WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 33 | 34 || 36 | 37 |   ...   | 82 |

Опишите первый шаг метода Кочрена—Оркарта.

22. Денежная масса измеряется с ошибкой. Как смещен коэффициент зависимости динамики цен от динамики денежной массы относительно его истинного значения 23. Пусть в парной линейной регрессии ошибки зависимой переменной и фактора независимы и имеют одинаковую дисперсию. Запишите задачу для нахождения оценок коэффициентов данной регрессии (с объяснением обозначений).

Рекомендуемая литература 1. Айвазян С.А. Основы эконометрики. Т.2. — М.: Юнити, 2001. (Гл. 2) 288 Глава 8. Нарушение гипотез основной линейной модели 2. Демиденко Е.З. Линейная и нелинейная регрессия. — М.: «Финансы и статистика», 1981. (Гл. 1).

3. Джонстон Дж. Эконометрические методы. — М.: «Статистика», 1980.

(Гл. 7, 8).

4. Доугерти К. Введение в эконометрику. — М.: «Инфра-М», 1997. (Гл. 7).

5. Дрейпер Н., Смит Г. Прикладной регрессионный анализ: В 2-х книгах.

Кн.1 — М.: «Финансы и статистика», 1986. (Гл. 2, 3).

6. Кейн Э. Экономическая статистика и эконометрия. — М.: «Статистика», 1977. Вып. 2. (Гл. 15).

7. Лизер С. Эконометрические методы и задачи. — М.: «Статистика», 1971.

(Гл. 2).

8. Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. Эконометрика — начальный курс. — М.: Дело, 2000. (Гл. 6, 7, 9).

9. Маленво Э. Статистические методы эконометрии. Вып. 1. — М.: «Статистика», 1975. (Гл. 10).

10. Тинтер Г. Введение в эконометрию. — М.: «Статистика», 1965. (Гл. 6).

11. Baltagi, Badi H. Econometrics, 2nd edition, Springer, 1999. (Ch. 5).

12. Davidson, Russel, Mackinnon, James. Estimation and Inference in Econometrics, N 9, Oxford University Press, 1993. (Ch. 16).

13. William E., Griffiths R., Carter H., George G. Judge Learning and Practicing econometrics, N 9 John Wiley & Sons, Inc., 1993. (Ch. 9, 15, 16).

14. Greene W.H. Econometric Analysis, Prentice-Hall, 2000. (Ch. 9, 12, 13).

15. Judge G.G., Hill R.C., Griffiths W.E., Luthepohl H., Lee T. Introduction to the Theory and Practice of Econometric. John Wiley & Sons, Inc., 1993. (Ch 8, 9).

16. Maddala G.S. Introduction to Econometrics, 2nd ed., Prentice Hall, 1992.

(Ch. 5, 6, 7).

Глава Целочисленные переменные в регрессии 9.1. Фиктивные переменные С помощью фиктивных или псевдопеременных, принимающих дискретные, обычно целые значения, в регрессию включают качественные факторы.

Уточнение обозначений:

Z — N n-матрица наблюдений за «обычными» независимыми факторами;

— n-вектор-столбец параметров регрессии при этих факторах;

Z0 =1N; 0=.

В этих обозначениях уравнение регрессии записывается следующим образом:

X = Z + Z00 +.

Пусть имеется один качественный фактор, принимающий два значения (например: «мужчина» и «женщина», если речь идет о модели некоторой характеристики отдельных людей, или «годы войны» и «годы мира» — в модели, построенной на временных рядах наблюдений, которые охватывают периоды войны и мира и т.д.).

Ставится вопрос о том, влияет ли этот фактор на значение свободного члена регрессии.

290 Глава 9. Целочисленные переменные в регрессии G ZG = {zij } — N2-матрица наблюдений за качественным фактором (матG рица фиктивных переменных): zi1 равен единице, если фактор в i-м наблюдении G принимает первое значение, и нулю в противном случае; zi2 равен единице, если фактор в i-м наблюдении принимает второе значение, и нулю в противном случае.

