WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 29 | 30 || 32 | 33 |   ...   | 82 |

x =1.2z1+ 1.0z2- 0.5z3+ 25.Стандартные ошибки оценок ( ) (1.3) (0.06) (2.1) t-статистика (0.8) ( ) ( ) ( ) 95% доверительные интервалы (-1.88; 4.28) ( ) ( ) ( ) Заполните пропуски в скобках.

13. На основе годовых отчетов за 1973–1992 годы о затратах на продукты питания Q, располагаемом доходе Y, индексе цен на продукты питания PF и индексе цен на непродовольственные товары PNF, группа исследователей получила различные регрессионные уравнения для функции спроса на продукты питания:

ln Q = 3.87 - 1.34 ln PF (1.45) (-4.54) R2 = 0.ln Q = 2.83 - 0.92 ln PF + 1.23 ln Y (1.25) (-2.70) (2.99) R2 = 0.ln Q = 2.35 - 0.52 ln PF + 0.95 ln Y + 1.54 ln PNF (1.54) (-1.80) (0.79) (2.45) R2 = 0.В скобках приведены значения t-статистики.

Прокомментируйте полученные оценки коэффициентов и t-статистики, объясните, почему значения могут различаться в трех уравнениях. Можете ли вы предложить решение проблемы статистической незначимости коэффициентов в последнем уравнении 252 Глава 7. Основная модель линейной регрессии 14. Используя приведенные ниже данные, оцените параметры модели xt = + + 1z1t + 2z2t + t и, делая все необходимые предположения, проверьте статистическую значимость коэффициента 1.

2 а) 1t =10, 2t =8, 1t2t =8, 1txt = -10, 2txt = -8, x2 =20, t =1,..., 5;

t 2 б) z1t =55, z2t =28, z1tz2t =38, z1txt =35, z2txt =22, xt =15, z1 =15, z2 =10, N =5, x2 =65.

15. Анализ годовых данных (21 наблюдение) о спросе на некоторый товар привел к следующим результатам:

Средние Стандартные Парные коэффициенты отклонения корреляции z =51.843 sz =9.205 rxz =0. x =8.313 sx =1.780 rxt =0. t =0 st =6.055 rzt =0.z — потребление на душу населения, x — цена с учетом дефлятора, t — время (годы).

а) Найдите коэффициент при времени в оцененной регрессии x по z и t.

б) Проверьте, будет ли этот коэффициент значимо отличен от нуля.

в) Кратко объясните экономический смысл включения в регрессию времени в качестве объясняющей переменной.

16. Какие ограничения на параметры уравнения можно проверить с помощью F -критерия Написать ограничения с расшифровкой обозначений.

17. Пяти-факторное уравнение линейной регрессии для переменной x оценено по 31 наблюдению. При этом объясненная и смещенная остаточная дисперсии соответственно равны 8 и 2. Вычислить коэффициент детерминации и расчетное значение F -статистики.

18. В регрессии x = z11+z22++ по 5-ти наблюдениям смещенная оценка остаточной дисперсии равна 1, а дисперсия зависимой переменной равна 2.

Значима ли эта зависимость 19. По 10 наблюдениям оценено двухфакторное уравнение линейной регрессии, коэффициент детерминации составляет 90%. При каком уровне доверия это уравнение статистически значимо Записать уравнение для нахождения этого уровня значимости.

7.5. Упражнения и задачи 20. Используя следующие данные:

X =(5, 1, -2, 5, -4), Z =(1, 2, 3, 4, 5), и делая все необходимые предположения а) для X = Z +1N + оценить 95-процентные доверительные интервалы для параметров регрессии;

б) проверить значимость коэффициентов регрессии и оценить качество регрессии с вероятностью ошибки 5%.

21. Пусть X = 1Z1 + 2Z2 +, X = (4, -2, 4, 0), Z1 = (1, 1, 2, 2) и Z2 = 2Z1. Постройте систему нормальных уравнений и покажите, что существует бесконечное множество решений для a1 и a2. Выберите любые два решения, покажите, что они дают одинаковые расчетные значения X и, таким образом, одинаковые значения суммы квадратов ошибок.

