WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 5 | 6 ||

Тогда для Bl и Al, удовлетворяющим требуемым условиям, выполняется следующее:

// TlB = Bl, TlA = Al, l = = = = = = l и требования WHl = 0 можно записать в форме (переходя к обозначениям оценок соответствующих величин) / / - - - - = = = (Z/Z)-1Z/Xlbl - TlA al = 0, (т.к. D = (Z/Z)-1Z/X и XTlB = Xl ) - = = = - = = = / = + или dl = Dlbl + TlA al, = + = + = где (n+1)-вектор-столбец dl = (Z/Z)-1Z/Xl (l-й столбец матрицы D);

= = - l (n+1) - = (kl-1)-матрица D = (Z/Z)-1Z/X- (матрица, составленная из - = - = l l столбцов матрицы D, соответствующих переменным x ).

Это - система уравнений для нахождения искомых параметров. Она имеет единственное решение в случае точной идентификации уравнения, т.е., если ее матрица D TlA / l, квадратна, размерности n+1 и не вырождена (необходимое и достаточное условие точной идентификаци уравнения).

Для сверхидентифицированного уравнения можно применить двухшаговый метод (2М) наименьших квадратов.

На 1-м шаге с помощью МНК оцениваются параметры приведенной формы l для переменных X- :

l X- = ZDl + Vl, = + = + = + где Vl - N(kl-1)-матрица остатков по уравнениям;

и определяются расчетные значения этих переменных (“очищенные” от ошибок):

c l X- = ZD.

= = = - l На 2-м шаге с помощью МНК оцениваются искомые параметры структурной формы из уравнения:

c l Xl = X- bl + Zlal + el.

= + + = + + = + + Можно определить единый оператор 2М-оценивания. Поскольку c bl l - ll l X- = Z(Z/Z)-1Z/X- = FX- и Xl = [FX-,Zl ] + el, = = = + = = = + = = = + - - - - a - - - - - - - - l этот оператор записывается так (1-я форма оператора):

- l l bl Xl /FX- X- /Zl Xl /FXl - - - - - - - - - - = = =, или в более “прозрачной” - 2-й = a // / l l Zl X- Zl Zl Zl Xl - - - c l l = форме (учитывая, что X- = X- - Vl ):

= = - - - - l l bl Xl /X- - Vl /Vl X- /Zl (Xl / - Vl / )Xl - - - - - - - - - - - - - = = =.

= a // / l l Zl X- Zl Zl Zl Xl - - - Если уравнение не идентифицировано, то обращаемая матрица в данном операторе вырождена. Если уравнение точно идентифицировано, то 2М-оценка совпадет с КМ-оценкой.

Для сверхидентифицированного уравнения можно использовать также метод наименьшего дисперсионного отношения (МНДО). Строгое обоснование его применимости вытекает из метода максимального правдоподобия.

Пусть bl в уравнении X lbl = Z la l + e l оценено, и X lbl рассматривается как единая эндогенная переменная. В результате применения МНК определяются:

// al = (Zl Zl )-1Zl Xlbl, = = = // el = (IN - Zl (Zl Zl )-1Zl )Xlbl = (IN - Fl )Xlbl, = - = = - = = - = / / / e/el = bl Xl (IN - Fl )Xlbl = bl Wlbl.

= - = = - = = - = l Теперь находится остаточная сумма квадратов при условии, что все экзогенные переменные входят в l-е уравнение. Она равна / / = bl Wbl, где W = Xl (IN - F)Xl.

= = Тогда bl должны были бы быть оценены так, чтобы / bl Wlbl f = min.

= = = / bl Wbl bl (иначе было бы трудно понять, почему в этом уравнении присутствуют не все экзогенные переменные).

Решение этой задачи приводит к следующим условиям:

(Wl - fW)bl = 0, - = - = - = из которых f находится как минимальный корень соответствующего характеристического уравнения, а bl определяется с точностью до постоянного множителя (с точностью до нормировки bll = 1).

В общем случае f > 1, но f 1. Если данное уравнение точно N идентифицировано, то f = 1, и МНДО-оценки совпадают с КМ- и 2М-оценками.

Оператор - l l bl Xl /X- - kVl /Vl X- /Zl (Xl / - kVl / )Xl - - - - - - - - - - - - - = = = = a // / l l Zl X- Zl Zl Zl Xl - - - позволяет получить так называемые оценки k-класса (не путать с k - количеством эндогенных переменных в системе).

При k = 0, они являются обычными МНК-оценками для l-го уравнения; при k = 1, это - 2М-оценки; при k = f, - МНДО-оценки. 2М-оценки занимают промежуточное положение между МНК- и МНДО-оценками (т.к. f > 1).

Исследования показывают, что эффективные оценки получаются при k < 1.

