WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 10 | 11 || 13 | 14 |   ...   | 82 |

Действительно, плотность f(x) нормально распределенной с математическим ожиданием x и дисперсией 2 случайной величины x равна (x - x) 1 e.

В «Справочнике по математике» И.Н. Бронштейна и К.А. Семендяева (М., 1962) на стр. 407 можно найти следующую формулу:

n+xne-ax dx =, при a >0 и n>1, n+2a где — гамма-функция, обладающая следующими свойствами:

(x +1) =x(x), (n) =(n - 1)!, при n целом и положительном, (x) x + = (2x).

2 22x-Отсюда легко установить, что при целом и четном q µq =1 · 3 · 5 ·... · (q - 1) q =(q - 1)!! · q и, в частности, µ4 =34.

О свойствах нормального распределения см. Приложение A.3.2.

В практике статистики моменты более высоких порядков используются крайне редко.

2.5. Упражнения и задачи 2.5. Упражнения и задачи Упражнение На основании данных о росте студентов курса построить ряд распределения, дать табличное и графическое его изображение (представив на графике гистограмму, полигон, кумуляту). Какие из графиков соответствуют эмпирической функции плотности распределения вероятности, а какие — эмпирической функции распределения вероятности Изобразить на графике гистограммы положение моды, медианы и средней арифметической. Подтвердить их соотношения расчетами характеристик центра распределения. Найти дисперсию, коэффициент вариации, а также показатели асимметрии и эксцесса. Оценить степень однородности элементов совокупности.

Задачи 1. Определить пункты, которые являются выпадающими из общего ряда.

1.1 а) частота, б) плотность, в) гистограмма, г) график;

1.2 а) арифметическое, б) геометрическое, в) алгебраическое, г) квадратическое;

1.3 а) мода, б) медиана, в) квантиль, г) квартиль;

1.4 а) бимодальное, б) нормальное, в) асимметричное, г) U-образное;

1.5 а) математическое ожидание, б) биномиальное, в) нормальное, г) среднее;

1.6 а) момент, б) период, в) дисперсия, г) среднее;

1.7 а) центральный, б) начальный, в) исходный, г) момент.

2. Количественный признак принимает значения 2, 3, 4, 9. Какова плотность относительной частоты 2-го и 3-го элемента 3. Распределение семей по доходам (в условных единицах в месяц) представлено в группированном виде количеством Nl семей, попавших в l полуинтервал (zl-1; zl] (табл. 2.2).

Заполните в таблице недостающие характеристики.

Изобразите графики гистограммы, полигона и кумуляты.

4. Какова средняя хронологическая величин 1, 2, 5, 9, характеризующих последовательность равных промежутков времени 84 Глава 2. Описательная статистика Таблица 2.(zl-1; zl] 500;700 700;900 900;1100 1100;1300 1300;Nl 4 8 5 2 l Fl fl 5. На что нужно поделить y1 - y0, чтобы получить среднюю хронологическую на временном отрезке [0, 1] 6. Чему равны простые средние: геометрическая, арифметическая, гармоническая чисел 1, 2, 4 7. Три объекта характеризуются следующими относительными признаками:

6, 1 3, 4. Веса этих объектов по числителю равны 0.1, 0.2, 0.7, вес первого объекта по знаменателю — 0.15. Чему равен вес второго объекта 8. Какая из двух величин (a + b + c), или 1 1 + + a b c больше и почему 9. Капитал за первый год не изменился, за второй — вырос на 12%. Средне годовой коэффициент, одинаковый по годам, равен Каков темп роста 8.

среднегодового капитала 10. За первое полугодие капитал вырос на 12.5%, за второе — в 2 раза. Какова среднегодовая доходность (в процентах), если позиция инвестора была пассивной, или если он реинвестировал доход в середине года 11. Совокупность предприятий была разделена на группы в зависимости от величины стоимости реализованной продукции. Количество предприятий в каждой группе и среднее значение стоимости реализованной продукции в каждой группе даны в таблице:

2.5. Упражнения и задачи Номер группы 1 2 3 4 Количество предприятий в группе (ед.) 4 4 5 7 Среднее значение стоимости реализован- 15 20 25 30 нойпродукции(ден. ед.) Определить среднюю стоимость реализованной продукции по совокупности предприятий в целом.

12. По металлургическому заводу имеются следующие данные об экспорте продукции:

Вид продукции Доля вида продукции в Удельный вес продукции общей стоимости реали- на экспорт, % зованной продукции, % Чугун 25 Прокат листовой 75 Определить средний удельный вес продукции на экспорт.

13. Совокупность населенных пунктов области была разделена на группы в зависимости от численности безработных. Количество населенных пунктов в каждой группе и средняя численность безработных в каждой группе даны в таблице:

Номер группы 1 2 3 4 Количество населенных пунктов в группе 4 8 2 3 Средняя численность безработных 10 12 15 20 Определить среднюю численность безработных по совокупности населенных пунктов в целом.

