2, т.е. д исперiсия (в математическом ожидании) остатка в уравнении по спросу, которая не равна нулю и к тому же не будет уменьшаться с ростом N. Эта оценка смещена и несостоятельна.

Pages:     | 1 |   ...   | 36 | 37 || 39 | 40 |   ...   | 82 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.