= — двухкомпонентный вектор-столбец параметров при фиктивных переменных.

Исходная форма регрессии с фиктивными переменными:

X = Z + Z00 + ZG +.

Поскольку сумма столбцов матрицы равна Z0, оценка параметоров непосредственно по этому уравнению невозможна.

Проводится преобразование фиктивных переменных одним из двух способов.

а) В исходной форме регрессии исключается один из столбцов матрицы фиктивных переменных, в данном случае — первый.

ZG — матрица фиктивных переменных без первого столбца;

1 1 C =.

0 -1 Тогда эквивалентная исходной запись уравнения имеет вид:

X = Z + Z0, ZG C +, и после умножения матрицы C справа на вектор параметров получается запись уравнения регресии, в которой отсутствует линейная зависимость между факторами-регрессорами:

X = Z + Z00 + ZG +, где 0 = 0 + 1, = 2 - 1.

После оценки этих параметров можно определить значения исходных пара метров 0 и, предполагая, что сумма параметров при фиктивных переменных 9.1. Фиктивные переменные (в данном случае 1+2) равна нулю, т.е. влияние качественного фактора приводит к колебаниям вокруг общего уровня свободного члена:

2 = /2, 1 = -2, 0 = 0 + 2.

б) Предполагая, что сумма параметров при фиктивных переменных равна нулю, в исходной форме регрессии исключается один из этих параметров, в данном случае — первый.

— вектор-стобец параметров при фиктивных переменных без первого элемента;

- C =.

Эквивалентная исходной запись уравнения принимает форму:

X = Z + Z00 + ZGC +, и после умножения матрицы C слева на матрицу наблюдений за фиктивными переменными получается запись уравнения регрессии, в которой также отсутствует линейная зависимость между регрессорами:

X = Z + Z00 + ZG +.

После оценки параметров этого уравнения недостающая оценка параметра определяется из условия 1 = -2.

Качественный фактор может принимать больше двух значений. Так, в классической модели выделения сезонных колебаний он принимает 4 значения, в случае поквартальных наблюдений, и 12 значений, если наблюдения проводились по ме сяцам. Матрица ZG в этой модели имеет размерность, соответственно, N 4 или N 12.

Пусть в общем случае качественный фактор принимает k значений. Тогда:

матрица ZG имеет размерность N k, вектор-столбец — размерность k, матрицы ZG и ZG — N (k - 1), вектор-столбцы и — (k - 1);

1 1 k (k +1) матрица C = ;

0 -1k-1 Ik- - k-k (k - 1) матрица C = ;

Ik-292 Глава 9. Целочисленные переменные в регрессии 0 1 =0, C =, ZGC = ZG.

k Можно показать, что 1 -1 0 k-=, или 0 Ik-1 - 1k- 1 1 (Ik-1 - 1k-1) 0 k-k =, 0 Ik-1 - 1k-k где 1k-1 =1k-11 — (k-1)(k-1)-матрица, состоящая из единиц; и далее поk-казать, что результаты оценки параметров уравнения с фиктивными переменными при использовании обоих указанных подходов к устранению линейной зависимости факторов-регрессоров одинаковы.

В дальнейшем для устранения линейной зависимости столбцов значений фиктивных переменных используется способ «б».

После оценки регрессии можно применить t-критерий для проверки значимости влияния качественного фактора на свободный член уравнения.

Если k слишком велико и приближается к N, то на параметры при фиктивных переменных накладываются более жесткие ограничения (чем равенство нулю их суммы). Так, например, если наблюдения проведены в последовательные моменты времени, и вводится качественный фактор «время», принимающий особое значение в каждый момент времени, то ZG = IN, и обычно предполагается, что значение параметра в каждый момент времени (при фиктивной переменной каждого момента времени) больше, чем в предыдущий момент времени на одну и ту же величину. Тогда роль матрицы C играет N-вектор-столбец T, состоящий из чи сел натурального ряда, начиная с 1, и = TT, гд е T — скаляр. Уравнение регрессии с фактором времени имеет вид (эквивалентная исходной форма уравнения при использовании способа «б» исключения линейной зависимости фиктивных переменных):

X = Z + Z00 + TT +.