22. Для уравнения регрессии X = Z +15 + имеются следующие данные:

4 1.03 2.08 0. 8 1.46 2.80 2. X =, Z =(Z1 Z2 Z3) = 5.5 1.14 2.30 0.98.

5.8 1.71 3.05 0. 7.0 1.06 2.17 1.а) Являются ли факторы линейно зависимыми б) Найти матрицу коэффициентов корреляции факторных переменных, рассчитать определитель данной матрицы и сделать вывод о мультиколлинеарности факторов.

в) Рассчитать определитель матрицы коэффициентов корреляции факторных переменных в случае, если из уравнения выводится фактор Z2.

г) Учесть дополнительную внешнюю информацию: 1 = 1.52 (с помощью подстановки в уравнение регрессии) и найти определитель матрицы коэффициентов корреляции факторных переменных.

д) Построить точечный прогноз x (xp) для значений экзогенных переменr ных zr =(z1r, z2r, z3r) =(0.8, 1.6, 0.6):

– при использовании исходного уравнения;

– при исключении из уравнения фактора Z2;

254 Глава 7. Основная модель линейной регрессии – при использовании внешней информации из пункта (г).

23. Пусть цены сильно коррелируют с денежной массой и неплатежами. Коэффициент корреляции между денежной массой и неплатежами равен 0.975 R2 =0.95. Имеет ли смысл строить регрессию цен на эти два (сильно мультиколлинеарных) фактора 24. Модель x = 1z1 + 2z2 + + (1) была оценена по МНК, и был получен коэффициент детерминации R1, ад ля преобразованной модели x = 1z1 + 2z2 + 3z3 + + (2) был получен коэффициент детерминации R2.

а) Объясните, почему не может быть больше, чем. При каких R2 Rусловиях они равны б) Объясните последствия оценки модели (1), если верной является модель (2).

25. В регрессии x = 1z1 + + остатки равны (-2, 1, 0, 1). Оценивается регрессия x = 1z1 + 2z2 + +. Привести пример переменной z2, чтобы коэффициенты детерминации в обеих регрессиях совпадали.

26. В регрессию x = 1z1 + + добавили переменную z2. Переменная zоказалась совершенно незначимой. Как изменились обычный и скорректированный коэффициенты детерминации 27. Коэффициент детерминации в регрессии выпуска продукции по численности занятых в производстве, оцененной по 12 наблюдениям, равен 0.8. После введения в регрессию дополнительного фактора — основного капитала — он вырос до 0.819. Имело ли смысл вводить этот дополнительный фактор Ответ обосновать без применения статистических критериев.

28. Дана модель регрессии xi = 1zi + + i.

а) Как оценивается точечный прогноз xN+1, если известно, что = 0 zN+Покажите, что дисперсия ошибок прогноза будет равна 2 1+.

N zi i=7.5. Упражнения и задачи б) Как оценивается точечный прогноз xN+1, если известно, что = 0 Покажите, что дисперсия ошибок прогноза будет равна 2 1+.

N 29. Почему ошибки прогнозирования по линейной регрессии увеличиваются с ростом горизонта прогноза 30. Была оценена регрессия x = 1z + + по 50 наблюдениям. Делается прогноз x в точке z51. При каком значении z51 доверительный интервал прогноза будет самым узким 31. Вычислите предсказанное значение для x и соответствующую интервальную оценку прогноза при =0.05 в точке z26 =14, если регрессионная модель x =3z + 220 + e построена по 25 наблюдениям, остаточная дисперсия равна 25 исред няяпо z равна 14.

Рекомендуемая литература 1. Айвазян С.А. Основы эконометрики. Т.2. — М.: Юнити, 2001. (Гл. 2).

2. Демиденко Е.З. Линейная и нелинейная регрессия. — М.: «Финансы и статистика», 1981. (Гл. 1, 2, 6).

3. Джонстон Дж. Эконометрические методы. — М.: «Статистика», 1980.

(Гл. 2, 5).

4. Дрейпер Н., Смит Г. Прикладной регрессионный анализ: В 2-х книгах.

Кн.1 — М.: «Финансы и статистика», 1986, (Гл. 1, 2).

