WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 7 |
Методическое пособие для студентов II-III курсов экономического факультета НГУ Эконометрия I: регрессионный анализ Курс эконометрии I состоит из двух частей: регрессионный анализ и временные ряды. Данное пособие предназначено для 1-й части курса, которая изучается в IY семестре.

Пособие включает 7 разделов:

1. Описательная статистика.

2. Случайные ошибки измерения.

3. Алгебра линейной регрессии.

4. Основная модель линейной регрессии.

5. Гетероскедастичность и автокорреляция ошибок.

6. Ошибки измерения факторов и фиктивные переменные.

7. Оценка параметров систем уравнений.

Каждый раздел открывается кратким обзором теоретического материала, затем следуют теоретические вопросы и задания, разбираемые на лекциях и семинарских занятиях, вслед за ними приводится набор задач и упражнений, которые решаются на практических занятиях и самостоятельно. Завершается каждый раздел списком литературы.

Теоретическая часть пособия подготовлена по материалам лекционного курса, прочитанного в 1992-96 гг., практическая часть в значительной мере построена по результатам работы по программе TASIS-TEMPUS в 1995-96 гг..

Авторы: В.И. Суслов, Н.М. Ибрагимов, Б.Б. Карпенко, Е.А. Коломак.

1. Описательная статистика 1.1. Ряды наблюдений и их характеристики xi,i = 1,...,N - ряд наблюдений за непрерывной случайной переменной x, = = = вариационный ряд, выборка.

N 1 x = x - среднеарифметическое значение;

= = = i N i =1 = = = x = x - x - центрированные значения наблюдений;

= = = i i N 1 |x |- среднее линейное отклонение;

i N i =1 = = = медиана, т.е. среднее значение в ряду наблюдений:

x0.5 - если x упорядочены по возрастанию, то она равна x при N нечетном и i N +1 + + + 2 + (x + x ) при N четном;

+ + N N +1 + + + 2 2 N 1 m(q,c) = (x - c)q - моменты q-го порядка, центральные при = - = - = - i N i== = = c = x, начальные при c = 0.

= = = = = = m(10) = x,, = = = m(2,x) = var(x) = s2, дисперсия x, = = = = = = s- среднеквадратическое (стандартное) отклонение, x i - центрированные и нормированные значения наблюдений, s s - коэффициент вариации, x m(3,x) = m3, m(4,x) = m4, = = = = = = m r3 = - показатель асимметрии, если r3 0, то распределение величины = - = - = - sсимметрично, если r3 > 0, то имеет место правая асимметрия, если r3 < 0, - левая > < > < > < асимметрия;

m r4 = - показатель эксцесса (куртозиса), если r4 3, то распределение = - = - = - sблизко к нормальному, если r4 > 3, то распределение высоковершинное, если > > > r4 < 3, - низковершинное.

< < < Пусть наряду с величиной x имеется N наблюдений yi за величиной y.

N mxy = cov(x, y) = (xi - x)(yi - y) - ковариация x и y, = =- - = = - - = = - - N i== = = m xy rxy = - коэффициент корреляции x и y; -1 rxy +1; если = - - + = - - + = - - + sxsy rxy 0, то величины x и y линейно независимы, если rxy 1, то они положительно линейно зависимы, если rxy -1, - отрицательно линейно зависимы.

1.2. Эмпирические распределения случайной величины Пусть все xi,i = 1,...,N попадают в полуинтервал (x0.0,x1.0 ], который = = = делится на k равных полуинтервалов длиной ; x1.0 - x0.0 = k.

- = - = - = (предполагается, что x0.0 “чуть” меньше или равно minx, а x1.0 “чуть” больше i или равно max x, так что некоторые из x попадают как в 1-й, так и в последний i i из этих k полуинтервалов).

x1.0 - x0.0 - общий размах вариации.

- - - k = 1 + 3.322lnN - оптимальное соотношение между k и N (формула = + = + = + Стерджесса).