14. В таблице даны величины стоимости основных фондов на конец года за ряд лет:

Год 0 1 2 3 Стоимость основных 100 120 125 135 фондов на конец года Предположим, что стоимость фондов на конец года t совпадает со стоимостью на начало года t +1. Среднегодовой коэффициент равен 0.3. Определить:

а) среднегодовую стоимость основных фондов в 1, 2, 3 и 4 году;

86 Глава 2. Описательная статистика б) среднегодовой темп прироста среднегодовой стоимости основных фондов за период с 1 по 4 годы.

15. В первые два года исленность занятых в экономике возрастала в среднем на 4% в год, за следующие три — на 5% и в последние три года среднегодовые темпы роста составили 103%. Определите среднегодовые темпы роста и базовый темп прироста численности занятых за весь период.

16. В первые три года численность безработных возрастала в среднем на 2% в год, за следующие три — на 4% и в последние два года среднегодовые темпы роста составили 103%. Определите среднегодовые темпы роста и базовый темп прироста численности безработных за весь период.

17. В таблице даны величины дохода (в %), приносимые капиталом за год:

Год 1 2 3 Доходность 10 12 8 Определить среднегодовую доходность капитала в течение всего периода, если:

а) позиция инвестора пассивна;

б) позиция инвестора активна.

18. В первом квартале капитал возрастает на 20%, во втором — на 15%, в третьем — на 10%, в четвертом — на 20%. Определите среднегодовую доходность капитала, если:

а) позиция инвестора пассивна;

б) позиция инвестора активна, т.е. он ежеквартально реинвестирует доход.

19. Во сколько раз вырастает ваш капитал за год, вложенный в начале года под 20% годовых, если вы а) не реинвестировали проценты;

б) реинвестировали их один раз в середине года;

в) реинвестировали три раза в начале каждого очередного квартала;

г) реинвестировали в каждый последующий момент времени.

В первом квартале капитал возрастает на 12%, во втором — на 15%, в третьем — на 20%, в четвертом — на 15%. Определите среднегодовую доходность капитала, если:

2.5. Упражнения и задачи 20. Объем продукции в 1995 г. составил 107% от объема продукции 1990 г., в течение последующих двух лет он снижался на 1% в год, потом за 4 года вырос на 9% и в течение следующих трех лет возрастал в среднем на 2% в год. На сколько процентов возрос объем продукции за вес период На сколько процентов он возрастал в среднем в год в течение этого периода.

21. Дана функция распределения F (x) = 1/(1 + e-x). Найти медиану и моду данного распределения.

22. В эмпирическом распределении z0 = 0, все дельты = 1, F3 = 0.21, F4 =0.4, F5 =0.7, F6 =0.77. Чему равны медиана и мода 23. Известна гистограмма бимодального ряда наблюдений. На каком отрезке лежит медиана 24. Медиана больше моды, где лежит среднее Какая из трех характеристик центра распределения количественного признака является квантилем и каким Медиана и средняя равны, соответственно, 5 и 6. Каково вероятное значение моды Почему 25. На основе информации о возрасте всех присутствующих на занятиях (включая преподавателя) определить характер асимметрии функции распределения 26. Дать определение 5%-го квантиля и написать интерполяционную формулу расчет 5%-го квантиля для эмпирического распределения. Привести графическое обоснование формулы.

27. В эмпирическом распределении z0 = 0, все дельты = 1, F4 = 0.4, F5 = 0.7, F6 = 0.8, среднее равно 4.3. Какова асимметрия: правая (+) или левая (-) Чему равен 75%-ый квантиль 28. Найти значение 30%-го квантиля, если известно эмпирическое распределение:

Границы интерва- 10–15 15–20 20–25 25–лов Частоты 1 3 4 29. Для ряда 1, 2, 3, 6 найти медианный и квартильный коэффициент вариации.

30. Чему равна ордината кривой Лоренца при абсциссе для ряда 1, 2, 3 31. Чему равен медианный коэффициент вариации для ряда 1, 2, 3 88 Глава 2. Описательная статистика 32. Как посчитать децильный коэффициент вариации 33. Задан ряд наблюдений за переменной x: 3, 0, 4, 2, 1. Подсчитать основные статистики данного ряда, среднее арифметическое, медиану, дисперсию (смещенную и несмещенную), показатель асимметрии и куртозиса, размах выборки.

34. Для представленных ниже комбинаций значений показателей асимметрии 3 и эксцесса 4 дать графическое изображение совокупности и указать на графике положение моды, медианы и средней арифметической:

а) 3 > 0, 4 > 3;

б) 3 < 0, 4 > 3;

в) 3 < 0, 4 < 3;

г) 3 > 0, 4 =3;

д) 3 =0, 4 > 3;

е) 3 < 0, 4 =3;

ж) 3 =0, 4 < 3.

Рекомендуемая литература 1. Венецкий И.Г., Венецкая В.И. Основные математико-статистические понятия и формулы в экономическом анализе. — М.: Статистика, 1979.

(Разд. 1–4, 6).

2. Догуерти К. Введение в эконометрику. — М.: Инфра-М, 1997. (Гл. 1).

3. Кейн Э. Экономическая статистика и эконометрия. — М.: Статистика, 1977.