5. Кейн Э. Экономическая статистика и эконометрия. Вып. 2. — М.: «Статистика», 1977. (Гл. 10, 11, 14).

6. Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. Эконометрика — начальный курс. — М.: «Дело», 2000. (Гл. 3, 4, 8).

7. (*) Маленво Э. Статистические методы эконометрии. Вып. 1. — М.: «Статистика», 1975. (Гл. 3, 6).

8. Себер Дж. Линейный регрессионый анализ. — М.: Мир, 1980.

9. Тинтер Г. Введение в эконометрию. — М.: «Статистика», 1965. (Гл. 5).

10. Davidson, Russel, Mackinnon, James. Estimation and Inference in Econometrics, N 9, Oxford University Press, 1993. (Ch. 2).

256 Глава 7. Основная модель линейной регрессии 11. Greene W.H. Econometric Analysis, Prentice-Hall, 2000. (Ch. 6, 7).

12. Judge G.G., Hill R.C., Griffiths W.E., Luthepohl H., Lee T. Introduction to the Theory and Practice of Econometric. John Wiley & Sons, Inc., 1993. (Ch. 5, 21).

13. (*) William E., Griffiths R., Carter H., George G. Judge. Learning and Practicing econometrics, N 9 John Wiley & Sons, Inc., 1993. (Ch. 8).

Глава Нарушение гипотез основной линейной модели 8.1. Обобщенный метод наименьших квадратов (взвешенная регрессия) Пусть нарушена гипотеза g4 и матрица ковариации ошибок по наблюдениям равна не 2IN, а 2, гд е — вещественная симметричная положительно полуопределенная матрица (см. Приложение A.1.2), т.е. ошибки могут быть коррелированы по наблюдениям и иметь разную дисперсию. В этом случае обычные МНК-оценки параметров регрессии (7.26) остаются несмещенными и состоятельными, но перестают быть эффективными в классе линейных несмещенных оценок.

Ковариационная матрица оценок МНК в этом случае приобретает вид -1 -Ma = 2 Z Z Z Z Z Z.

Действительно, a - E (a) =a - =(Z Z)-1 Z, поэтому E (a - E(a)) (a - E(a)) =(Z Z)-1 Z E ( ) Z (Z Z)-1 = = 2 (Z Z)-1 Z Z (Z Z)-1.

(Ср. с выводом формулы (7.28), где =2I.) 258 Глава 8. Нарушение гипотез основной линейной модели Обычная оценка ковариационной матрицы s2 (Z Z)-1 при этом является смеe щенной и несостоятельной. Как следствие, смещенными и несостоятельными оказываются оценки стандартных ошибок оценок параметров (7.35): чаще всего они преуменьшаются (т.к. ошибки по наблюдениям обычно коррелированы положительно), и заключения о качестве построенной регрессии оказываются неоправданно оптимистичными.

По этим причинам желательно применять обобщенный МНК (ОМНК), заключающийся в минимизации обобщенной остаточной дисперсии e -1e.

N В обобщенной остаточной дисперсии остатки взвешиваются в соответствии со структурой ковариационной матрицы ошибок. Минимизация приводит к получению следующего оператора ОМНК-оценивания (ср. с (7.13), где =IN ):

a =(Z -1Z)-1Z -1X. (8.1) Для обоснования ОМНК проводится преобразование в пространстве наблюдений (см. параграф 6.4) с помощью невырожденной матрицы D размерности N N, такой, что D-1D -1 = (такое представление допускает любая вещественная симметричная положительно определенная матрица, см. Приложение A.1.2):

DX = DZ + D. (8.2) Такое преобразование возвращает модель в «штатную» ситуацию, поскольку новые остатки удовлетворяют гипотезе g4:

E(D D ) =D2D = 2DD-1D -1D = 2IN.

Остаточная дисперсия теперь записывается как e D De, а оператор оцениN вания — как a =(Z D DZ)-1Z D DX.

Что и требовалось доказать, поскольку D D =-1.

Обычно ни дисперсии, ни тем более ковариации ошибок по наблюдениям не известны. В классической эконометрии рассматриваются два частных случая.