(x,x ]- l -й полуинтервал l = 1,..., k, где - = - = - = l -1 l x0 = x0.0, x = x +, l = 1,..., k, x = x1.0.

= = + = = = = + = = = = + = = l l-1 k wl - доля общего количества наблюдений N, попавших в l-й полуинтервал частоты, эмпирические оценки вероятностей попадания в данный полуинтервал;

k wl = 1;

= = = l== = = = + = x = x +, l = 1,..., k - центры полуинтервалов;

= + = = + = l l-Fl, l = 01,..., k - накопленные частоты (эмпирические вероятности, с = =, = которыми значения величины в выборке не превышают xl ):

F0 = 0, Fl = Fl-1 + wl, l = 1,..., k, Fk = 1 ;

= = + = = = = + = = = = + = = w l fl =, l = 1,..., k - эмпирические плотности распределения вероятности.

= = = = = = k x = x wl - среднеарифметическое значение;

= = = l k l == = = x0.5 = x + (05 - Fl-1) - медиана, здесь l-й полуинтервал является = + - = +. - = + - - l -1 - wl медианным, т.е. Fl-1 < 05 < Fl ;

< < <. < < < k mq,c) = (x - c)q wl - моменты q-го порядка;

( = - = - = - l k l== = = = + - xa = x + (a - Fl-1) - a-й (a100-процентный) квантиль, т.е.

= + -= + - l-1 - - wl значение величины, которое не превышается в выборке с вероятностью a; здесь l-й полуинтервал является квантильным, т.е. Fl-1 < a < Fl (x являются квантилями с < < < < < < - l a = Fl );

= = = l- xa = { x wj + [x + (a - Fl-1)](a - Fl -1)} - среднее по той = + - - = + + - - = + + - - + j l-1 - - - - - a 2wl j== = = (нижней) части выборки, которая выделяется a-м квантилем (l-й полуинтервал также квантильный).

Среди квантилей особое значение имеют те, которые делят выборку на равные части (иногда именно эти величины называют квартилями):

x - медиана;

0.x0.25,x0.5,x0.75 - квартили;

x,x0.2,...,x0.9 - децили;

0.x,x0.02,...,x0.99 - процентили.

0.x0.9 - x0.1 - децильный размах вариации (может быть также квартильным - - - или процентильным);

x - 09x0.-.

- децильный коэффициент вариации (может быть медианным, 01x0..

квартильным или процентильным).

o fl - fl -x = x + - мода, т.е. наиболее вероятное = + = + = + l -(fl - fl-1) + (fl - fl+1) - + - + - + - + - + - + значение величины в выборке; здесь l-й полуинтервал является модальным, fl на нем достигает максимума; если этот максимум единственный, то распределение величины называется унимодальным; если максимума два - бимодальным; в общем случае - при нескольких максимумах - полимодальным.

Гистограмма - эмпирическая (интервальная) функция плотности распределения; имеет ступенчатую форму: на l-м полуинтервале (l=1,...,k) принимает значение fl;

Полигон - функция, график которой образован отрезками, соединяющими точки (x0,0),(x1,f1),...,(x,fk ),(x,0).

k k Гистограмма и полигон могут строиться непосредственно по весам wl, если (как в данном случае) все полуинтервалы (x,x ], l = 1,..., k имеют одинаковую = = = l -1 l длину.

Кумулята - эмпирическая (интервальная) функция распределения вероятности, график которой образован отрезками, соединяющими точки (x, Fl ), l = 01,..., k.

= =, = l Огива - то же, что и кумулята, или (в традициях советской статистики) функция, обратная кумуляте.

1.3. Теоретические функции распределения случайной величины x - случайная величина, z - детерминированная переменная.