Метод фиктивных переменных можно использовать для проверки влияния качественного фактора на коэффициент регрессии при любом обычном факторе. Исходная форма уравнения, в которое вводится качественный фактор для параметра, имеет следующий вид:

X = Z + Z00 + ZjZGj +, 9.1. Фиктивные переменные где Zj — j-й столбец матрицы Z; j — k-вектор-столбец параметров влияния качественного фактора на j; в векторе j-я компонента теперь обозначает ся 0 — средний уровень параметра j; — операция прямого произведения j столбцов матриц.

Прямое произведение матриц A B (произведение Кронекера, см. Приложение A.1.2), имеющих размерность, соответственно, mA nA и mB nB, есть матрица размерности (mAmB) (nAnB) следующей структуры:

a11B · · · a1n B A..

.

...

.

.

..

am 1B · · · am nAB A A Прямое произведение матриц обладает следующими свойствами:

(A1 · · · Am)(B1 · · · B2) =(A1B1) · · · (AmBm), если, конечно, соответствующие матричные произведения имеют смысл:

(A1 · · · Am) = A · · · A, 1 m (A1 · · · Am)-1 = A-1 · · · A-1, 1 m если все матрицы A квадратны и неособенны.

Прямое произведение столбцов матриц применимо к матрицам, имеющим одинаковое число строк, и осуществляется путем проведения операции прямого произведения последовательно с векторами-строками матриц:

A1 B1 A1 B...

...

AB = =.

...

Am Bm Am Bm Эта операция обладает следующим важным свойством:

(A1· · · Am)(B1 · · · B2) =(A1B1)· · · (AmBm).

Приоритет прямого произведения матриц выше, чем обычного матричного произведения.

При использовании способа «а» эквивалентная исходной форма уравнения имеет вид (форма «а»):

j X = Z-j-j + Z00 + Zj Z0, ZG C +, j 294 Глава 9. Целочисленные переменные в регрессии где Z-j — матрица Z без j-го столбца, -j — вектор без j-го элемента, и после устранения линейной зависимости фиктивных переменных:

X = Z + Z00 + ZjZGCj +.

Все приведенные выше структуры матриц и соотношения между матрицами и векторами сохраняются.

В уравнение регрессии можно включать более одного качественного фактора.

В случае двух факторов, принимающих, соответственно, k1 и k2 значения, форма «б» уравнения записывается следующим образом:

X = Z + Z00 + Z11 + Z22 +, где вместо «G» в качестве индекса качественного фактора используется его номер.

Это уравнение может включать фиктивные переменные совместного влияния качественных факторов (взаимодействия факторов). В исходной форме компонента совместного влияния записывается следующим образом:

Z1Z212, 12 12 12 12 12 где 12 =(11,..., 1k2, 21,..., 2k2,..., k11,..., k1k2) — k1 k2-векторстолбец, а i1i2 — параметр при фиктивной переменной, которая равна 1, если первый фактор принимает i1-е значение, а второй фактор — i2-е значение, и равна 0 в остальных случаях (вектор-столбцом наблюдений за этой переменной является (k1(i1 - 1) + i2)-й столбец матрицы Z1Z2).

Как и прежде, вектор параметров, из которого исключены все компоненты, линейно выражаемые через остальные, обозначается 12. Он имеет размерность (k1 - 1) (k2 - 1) и связан с исходным вектором параметров таким образом:

12 = C1 C212, где C1 и C2 — матрицы размерности k1 (k1 - 1) и k2 (k2 - 1), имеющие описанную выше структуру (матрица C).

Теперь компоненту совместного влияния можно записать следующим образом:

(Z1Z2)(C1 C2)12 =(Z1C1)(Z2C2)12 = Z1Z212 = Z1212, а уравнение, включающее эту компоненту (форма «б») — X = Z + Z00 + Z11 + Z22 + Z1212 +.

