WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 5 | 6 ||

2 2 2 2 = vInT + µIn JT = vQ + (v + T µ)P.

Какая польза от такой записи Дело в том, что матрицы P и Q являются проекторами, они симметричны и идемпотентны по построению; кроме того QP = P Q = 0.

Фактически мы имеем разложение по базису из двух ортонормированных матриц.

Такая запись матрицы называется спектральным разложением. Вся прелесть такого разложения в том, что тогда искомая нами матрица - элементарно находится:

1 1 - = Q + P = 2 v v + T µ = (Q + P ) = v 1 = (InT - (1 - )In JT ), v T где v =.

2 v + T µ ОМНК-преобразование, подразумеваемое матрицей -, следующее:

yit - (1 - )yi = (xit - (1 - )xi) + vit - (1 - )vi.

ОМНК-оценка GLS есть МНК-оценка на этой ОМНК-преобразованной системе. Эта оценка является наилучшей из несмещённых, она состоятельна и асимптотически нормальна. Её условная дисперсия равна 1 2 V ar(GLS|X) = (X -1X)-1 = ((- X) - X)-1.

Чтобы осуществить доступное ОМНК-оценивание, необходима состоятельная оцен2 ка, т.е. состоятельные оценки компонент ковариационной матрицы µ и v. Это можно сделать, например, так: с помощью внутри-регрессии найти RSSW v =, nT - n - k + а с помощью между-регрессии – v2 1 RSSB µ + =.

T T n - k Тогда v2 RSSW n - k p = =.

RSSB nT - n - k + v2 + T µ Доступная ОМНК-оценка F GLS является МНК-оценкой системы yit - (1 - )yi = (xit - (1 - )xi) + vit - (1 - )vi.

Доступная ОМНК-оценка остается состоятельной и асимптотически нормальной, но теряет свойство несмещённости.

При тестировании на индивидуальные эффекты в моделях с фиксированными эффектами под нулевой гипотезой подразумевалось равенство всех соответствующих параметров. Здесь же их отсутствие означает отсутствие у них дисперсии:

2 H0 : µ = 0, HA : µ > 0.

При нормальности ошибок u из теории точной инференции известно, что RSSW RSSB 2, 2, nT -n-k+2 2 v v + T µ n-k причём эти статистики между собой независимы из-за ортогональности внутри- и между-преобразований. При нулевой гипотезе RSSB/(n - k) F = = Fn-k,nT -n-k+1.

RSSW /(nT - n - k + 1) Этот тест может быть плох не только из-за того, что он точный, но еще и потому, что тестовая статистика при нулевой гипотезе может быть очень близкой к её значению при альтернативной, если µ и T маленькие, т.е. мощность теста может быть небольшой. Чаще применяется асимптотичесикй тест Брюша-Пагана, строящийся на основе оценок максимального правдоподобия при предположении нормальности.

6 Фиксированные или случайные эффекты Обсудим концептуальный вопрос: как правильно моделировать индивидуальные эффекты – как случайные или как фиксированные До сего момента мы касались этого вопроса только косвенно. Существует два подхода. Кто-то придерживаются одного из них, кто-то – другого, но оба подхода желательно иметь в виду, принимая решение о спецификации модели.

Философский подход разграничивает две ситуации – проводится ли условная или безусловная инференция.

• Инференция условная, если мы хотим строить выводы для той конкретной выборки, которую имеем. В некотором смысле, имеющаяся выборка для нас и есть популяция. Тогда фиксированные эффекты считаются более адекватной спецификацией.

• Инференция безусловная, если имеющиеся данные – это лишь выборка из большой популяции, а мы хотим строить выводы для всей популяции. Тогда более адекватны случайные эффекты.

Пример 1. Пусть имеются данные по фирмам, и выборка содержит данные для IBM, Microsoft, General Electrics и т.п. фирмы, которые единственны в своем роде и которые вряд ли можно назвать случайной выборкой из большой популяции. В этом случае стоит использовать модель с фиксированными эффектами, и наши выводы скорей будут применимы к этим конкретным фирмам, нежели к фирмам в принципе.

Если же в выборке много однотипных однородных фирм, то модель со случайными эффектами более адекватна, и наши статистические выводы будут применимы ко всей популяции подобных фирм.

