WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 4 | 5 || 7 |

y = Dµ + X + v, где y1 µ1 v y2 µ2 vy =, µ =, v =,...

...

nT nT 1 n...

yn µn vn X1 iT 0 0... 0 iT 0... XX =, D =.

......

......

nT k nT n......

Xn 0 0 0... iT Матрица D называется матрицей индивидуальных фиктивных переменных. Матрица D слишком большая, поэтому воспользуемся операцией произведения Кронекера чтобы записать её компактнее:

D = In iT.

Первое, что напрашивается для оценивания – это МНК, и в данном случае он действительно является хорошим методом: в ошибке остались только идиосинкратические компоненты, дисперсионная матрица которых диагональна с одним и тем же элементом v на главной диагонали. Поэтому МНК-оценки µ и будут эффективными. Но для этого (в частности, даже для существования оценки) необходимо, чтобы nT (n + k)-матрица всех регрессоров (D X) имела полный ранг, равный количеству столбцов. Из этого, в частности, следует, что:

1. T не должно быть меньше 2, иначе индивидуальные эффекты полностью неидентифицируемы;

2. X не должен содержать переменные, не изменяющиеся во времени (например, образование, если в выборке только взрослые люди).

Итак, если всё в порядке с условием на ранг, можно успешно применить МНК. Возникают, правда, другие но (к приведённой мотивации в наше время хорошо развитой компьютерной техники можно придраться, но такова предыстория современной теории):

• Мы не хотим хранить огромные (размерности nT n) матрицы;

• Мы не хотим обращать большие (размерности n n) матрицы;

• Мы больше заинтересованы в оценивании, нежели µ.

Поэтому, вместо того чтобы посоветовать на практике использовать в лоб МНК, мы ищем обходные манёвры. На самом деле, найдя эти обходные манёвры, мы не только избавимся от необходимости работать с большого размера матрицами, но и приобретём массу интуитивных соображений. У нас уже есть инструментарий – теорема Фриша–Во–Ловелла.

Построим проекционную (на фиктивные переменные) матрицу Q:

Q = InT - D(D D)-1D.

nT nT Мы можем прогнать две короткие регрессии, X и y, на эти фиктивные переменные, и получить Qy - остатки от регрессии y на D, QX - остатки от регрессии X на D.

Тогда, согласно теореме Фриша–Во–Ловелла, мы можем получить оценку с помощью МНК в регрессии Qy на QX:

= ((QX) QX)-1(QX) Qy = (X QX)-1X Qy.

kk Мы избавились от необходимости обращать большие матрицы: вместо матрицы (n + k) (n + k) нам теперь нужно обращать матрицу k k. Кроме того, мы оценили именно то, которое нас интересовало.

Построенная таким образом оценка имеет несколько названий: оценка наименьших квадратов с фиксированными эффектами (ФЭНК) и оценка наименьших квадратов с фиктивными переменными (НКФП). Самое главное название же выяснится, когда мы взглянем на оценку с другой перспективы.

Найдём вид матрицы Q:

D D = (In iT ) (In iT ) = (In i T )(In iT ) = = InIn i T iT = In T = T In.

Тогда 1 D(D D)-1D = (InIn iT i T ) = In JT, T T где JT = iT i T – матрица из единиц, и Q = InT - In JT.

T Теперь гораздо прозрачнее видна структура матрицы Q, и не только самой матрицы, но и преобразований, совершаемых с её помощью. Теперь понятно, что взятие остатков в коротких регрессиях означает удаление средних по времени. Например, T Qy = yit - yi = yit - yit.

T t=Значит, оценивание сводится к применению МНК к преобразованной системе yit - yi = (xit - xi) + vit - vi, i = 1,..., n, t = 1,..., T, где T T T 1 1 yi = yit, xi = xit, vi = vit.