В общем случае имеется n качественных факторов, j-й фактор принимает kj значений, см. пункт 1.9. Пусть упорядоченное множество {1,..., n} обозначается 9.2. Модели с биномиальной зависимой переменной G,а J — его подмножества. Общее их количество, включая пустое подмножество, равно 2n. Каждому такому подмножеству взаимно-однозначно соответствует число, например, в системе исчисления с основанием max kj, и их можно упорядочить j по возрастанию этих чисел. Если пустое подмножество обозначить 0, то можно записать:

J =0, 1,..., n, {1, 2},..., {1, n}, {2, 3},..., {1, 2, 3},..., G.

Тогда уравнение регрессии записывается следующим образом:

G G G X = Z + ZJJ + = Z + ZJCJJ + = Z + ZJJ +, J=0 J=0 J= где ZJ = Zj, CJ = Cj при j >0, C0 =1. Выражение j J под знаjJ jJ ком произведения означает, что j принимает значения последовательно с первого по последний элемент подмножества J.

Очевидно, что приведенная выше запись уравнения для n =2 является частным случаем данной записи.

Если p(J) — количество элементов в подмножестве J,то ZJJ или ZJJ — J-е эффекты, эффекты p(J)-го порядка; при p(J) = 1 — главные эффекты, при p(J) > 1 — эффекты взаимодействия, эффекты совместного влияния или совместные эффекты.

J или — параметры соответствующих J-х эффектов или также сами эти эффекты.

9.2. Модели с биномиальной зависимой переменной Рассмотрим теперь модели, в которых зависимая переменная принимает только два значения, т.е. является фиктивной переменной. При этом придется отойти от модели линейной регрессии, о которой речь шла выше.

Если изучается спрос на рынке некоторого товара длительного пользования, например, на рынке холодильников определенной марки, то спрос в целом возможно предсказывать с помощью стандартной регрессии. Однако, если изучать спрос на холодильники отдельной семьи, то изучаемая переменная должна быть либо дискретной (0 или 1), либо качественной (не покупать холодильник, купить холодильник марки A, купить холодильник марки B и т.д.). Аналогично, разные методы приходится применять при изучении рынка труда и при изучении решения 296 Глава 9. Целочисленные переменные в регрессии отдельного человека по поводу занятости (работать/не работать). Данные о том, произошло какое-либо событие или нет, также можно представить дискретной переменной вида 0 или 1. При этом не обязательно наличие ситуации выбора.

Например, можно исследовать данные об экономических кризисах, банкротствах (произошел или не произошел кризис или банкротство).

9.2.1. Линейная модель вероятности, логит и пробит В биномиальную модель входит изучаемая переменная x, принимающая два значения, а также объясняющие переменные z, которые содержат факторы, определяющие выбор одного из значений. Без потери общности будем предполагать, что x принимает значения 0 и 1.

Предположим, что мы оценили на основе имеющихся наблюдений линейную регрессию x = z +.

Очевидно, что для почти всех значений z построенная линейная регрессия будет предсказывать абсурдные значения изучаемой переменной x — дробные, отрицательные и большие единицы, что делает ее не очень полезной на практике.

Более того, линейная модель не может быть вполне корректной с формальной точки зрения. Поскольку у биномиальной зависимой переменной распределение будет распределением Бернулли (биномиальным распределением с одним испытанием Бернулли), то оно полностью задается вероятностью получения единицы.

В свою очередь, вероятность того, что x =1, совпадает с математическим ожиданием x, если эта переменная принимает значения 0 и 1:

E(x) =Pr(x =1) · 1+Pr(x =0) · 1 =Pr(x =1).

С другой стороны, ожидание x при данной величине z для линейной модели равно E(x) =z + E() =z.

Pages:     | 1 |   ...   | 33 | 34 || 36 | 37 |   ...   | 82 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.