Вып. 1. (Гл. 4, 5, 7).

4. (*) Коррадо Д. Средние величины. — М.: Статистика, 1970. (Гл. 1).

5. Judge G.G., Hill R.C., Griffiths W.E., Luthepohl H., Lee T. Introduction to the Theory and Practice of Econometric. John Wiley & Sons, Inc., 1993. (Ch. 5).

Глава Индексный анализ До сих пор термин «индекс» использовался исключительно как указатель места элемента в совокупности («мультииндекс» — в сгруппированной совокупности).

В данном разделе этот термин применяется в основном для обозначения показателей особого рода, хотя в некоторых случаях он используется в прежнем качестве;

его смысл будет понятен из контекста.

3.1. Основные проблемы В экономической статистике индексом называют относительную величину, показывающую, во сколько раз изменяется некоторая другая величина при переходе от одного момента (периода) времени к другому (индекс динамики), от одного региона к другому (территориальный индекс) или в общем случае — при изменении условий, в которых данная величина измеряется. Так, например, в советской статистике широкое распространение имел индекс выполнения планового задания, который рассчитывается как отношение фактического значения величины к ее плановому значению.

Значение величины, с которым производится сравнение, часто называют базисным (измеренным в базисных условиях). Значение величины, которое сравнивается с базисным, называют текущим (измеренным в текущих условиях). Эта терминология сложилась в анализе динамики, но применяется и в более общей ситуации. Если y0 и y1 — соответственно базисное и текущее значение величины, yто индексом ее изменения является 01 =.

y y90 Глава 3. Индексный анализ В общем случае речь идет о величинах yt, измеренных в условиях t =0,..., T, ys и об индексах rs =, где r и s принимают значения от 0 до T, и, как правило, y yr r

При таком определении система индексов обладает свойством транзитивности или, как говорят в экономической статистике, цепным свойством (нижний индексуказатель опущен): rs = rt1t1t2 ·... ·tns, гд е r, s ивсе ti, i =1,..., n также находятся в интервале от 0 до T, и, как следствие, свойством обратимости:

rs =, поскольку tt =1.

sr Это — самое общее определение индексов, не выделяющее их особенности среди других относительных величин. Специфика индексов и сложность проблем, возникающих в процессе индексного анализа, определяется следующими тремя обстоятельствами.

1) Задача индексного анализа состоит в количественной оценке не только самого изменения изучаемой величины, но и причин, вызвавших это изменение. Необходимо разложить общий индекс на частные факторные индексы. Пусть (верхний индекс-указатель опущен) y = xa, (3.1) где y и x — объемные величины, a — относительная величина.

Примерами таких «троек» являются:

(a) объем производства продукта в стоимостном выражении, тот же объем производства в натуральном выражении, цена единицы продукта в натуральном выражении;

(b) объем производства, количество занятых, производительность труда;

(c) объем производства, основной капитал, отдача на единицу капитала;

(d) объем затрат на производство, объем производства, коэффициент удельных затрат.

В общем случае формула имеет вид n y = x aj, (3.2) j=где все aj являются относительными величинами.

Примером использования этой формулы при n =2 может явиться сочетание приведенных выше примеров (a) и (b). В этом случае y — объем производства 3.1. Основные проблемы продукта в стоимостном выражении, x — количество занятых, a1 — производительность труда, a2 — цена единицы продукта. Этот пример можно усложнить на случай n =3 : a1 — коэффициент использования труда, a2 — «технологическая» производительность труда, a3 —цена.

Дальнейшие рассуждения будут, в основном, проводиться для исходной ситуации ( n =1, нижний индекс-указатель у a1 опускается).

По аналогии с величиной rs, которую можно назвать общим индексом, расy считываются частные или факторные индексы для x и a :

xs as rs =, rs =.

x xr a ar Первый из них можно назвать индексом количества, второй — индексом качества.

Оба частных индекса, как и общий индекс, транзитивны и обратимы. Кроме того, вслед за (3.1) выполняется следующее соотношение (верхние индексыуказатели опущены): y = xa, и поэтому говорят, что эти три индекса обладают свойством мультипликативности. Таким образом, факторные индексы количественно выражают влияние факторов на общее изменение изучаемой величины.

2) Пока неявно предполагалось, что величины y, x, a и, соответственно, все рассчитанные индексы характеризуют отдельный объект, отдельный элемент совокупности. Такие индексы называют индивидуальными, и их, а также связанные с ними величины, следует записывать с индексом-указателем i объекта (верхние индексы-указатели t, r, s опущены): yi, xi, ai, yi, xi, ai. До сих пор этот индекс-указатель опускался. Никаких проблем в работе с индивидуальными индексами не возникает, в частности, они по определению обладают свойством транзитивности и мультипликативности.

Предметом индексного анализа являются агрегированные величины. Предполагается, что yi аддитивны, т.е. выражены в одинаковых единицах измерения, и их можно складывать. Тогда (верхние индексы-указатели опущены) N N y = yi = xiai.

Pages:     | 1 |   ...   | 10 | 11 || 13 | 14 |   ...   | 82 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.