T T T t=1 t=1 t=Такое преобразование, удаляющее из характеристик каждого объекта их среднее по времени, называется преобразованием внутри. С помощью внутри-преобразования мы избавились от индивидуальных эффектов. Таким образом, если нас интересуют только параметры, мы можем их оценить с помощью МНК на внутри-преобразованных уравнений. Численно получится то же самое, что получилось бы, если бы мы применили МНК к первоначальной системе, но без всяких проблем с необходимостью обращения больших матриц и заведения огромных. Соответственно, третье название для оценки – это внутри-оценка.

Рассмотрим свойства внутри-оценки. Её условная дисперсия есть V ar(|X) = v(X QX)-1.

Дисперсию v можно оценить, взяв сумму квадратов остатков и разделив на количество наблюдений, скорректированное на количество степеней свободы, т.е. на количество параметров, равное n + k. Многие теоретики и практики считают эту корректировку очень важным фактором в анализе панельных данных, так как она получается довольно существенной из-за того, что n большое, а T маленькое.

RSS v =, nT - n - k где RSS = y Qy - y QX(X QX)-1X Qy.

Последнее выражение, конечно, лучше вычислять не в лоб, а с помощью внутрирегрессии, чтобы не иметь дело с матрицей Q явным образом.

Почему МНК-оценка остается хорошей для внутри-преобразованной системы Ведь ошибка тоже преобразовывается, да так, что ковариационная матрица в модели вообще получается вырожденной (состоящая из блоков на главной диагонали, каждый из которых заполнен одним и тем же числом). Оказывается, что мы имеем дело с одним из тех частных случаев, когда ОМНК-оценка в точности совпадает с МНК-оценкой.

Далее. Мы оценили только коэффициенты, но если мы хотим оценить ещё и µ, мы можем воспользоваться второй частью теоремы Фриша–Во–Ловелла, которая говорит, что МНК-оценки оставшихся коэффициентов можно получить с помощью ещё одной короткой регрессии на тех вспомогательных регрессорах, от которых мы избавляемся. В данном случае это фиктивные переменные, так что прорегрессировав на них разницу между левой частью и подогнанным значением части, связанной с x-ми, получим µ = (D D)-1D (y - X), что эквивалентно расчёту каждого индивидуального эффекта по средним для этого объекта:

µi = yi - x i.

Какими асимптотическими свойствами обладают построенные нами оценки Оценка и оценки µi сильно отличаются по свойствам:

• Внутри-оценка состоятельна и асимптотически нормальна при n и фиксированном T. Поэтому, если мы построим стандартные ошибки, исходя из вышеуказанной формулы для дисперсии, найдем t-статистики делением самих оценок на их стандартные ошибки, всю инференцию для можно проводить стандартным образом.

• Внутри-оценки µi несостоятельны при n и фиксированном T, ибо их количество растёт пропорционально с ростом размера выборки.

Рассмотрим вопрос тестирования на индивидуальные эффекты. Работая с панельными данными, мы можем не только контролировать индивидуальные эффекты, но и тестировать их наличие. Получив оценки, мы хотели бы задаться вопросом, есть ли вообще неоднородность между объектами, или, возможно, её не стоит контролировать. В качестве нулевой гипотезы возьмём неотличимость индивидуальных компонент между собой:

H0 : µ1 = µ2 = · · · = µn.

К сожалению, асимптотический тест здесь невозможен из-за того, что оценки µi, равенство которых мы собираемся проверять, несостоятельны, а количество ограничений n-1 пропорционально размеру выборки и растёт в асимптотике. Формальные тесты для µi проводить можно, но не асимптотические, а с помощью точного подхода, которого мы всегда избегали из-за заложенной в нём необходимости предполагать распределение данных. Тем не менее, если мы очень хотим этот тест провести, воспользуемся тем фактом, что при нормальности ошибок vit, (RSSR - RSSU)/(n - 1) F = Fn-1,nT -n-k, RSSU/(nT - n - k) где RSSU просчитывается по полной модели (выписанная ранее формула), RSSR просчитывается по модели с удалёнными индивидуальными компонентами (как бы по одной большой кросс-секции с наличием константы), а F·,· – это распределение Фишера с соответствующими степенями свободы.