7.4. Оценка параметров всех (идентифицированных) уравнений Из приведенной формы системы уравнений следует, что / / / - - - x = B-1 A/Z/ + B-1, = + / = + = + / / / - - - и далее E(x ) = B-1 E( = 2B-1, т.е. в общем случае все эндогенные = /) = = = = = переменные скоррелированы с ошибками во всех уравнениях. Это является основным препятствием для применения обычного МНК ко всем уравнениям по отдельности.

Но в случае, если в матрице B все элементы, расположенные ниже главной диагонали, равны нулю (т.е. в правой части l-го уравнения могут появляться только < более младшие эндогенные переменные x, l/ < l, и последней компонентой < < / l любого вектора xl является xl), а в матрице, наоборот, равны нулю все элементы, расположенные выше главной диагонали или эта матрица диагональна, то l не l скоррелирован с переменными x при любом l. Это - рекурсивная система, и для оценки ее параметров можно применять МНК к отдельным уравнениям.

Для оценки параметров всех идентифицированных уравнений системы можно применить трехшаговый метод (3М) наименьших квадратов.

Предпологается, что идентифицированы все k уравнений:

l Xl = X-l + Zl + l = Ql + l, l = 1, k, = + + = + = = + + = + = = + + = + = - l l l l = = где Ql = [X-,Zl ], =.

= = = = - l - l При условии, что матрица ковариации ошибок эндогенных переменых одинакова во всех наблюдениях (гипотеза гомоскедастичности) E(l/ ) = 2 IN, E(l / ) =2 IN.

= = / l = l = = = / ll l l = + В уравнении Z/Xl = Z/Ql + Z/l (*) = + = + l Z/Xl рассматривается как вектор n+1 наблюдений за одной эндогенной переменной, а Z/Ql - как матрица n+1 наблюдений за nl+kl+1 экзогенными переменными. Поскольку матрица ковариации остатков по этому уравнению равна 2 Z/Z (т.е. отлична от 2IN), для получения оценок cl параметров l нужно ll использовать ОМНК:

/ / - - - - - - cl = (Ql Z(Z/Z)-1Z/Ql )-1Ql Z(Z/Z)-1Z/Xl.

= = = Это - еще одна (3-я) форма записи оператора 2М-оценивания.

Первые два шага 3М совпадают с 2М, но цель их не в получении оценок cl, а в том, чтобы оценить el, и затем получить оценки W матрицы 2:

wll = e/el, wl/ l = e/ / el.

= = = = = = l l N N Теперь все уравнения (*) записываются в единой системе:

Z /X1 Z /Q1 0.. 0 1 Z / / / 0 Z/Q2.. 0 Z X2 2 Z (**),. + + = + = = + =......

......

. / / k / Z X k Z 0 0.. Z Q k k или Y = Q + = +, = + = + где Y - соответствующий k(n+1)-вектор-столбец наблюдений за изучаемой переменной;

Q - k(n + 1) ( + + + + + + + + + (kl + nl ) + k) -матрица наблюдений за экзогенными переменными;

- ( + + + + + + (kl + nl ) + k) - вектор-столбец параметров регрессии;

- k(n+1)-вектор столбец остатков по наблюдениям.

Легко проверить, что матрица ковариации остатков удовлетворяет следующему соотношению:

E(/ ) = 2 (Z/Z), = = = где - операция прямого умножения матриц.

= Для нее имеется оценка: k(n + 1)k(n + 1)-матрица = W (Z/Z).

= = Эта матрица отлична от 2Ik(n + 1), поэтому на 3-м шаге 3М-оценивания к единой системе (**) применяется ОМНК и получается окончательная оценка c параметров :

- - - с = (Q/ Q)-1Q/ Y = -1 - = = - - -В таком виде оператор 3М-оценивания используется для всех сверхидентифицированных уравнений. Для точно идентифицированных уравнений он имеет более сложную форму. Но для таких уравнений всегда можно применить КМ-оценивание.

Теоретические вопросы и задания 1(*). Доказать, что параметры уравнений неодновременной системы можно оценивать обычным МНК, даже если ошибки эндогенных переменных скоррелированы.

2. Вывести приведенные уравнения оценки параметров неодновременной системы для случая априорных ограничений на эти параметры.

3(**). Доказать сформулированное необходимое и достаточное условие идентификации уравнения одновременной системы.

4(*). Показать, что обычный МНК, примененный к системе одновременных уравнений, дает в общем случае смещенные оценки.

5(*). Убедиться в том, что все три приведенне формы оперератора 2Моценивания эквивалентны.

6(*). Доказать, что в случае точной идентификации уравнения 2М- и КМоценки его параметров одинаковы, а в случае, если уравнение не идентифицировано, то матрица, обратная к которой фигурирует в операторе 2М-оценивания, вырождена.

7(**). Вывести указанные условия для нахождения МНДО-оценок.

8(*). Показать, что в случае точной идентификации уравнения МНДО-, 2М- и КМ-оценки совпадают.

Pages:     | 1 |   ...   | 5 | 6 ||



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.