Пример 2. Пусть речь идет о каких-то крупных региональных единицах. Применительно к США это 50 штатов, применительно к России это 89 регионов. Если они все имеются в выборке, то все выводы применимы только к этому конкретному составу (другого-то и нет). При этом мы используем фиксированные эффекты. Если же мы рассматриваем более мелкие подразделения, которыми в США являются, например, графства, а в России – районы, их тысячи, и выборка, скорей всего, содержит их малую толику. Здесь случайные эффекты более приемлимы. А наиболее удачной спецификацией при рассмотрении графств или районов были бы комбинированные эффекты – случайные для самих графств или районов плюс фиксированные для штатов или регионов, в которых те находятся.

Альтернативный, статистический, подход не делает содержательной разницы между фиксированными и случайными эффектами. Нормальная ситуация – это случайные эффекты, а фиксированные эффекты используются вынужденно, когда случайные эффекты не чистые, а скоррелированы с регрессорами, и роскошь применить ОМНК недоступна, ибо ОМНК даёт несостоятельные результаты. Так что в принципе мы не столько выбираем между типами эффектов, сколько между методами оценивания.

Итак, в случае чистых случайных эффектов мы можем использовать ОМНКоценку, которая в данной ситуации является состоятельной и асимптотически эффективной. Для того, чтобы она была таковой, ошибка µi не должны коррелировать с регрессорами xit. В случае же фиксированных эффектов преобладает внутри-оценка, и она состоятельна безотносительно факта скоррелированности или нескоррелированности ошибок с регрессорами.

Нескоррелированность ошибок с регрессорами означает, что панельная регрессия правильно специфицирована, то есть регрессионная функция x it действительно линейна и содержит все релевантные регрессоры, и остаточная индивидуальная неоднородность, заложенная в индивидуальных эффектах, действительно случайна, не связана с характеристиками объекта, находящимися в xit.

Таким образом, выбор между случайными и фиксированными эффектами при статистическом подходе сводится к проверке того, есть ли корреляция между ошибками и обычными регрессорами. Поскольку речь фактически идёт о тестировании спецификации модели, мы можем воспользоваться инструментарием Хаусмана.

Наиболее жёсткой гипотезой является нескоррелированность ошибок с регрессорами, поэтому в качестве нулевой гипотезы берём H0 : E[ui|Xi] = 0, в коем случае случайные эффекты – наиболее адекватная спецификация, а ОМНК – наиболее адекватный метод оценивания. В качестве альтернативной гипотезы берём HA : E[ui|Xi] = 0, то есть фиксированные эффекты – наиболее адекватная спецификация, и используется внутри-оценивание.

Как уже упоминалось, оценка, являющаяся состоятельной и асимптотически эффективной при H0, но несостоятельной при HA – это ОМНК-оценка. Возьмём её в качестве 0 для теста Хаусмана. Альтернативная, робастная, состоятельная как при H0, так и при HA, но неэффективная ни при одной из них – это внутри-оценка, она будет взята в качестве 1. Тогда статистика Хаусмана равна d H = (W - GLS) ((X QX)-1X QQX(X QX)-1) - (X -1X)-1)-1(W - GLS) 2, k при условии обратимости обращаемой матрицы, которое, как правило, выполняется.

k Здесь k – это размерность. Если H > q1-, то мы не можем принять спецификацию со случайными эффектами и вынуждены работать с фиксированными; если же H k q1-, спецификацию со случайными эффектами можно принять.

В случае непринятия случайных эффектов иногда удаётся улучшить модель, найдя дополнительные объясняющие переменные для нечистых случайных эффектов и добавив их в модель в качестве регрессоров.

7 Динамическая панельная регрессия Здесь мы отклоняемся от стандартной модели панельных данных в одном из самых важных направлений. Теперь среди объясняющих переменных появятся лагированные y-ки. Рассмотрим простейшую ситуацию, когда у нас временных эффектов нет, а вся динамика управляется дополнительным регрессором – лагированном y.

Итак, рассмотрим однонаправленную структуру с динамическим слагаемым:

yi,t = yi,t-1 + x i,t + µi + vi,t, где обе компоненты ошибки µi и vi независимы от xi,t, и всего уравнений n(T - 1), поскольку t = 2,..., T из-за лагированного y. МНК и ОМНК здесь несостоятельны, так как µi коррелирует с yi,t-1.

Рассмотрим между-преобразованную систему:

yi = yi,-1 + x i + µi + vi, где слева – среднее yi,t от t = 2 до T, а справа – тоже среднее yi,t, но от t = 1 до T - 1.

Между-оценка также несостоятельна, по тем же причинам, что и МНК с ОМНК.

Рассмотрим внутри-преобразование, удаляющее индивидуальные эффекты:

yi,t - yi = (yi,t-1 - yi,-1) + (xi,t - xi) + vi,t - vi.