= F(z) = P(x z) - функция распределения вероятности x;

= = dF f (z) = - функция плотности распределения вероятности x;

= = = dz + z + + + f (z)dz = 1, F(z) = f ()d, = = = = = = - - - - + + + + x = E(x) = zf (z)dz - математическое ожидание, среднее (теоретическое);

= = = = = = µ(q, c) = E[(x - c)q ]= (z - c)qf (z)dz - моменты q-го порядка µ = - = - µ = - = - µ = - = - (теоретические);

µ(2,x) = 2 - дисперсия (теоретическая);

µ = µ = µ = µ(3,x) = µ3,µ(4, x) = µ4;

µ = µ µ = µ µ = µ µ = µ µ = µ µ = µ µµ µ µ 3 = - показатель асимметрии (теоретический), = = = µµ µ µ 4 = - показатель эксцесса, куртозиса (теоретический).

= = = x a o Для квантиля xa : f (z)dz = a ; для моды x : максимум f (z) достигается = = = o при z = x.

= = = = Если распределение случайной величины симметрично, то f (z) = f (-z) и = = xa = -x1-. В этом случае можно использовать понятие двустороннего квантиля = = = -a x a x, для которого f (z)dz = a, и значение которого совпадает с x - значением = = = a 1+ a + + + -x a обычного (одностороннего) квантиля.

Если распределение случайной величины унимодально, то в случае o o > > симметричности x x0.5 x, при правой асимметрии x > x0.5 > x, при левой > > > > o < < асимметрии x < x0.5 < x.

< < < < 1.4. Функции распределения, используемые в эконометрии В силу центральной предельной теоремы математической статистики, ошибки измерения и “остатки”, необъясняемые “хорошей” эконометрической моделью, имеют распределения близкие к нормальному. Поэтому все распределения, используемые в классической эконометрии, основаны на нормальном.

Пусть - случайная величина, имеющая нормальное распределение с нулевым мат.ожиданием и единичной дисперсией ( ~ N(0,1) ). Функция плотности распределения ее прямо пропорциональна (для наглядности в записи функции e- плотности вместо z использован символ-имя самой случайной величины); 95процентный двусторонний квантиль 0.95 равен 1.96, 99-процентный квантиль 2.57.

Пусть теперь имеется k таких взаимно независимых величин ~ N(0,1).

l k Сумма их квадратов 2 является случайной величиной, имеющей распределение l l == = = 2 c k степенями свободы (обозначается 2 ). 95-процентный (односторонний) k квантиль при k=1 равен 3.84 (квадрат 1.96), при k=5 - 11.1, при k=20 k,0. 31.4, при k=100 - 124.3.

k Если две случайные величины и 2 независимы друг от друга, то случайная величина имеет распределение t -Стъюдента с k степенями k k k+ ++ + t2 - 2 ;

k свободы ( tk ). Ее функция распределения прямо пропопорциональна + (1 + ) + + k в пределе при k она становится нормально распределенной. 95-процентный двусторонний квантиль tk,0.95 при k=1 равен 12.7, при k=5 - 2.57, при k=20 2.09, при k=100 - 1.98.

Если две случайные величины 2 и 2 не зависят друг от друга, то k1 kk k1 имеет распределение F-Фишера с k1 и k2 степенями случайная величина k kсвободы ( Fk1, k2 ). 95-процентный (односторонний) квантиль при k2=F 1, k2,0.равен 161, при k2=5 - 6.61, при k2=20 - 4.35, при k2=100 - 3.94 (квадраты соответствующих tk,0.95 ); квантиль при k2=1 равен 200, при k2=5 F 2, k2,0.5.79, при k2=20 - 3.49, при k2=100 - 3.09; квантиль при k1=3 равен F k1,20,0.3.10, при k1=4 - 2.87, при k1=5 - 2.71, при k1=6 - 2.60.

Теоретические вопросы и задания N = 1. x(k) = ( = = x k ) k - среднее степенное.

i N i== = = При k = -1 это - среднее гармоническое, при k = 1 - среднее арифметическое, при k = 2 - средрее квадратическое.

Доказать, что - x(k) растет с ростом k, равно min(xi) при k - и max(xi) при k - +;

+ + + - при k = 0 это - среднее геометрическое.

2(*). Для случая эмпирического распределения вывести формулы расчета среднего квантильного ( xa ), децильного коэффициента вариации и моды.