4 Двунаправленная МСО с фиксированными эффектами В двунаправленной модели, кроме индивидуальных, присутствуют еще временные эффекты. Поскольку они фиксированы, и µi, и t обрабатываются как неизвестные параметры. Соответственно, в регрессионную функцию добавляются ещё регрессоры:

yit = + µi + t + x it + vit.

Необходимо избавиться от мультиколлинеарности среди фиктивных переменных. Теперь константа дублируется дважды, как сумма всех µi и как сумма всех t. В данной модели принято оставлять, а избавляться от одного из временных и одного из индивидуальных эффектов, для определённости, скажем, последних по счёту:

µn = 0, T = 0.

Матричная форма выглядит следующим образом:

y = inT + Dµµ + D + X + v, nT nT где µ1 µ2 µ =, =,..

..

(T -1)(n-1)..

µn-1 T - iT 0 0... IT - 0 iT 0... 0........

..........

.....

Dµ =, D =.....

nT (T -1) nT (n-1) IT -0 0 0... iT 0... 0 0 0... X имеет размерность nT k, – k 1, v – nT 1, как и в однонаправленной модели.

Объединим матрицы временных и индивидуальных фиктивных переменных в одну матрицу D, а все соответствующие коэффициенты – в вектор :

D = (inT Dµ D).

µ nT (n+T -1) (n+T -1)Применим МНК к нашей системе уравнений, поскольку, благодаря диагональности дисперcионной матрицы ошибок, ситуация идеальна для МНК. Вновь необходимо гарантировать условие полного ранга (по колонкам) матрицы всех регрессоров (D X), равного n + T + k - 1. Отсюда, в частности, следует, как и для однонаправленной модели, что X не должна содержать переменные, не изменяющиеся во времени и таким образом повторяющие индивидуальные эффекты (например, образование, если в выборке только взрослые). Также X не должна содержать изменяющиеся во времени переменные, одинаковые для всех объектов (например, цены). Если все эти условия выполнены, можно применить МНК, являющийся эффективным методом.

Опять же мы не хотим иметь дело с огромными матрицами, поэтому вновь пытаемся применить эквивалентное преобразование и свести дело к серии коротких регрессий.

Для этой цели представим Q в виде Q = InT - D(D D)-1D = 1 1 = InT - In JT - Jn IT + JnT, T n nT где Jk – матрица из единиц размера k k. Короткая регрессия Qy на QX называется регрессией внутри. Что означает такое преобразование Выпишем внутри-оценку:

= ((QX) QX)-1(QX) Qy = (X QX)-1X Qy.

Из структуры матрицы Q видно, что есть МНК-оценка на внутри-преобразованных уравнениях yit - yi - yt + y = (xit - xi - xt + x) + vit - vi - vt + v, где T n n T 1 1 yi = yit, yt = yit, y = yit, T n nT t=1 i=1 i=1 t=и аналогично для x и Qv. Условная дисперсия внутри-оценки равна V ar(|X) = v(X QX)-1.

Асимптотические свойства внутри-оценки: состоятельна и асимптотически нормальна. Состоятельную оценку v можно построить как RSS v =.

nT - n - T - k + Это правильная корректировка на число степеней свободы. Здесь нужна осторожность, ибо программный пакет, оценивающий внутри-регрессию, не знает о том, что оцениваются еще индивидуальные и временные эффекты. Оценки дисперсии необходимо вручную подправлять.

Про асимптотические свойства оценок остальных параметров говорить трудно.

Очевидно, что индивидуальные компоненты оцениваются несостоятельно, поскольку их количество растёт пропорционально размеру выборки. С -ми другая ситуация, их фиксированное количество T - 1, и оно не растёт, т.к. T асимптотически фиксировано. С ними, правда, тоже нужно обходиться осторожно, поскольку присутствует некоторая взаимозаменяемость между µi, t и свободным членом.