Увы, внутри-ошибка содержит в себе почти все идиосинкратические компоненты, которые коррелируют с yi,t-1. Поэтому эта оценка тоже несостоятельна (если панель короткая).

Удалим индивидуальные эффекты другим способом – взятием первых разностей:

yi,t - yi,t-1 = (yi,t-1 - yi,t-2) + (xi,t - xi,t-1) + vi,t - vi,t-1, где i = 1,..., n, t = 3,..., T, всего уравнений n(T - 2). МНК и ОМНК здесь неприменимы из-за корреляции между vi,t-1 и yi,t-1. Зато в данной ситуации можно применять метод инструментальных переменных, причём инструменты легко находятся.

В матричной форме имеем:

y = y-1 + X + v.

n(T -2)kk1 n(T -2)n(T -2)1 -2)n(T Создадим матрицу инструментов:

W WW =.

.

.

n(T -2).

Wn В качестве инструментов можно выбирать лагированные разности y или сами лагированные y-ки. Опытным путем было получено, что сами лагированные y-ки брать лучше, чем приращения.

Мы хотим использовать так много инструментов, как это возможно, ради большей эффективности. Возьмём первое уравнение (т.е. соответствующее t = 3) для i-го объекта и найдём для него инструменты. При t = 3 ошибка состоит из vi,3 и vi,2. Мы хотим среди y-ков найти те, которые нескоррелированы с ними, который реализовались раньше обоих ошибок. Таковой единственный – yi,1, все же остальные y-ки будут коррелировать с ошибкой либо непосредственно, либо через предысторию.

Чтобы выбрать инструменты для xi,t, можно сделать дополнительное предположение, что xi,t строго экзогенны, что означает, что они определяются вне системы и не коррелируют с этими ошибками, ни с будущими, ни с прошлыми. Тогда в качестве инструментов можно взять все имеющиеся xi,t. Выпишем все найденные инструменты в одну строчку, остальное заполняем нулями.

Перейдём к следующей строчке, соответствующей t = 4. Теперь ошибка равна vi,4 - vi,3, и есть два y-ка, которые реализовались до момента времени t = 3. Поэтому здесь мы берём инструменты yi,1 и yi,2. Закономерность понятна. Когда мы дойдём до самой нижней строчки, соответствующей t = T, ошибка будет равна vi,T - vi,T -1.

Это значит, что у нас много y-ков, которые реализовались до момента t = T - 1, а именно от yi,1 до yi,T -2, а потом все те же x-ы, что и ранее.

Выпишем всю матрицу инструментов для i-го объекта:

yi,1 x i,1 x i,2... x i,T 0... 0 0... 0... 0 yi,1 yi,2 x i,1 x i,2... x i,T 0... Wi =...........................

...........................

0... 0 0... 0 yi,1... yi,T -2 x i,1... x i,T Получилась широкая матрица высоты n(T - 2). Если строгая экзогенность x-ов – слишком сильное и неправдоподобное предположение, можно предположить их предопределенность, когда текущие и прошлые значения x-ов не коррелируют с ошибками, тогда как будущие вполне могут коррелировать. Тогда от части инструментов придётся избавиться. В первой строчке из x-ов останутся только x i,1 и x i,2, во второй – x i,1, x i,2 и x i,3, и так далее. В последней строчке будут стоять почти все x-ы, кроме последнего, то есть x i,1... x i,T -1.

Далее, мы хотим скорректировать на серийную корреляцию в ошибке vi,t - vi,t-во благо более эффективного оценивания. Для этого построим следующую матрицу:

2 -1 0... -1 2 -1... -1 2... G =.

.

.

(T -2)(T -2) 0 0 -1.

.

.

. -...

... -1 По главной диагонали этой матрицы стоят дисперсии ошибок, а вне главной диагонали – ковариации, с точностью до общей константы.

Теперь можно выписать эффективную ОММ-оценку:

= ((y-1X) W (W (In G)W )-1W (y-1X))- (y-1X) W (W (In G)W )-1W y.

Для подсчёта стандартных ошибок необходимо оценить асимптотическую дисперсию:

AV ar = v((y-1X) W (W (In G)W )-1W (y-1X))-1.

Если бы мы не предположили независимость между ошибками и обычными регрессорами, допустив условную гетероскедастичность, процедуру, конечно же, мы сделали бы двухшаговой. На втором шаге с помощью остатков, полученных в результате описанного выше алгоритма, мы переоценили бы взвешивание, скорректировав на условную гетероскедастичность, и запустили бы алгоритм вновь.

Pages:     | 1 |   ...   | 5 | 6 ||



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.