8.2. Гетероскедастичность ошибок Пусть ошибки не коррелированы по наблюдениям, и матрица (а вследза ней и матрица D) диагональна. Если эта матрица единична, т.е. дисперсии ошибок 8.2. Гетероскедастичность ошибок одинаковы по наблюдениям (гипотеза g4 не нарушена), то имеет место гомоскедастичность или однородность ошибок по дисперсии — «штатная» ситуация.

В противном случае констатируют гетероскедастичность ошибок или их неоднородность по дисперсии.

Пусть var(i) = i — дисперсия ошибки i-го наблюдения. Гомоскедастичность означает, что все числа i одинаковы, а гетероскедастичность — что среди них есть несовпадающие.

Факт неоднородности остатков по дисперсии мало сказывается на качестве оценок регрессии, если эти дисперсии не коррелированы с независимыми факторами.

Это — случай гетероскедастичности «без негативных последствий».

Данное утверждение можно проиллюстрировать в случае, когда в матрице Z всего один столбец, т.е. n = 1 и свободный член отсутствует. Тогда формула (7.33) приобретает вид:

2 i zi i E(s2) = i -.

e N zi i i Если ситуация штатная и i = 2, то правая часть этой формулы преобразуется к виN - 1 N ду 2, и s2 оказывается несмещенной оценкой 2, как и было покаe N N - зано в параграфе 7.2. Если i и zi не коррелированы, то, обозначив 2 = i, N i можно утверждать, что 2 2 i zi 2 zi i i 2 zi zi = 2, i i т.е. ситуация остается прежней. И только если i и zi положительно (или отрицательно) коррелированы, факт гетероскедастичности имеет негативные последствия.

2 i zi Действительно, в случае положительной корреляции > 2 и, следоваzi N тельно, E s2 <2. Обычная «несмещенная» оценка остаточной дисперe N - сии оказывается по математическому ожиданию меньше действительного значения остаточной дисперсии, т.е. она (оценка остаточной дисперсии) дает основания для неоправданно оптимистичных заключений о качестве полученной оценки модели.

Следует заметить, что факт зависимости дисперсий ошибок от независимых факторов в экономике весьма распространен. В экономике одинаковыми по диспер сии скорее являются относительные ( ), а не абсолютные () ошибки. Поэтому, z когда оценивается модель на основе данных по предприятиям, которые могут иметь 260 Глава 8. Нарушение гипотез основной линейной модели и, как правило, имеют различные масштабы, гетероскедастичности с негативными последствиями просто не может не быть.

Если имеет место гетероскедастичность, то, как правило, дисперсия ошибки связана с одной или несколькими переменными, в первую очередь — с факторами регрессии. Пусть, например, дисперсия может зависеть от некоторой переменной yi, которая не является константой:

i = 2(yi), i =1,..., N.

Как правило, в качестве переменной yi берется один из независимых факторов или математическое ожидание изучаемой переменной, т.е. x0 = Z (в качестве его оценки используют расчетные значения изучаемой переменной Za).

В этой ситуации желательно решить две задачи: во-первых, определить, имеет ли место предполагаемая зависимость, а во-вторых, если зависимость обнаружена, получить оценки с ее учетом. При этом могут использоваться три группы методов.

Методы первой группы позволяют работать с гетероскедастичностью, которая задается произвольной непрерывной функцией 2(·). Для методов второй группы функция 2(·) должна быть монотонной. В методах третьей группы функция 2(·) предполагается известной с точностью до конечного числа параметров.

Примером метода из первой группы является критерий Бартлетта, который заключается в следующем.

Пусть модель оценена и найдены остатки ei, i =1,..., N. Для расчета bc — статистики, лежащей в основе применения этого критерия, все множество наблюдений делится по какому-либо принципу на k непересекающихся подмножеств.

В частности, если требуется выявить, имеется ли зависимость от некоторой переменной yi, то все наблюдения упорядочиваются по возрастанию yi, а затем в соответствии с этим порядком делятся на подмножества. Пусть k Nl — количество элементов в l-м подмножестве, Nl = N;

l=s2 — оценка дисперсии остатков в l-м подмножестве, найденная на основе l остатков ei;

Pages:     | 1 |   ...   | 29 | 30 || 32 | 33 |   ...   | 82 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.