Если мы хотим протестировать модель на отсутствие только индивидуальных эффектов, нулевая гипотеза выглядит как H0 : µ1 = µ2 = · · · = µn-1 = 0.

Здесь n-1 ограничение, поэтому возможен только точный тест. Асимпотический тест невозможен, ибо количество ограничений растёт пропорционально размеру выборки.

F-тест строится так же, как в однонаправленной модели.

Если мы хотим протестировать на отсутствие и индивидуальных, и временных эффектов, то нулевой гипотезой будет H0 : µ1 = µ2 = · · · = µn-1 = 1 = 2 = · · · = T -1 = 0.

Ограничений еще больше, n + T - 2, асимптотический тест снова невозможен, приходится предполагать нормальность и пользоваться точной инференцией.

Если же мы хотим протестировать на отсутствие только временных эффектов, то H0 : 1 = 2 = · · · = T -1 = 0.

Здесь количество ограничений T - 1 фиксировано. Точный тест (F -тест), конечно, можно построить, но появляется возможность провести асимптотический 2 -1-тест.

T 5 Однонаправленная МСО со случайными эффектами Ограничимся только однонаправленной структурой, поскольку двунаправленная означала бы случайные временные эффекты, а это, при обычной короткости панелей по времени, не очень удобно. Фиксированность временных эффектов является более адекватным предположением. В этой модели структура ошибки становится сложной, а структура регрессионной функции – простой:

2 uit = µi + vit, µi i.i.d.(0, µ), vit i.i.d.(0, v).

Обе компоненты независимы друг от друга и от всех x-ов. Предположение о полной независимости от x-ов, опять же, введено для упрощения. Сама панельная регрессия:

yit = x it + uit.

В модели с фиксированными эффектами мы явно указывали константу, поскольку она могла повторять фиксированные индивидуальные эффекты. Теперь же последние отсутствуют, и нет смысла указывать константу специально; если она есть, то она уже среди x-ов.

Запишем уравнения в матричной форме:

y = X + u.

Регрессия выглядит просто, но теперь дисперсионная матрица ошибок имеет сложную структуру. Пусть V ar(u).

На главной диагонали стоят дисперсии 2 V ar(uit) = V ar(µi + vit) = µ + v i t.

Вне главной диагонали стоят ковариации:

Cov(uit, uis) = Cov(µi + vit, µi + vis) = µ i t = s, Cov(uit, ujs) = Cov(µi + vit, µj + vjs) = 0 i = j t, s.

Заметим, что в двунаправленной МСО со случайными эффектами появилась бы ненулевая корреляция между uit и ujt из-за общего временного эффекта.

В итоге вся дисперсионная матрица выглядит следующим образом:

2 2 µ + v µ 0 2 2 µ µ + v T T =.

.

.

nT nT.

0 2 2 µ + v µ 0 2 2 µ µ + v Каждый блок матрицы размера T T, всего n ненулевых блоков.

Временно отвлечёмся от структуры дисперсионной матрицы. Посмотрим, какие есть варианты неэффективного оценивания.

• Можно оценить систему с помощью МНК, поскольку u и x независимы:

OLS = (X X)-1X y, V ar(OLS|X) = (X X)-1X X(X X)-1.

• Можно оценить систему с помощью внутри-преобразования:

W = (X QX)-1X Qy, V ar(W |X) = (X QX)-1X QQX(X QX)-1.

• Можно оценить систему с помощью так называемого между-преобразования yi = x i + µi + vi, i = 1,..., n, t = 1,..., T.

Пусть P = InT - Q. Тогда между-оценка равна B = (X P X)-1X P y, V ar(B|X) = (X P X)-1X P P X(X P X)-1.

Между-преобразование является противоположным внутри-преобразованию, т.к.

в сумме они дают пустое преобразование, означающее применение МНК.

Теперь рассмотрим эффективное ОМНК-оценивание. ОМНК-преобразование, которое нужно при этом осуществить, диктуется матрицей -. Перепишем в более удобном виде:

Pages:     | 1 |   ...   | 4 | 5 || 7 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.