2. Случайные ошибки измерения 2.1. Первичные измерения Путсь имеется N измерений xi, i = 1,...,N случайной величины x. Это наблюдения за случайной величиной. Предполагается, что измерения проведены в неизменных условиях (факторы, влияющие на x, не меняют своих значений), и систематические ошибки измерений исключены. Тогда различия в результатах отдельных наблюдений (измерений) связаны только с наличием случайных ошибок:

= + x = +, = + = + ii где - истинное значение x, - случайная ошибка в i-м наблюдении.

i Если x и - вектора-столбцы, соответственно, xi и i, а 1N - N компонентный вектор-столбец, состоящий из единиц, то данную модель можно записать в матричной форме:

x = 1N + = +.

= + = + Предполагается, что ошибки по наблюдениям не зависят друг от друга и = cov(, ) = 0, i j, а их дисперсии по наблюдениям одинаковы = = i j = = var( ) = 2, i = 1,..., N, или в матричной форме E(/) = IN2 (где IN = = = = i единичная матрица размерности N). Требуется найти b и ei - оценки, соответственно, и i. Для этого используется метод наименьших квадратов N N - = (МНК), т.е. искомые оценки определяются так, чтобы - = e2 min - = (x i - b)2 = i = = i =1 i== = = = или e/e min, где e вектор-столбец оценок ei. В результате, N = = = b = x = x = 1/ x, e = x - 1Nb, = = = = = = i N N N = i== = т.е. МНК-оценкой истинного значения измеряемой величины является среднее арифметическое по наблюдениям. Оценка b относится к классу линейных, поскольку линейно зависит от наблюдений за случайной величиной.

В рамках сделанных предположний доказывается, что - b является несмещенной оценкой (b = E()), ее дисперсия 2 равна b 2 и является минимальной на множестве линейных оценок; класс таких N оценок (процедур оценивания) называют BLUE - Best Linear Unbiased Estimators;

- несмещенной оценкой 2 является N N 1 = = - = = = - = e/e.

= = - = s = s2 = (x - b)2 = i - - N - 1 N - 1 N - - - - - = i == = Пусть теперь i распределены нормально, тогда оценка максимального правдоподобия совпадает с b, она несмещена, состоятельна (в пределе при N совпадает с и имеет нулевую дисперсию) и эффективна (имеет - (b -) N - - минимально возможную дисперсию), величина имеет распределение N(0,1) и (1-)100-процентный доверительный интервал для определяется как ± b ± 1-, ± ± - N где 1- - (1-)100-процентный двусторонний квантиль нормального распределения.

Эта формула для доверительного интервала используется, если известно точное значение.

На практике точное значение, как правило, неизвестно, и используется другой подход.

- (b - ) N - - Величина имеет распределение tN -1 и (1-)100-процентный s доверительный интервал для строится как s ± b ± tN -1,1-, ± ± - - - - N где tN-1,1- - (1-)100-процентный двусторонний квантиль tN-1 распределения.

Поскольку величина детерминирована, доверительные интервалы интерпретируются следующим образом: если процедуру построения доверительного интервала повторять многократно, то (1-)100 процентов полученных интервалов будут содержать истинное значение измеряемой величины.

2.2. Производные измерения Пусть xj, j = 1,...,n - выборочные (фактические) значения (наблюдения, измерения) n различных случайных величин, j - их истинные значения, j - ошибки измерений. Если x,, - соответствующие n-компонентные вектора-строки, то + x = +.

+ + Предполагается, что E() = 0, и ковариационная матрица ошибок E(/) равна.

Пусть величина y рассчитывается как f(x). Требуется найти дисперсию y - ошибки y = y - f ( ) измерения (расчета) этой величины.

- - Разложение функции f в ряд Тэйлора в фактической точке x по направлению - x (= -), если в нем оставить только члены 1-го порядка, имеет вид:

f() = y - g или y = g (заменяя ““ на “=“), f где g - градиент f в точке x (вектор-столбец с компонентами gj = (x)).

Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 7 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.