WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |   ...   | 7 |

i=1 i=Гораздо интереснее случай сверхидентификации (l > k). Имеем условия на моменты E[z(y - x )] = 0.

lm(x,y,z,) Наши сопровождающие матрицы (которые мы переобозначим для удобства) равны Qm = -E[zx ] = -Q xz, Qmm = E[zz (y - x )2] = -Qzze.

Последняя в случае условной гомоскедастичности упрощается, превращаясь в 2Qzz.

Попробуем использовать неэффективный ОММ со следующим взвешиванием:

-n p Wn = zizi W = Q-1 Q-1.

zz mm n i=По построению, это симметричная положительно определенная матрица. ОММ действительно неэффективный, кроме случая условной гомоскедастичности, когда Q-zz Q-1 и взвешивание оказывается оптимальным. Соответствующая ОММ-оценка есть mm -n n n 1 1 = arg min zi(yi - x ib) zizi zi(yi - x ib) b n n n i=1 i=1 i= --1 -n n n n n n = xizi zizi zix i xizi zizi ziyi.

i=1 i=1 i=1 i=1 i=1 i=Получилось знакомое выражение, которое совпадает с оценкой по двухшаговому методу наименьших квадратов (2ШМНК-оценкой). Отсюда следуют следующие выводы:

• 2ШМНК-оценка является ОММ-оценкой;

• 2ШМНК-оценка асимптотически неэффективна в классе ОММ-оценок, которые используют условие на моменты E[ze] = 0, за исключением случая условной гомоскедастичности.

Построим теперь эффективную ОММ-оценку. Оптимальное взвешивание будет -n Wn = Q-1 = zizie2, mm i n i=где ei – некоторые состоятельные (например, от применения 2ШМНК) остатки. Матрица, пропорциональная этой, тоже годится.

Строим саму оценку. По сравнению с предыдущей нужно поменять только взвешивание:

-n n n 1 1 = arg min zi(yi - x ib) zizie2 zi(yi - x ib) i b n n n i=1 i=1 i= --1 -n n n n n n = xizi zizie2 zix i xizi zizie2 ziyi.

i i i=1 i=1 i=1 i=1 i=1 i=Это и есть наиболее эффективная ОММ-оценка в классе оценок, использующих условие на моменты E[ze] = 0.

Замечание. По сей день от дилетантов можно слышать восторженные замечания об ОММ, вроде ОММ робастен к условной гетероскедастичности. Эта фраза лишь означает, что ОММ асимптотически эффективен в этих условиях, а 2ШМНК – нет, и отражает факт использования говорящим 2ШМНК в течение десятилетий и внезапно обнаружившим нечто лучшее.

7 ОММ как оптимальное инструментальное оценивание Взглянем на уже известные вещи с другой точки зрения для выявления интересных закономерностей. Рассмотрим --1 -n n n n n n = xizi zizie2 zix i xizi zizie2 ziyi = i i i=1 i=1 i=1 i=1 i=1 i=-n n = ix i iyi, i=1 i=что выглядит как инструментальная оценка при точной идентификации с инструментом i, который является линейной комбинацией первоначального инструмента:

-n n 1 = xjzj zjzje2 z = Qxz Q-1 z.

j zzen n kj=1 j=lkl ll Отсюда следует следующая интерпретация: эффективная ОММ-оценка берёт первоначальные инструменты z (их l штук), умножает их на выписанную выше последовательность матриц, которые в совокупности имеют размерностьk l, слева.

Таким образом берутся, пусть и сложные, линейные комбинации от первоначальных инструментов так, чтобы получился точно идентифицирующий инструмент. Такое взвешивание является оптимальным, ибо мы начали с эффективного ОММ. Таким образом, эффективный ОММ неявным образом ужимает информацию до необходимого размера оптимальным образом. Приведённый выше называется оптимальным инструментом. Используя популяционные аналоги, можно получить идеальный оптимальный инструмент = QxzQ-1 z, zzeкоторый асимптотически эквивалентен.

Даже в самой общей постановке, когда условия на моменты E[m(z, )] = нелинейны по параметру, возможна похожая интерпретация. Эффективная ОММоценка в этом случае равна n n 1 = arg min m(zi, q) Q-1 m(zi, q), mm q n n i=1 i=а условия первого порядка – n n 1 m(zi, ) Q-1 m(zi, ) = 0, mm n q n i=1 i=Q m или n Q mQ-1 m(zi, ) = 0.

mm n i=Эта система точно идентифицирована, несмотря на то, что первоначальная задача была сверхидентифицирована. Объект, стояший под знаком суммы, можно считать преобразованной функцией моментов:

n µ(zi, ) = 0, n i=где µ(z, ) = Q mQ-1 m(z, ) называется оптимальнй функцией моментов. Поскольmm ку у нас использовался эффективный ОММ (эффективная взвешивающая матрица Q-1 ), такое преобразование оптимально.

mm Итак, с условиями на моменты происходит примерно то же, что и с инструментами в линейном случае: их более чем достаточно, l штук, но информацию в них можно сжать оптимальным образом до k элементов. Здесь тоже немного мешают крышечки, и можно ввести понятие идеальной оптимальной функции моментов:

µ(z, ) = Q mQ-1 m(z, ).

mm К сожалению, популяционные аналоги неизвестны, но именно такое соотношение лучше всего характеризует оптимальное сжатие информации из l элементов в k оптимальным образом.

8 МНК, ОМНК и ММП как ОММ-оценивание Каждая из изученных нами оценок так или иначе может рассматриваться как одна из класса ОММ-оценок, если соответствующим образом сформировать условия на моменты.

В случае линейной регрессии мы создавали оценку из условия нескоррелированности регрессоров и ошибок E[xe] = 0.

Применив принцип аналогий, получим n xiei = 0, n i=т.е. условие для МНК-оценки. Эту же цепочку можно рассматривать как применение ОММ, где параметров в столько же, сколько x-ов, или же КММ из-за точной идентификации.

Рассмотрим следующее условие на моменты, вытекающее из регрессионного предположения:

xe E = 0.

2(x) Применение ОММ к этому условию на моменты, а у нас опять точная идентификация, есть применение КММ. Принцип аналогий дает систему уравнений, из которой находится (недоступная) ОМНК-оценка:

n 1 xiei = 0.

n 2(xi) i=Несколько сложнее с ММП. Здесь в качестве условия на моменты нужно взять правило нулевого ожидаемого скор (математическое ожидание скор-функции в истинном параметре равно 0):

log f(z|) E = 0.

q Заметим, что опять имеем точно идентифицирующую параметр систему. Это означает, что применение ОММ опять вырождается в применение КММ, т.е. достаточно применить принцип аналогий:

n 1 log f(z|) = 0.

n q i=Поскольку полученные уравнения – это условия первого порядка для оценки максимального правдоподобия, их решение есть ММП-оценка.

Таким образом, класс ОММ-оценок очень широк. Даже если параметры идентифицируются не с помощью среднего, а с помощью, например, медианы, эти условия можно преобразовать в привычные условия на моменты. Например, в случае медианы, это математическое ожидание знака отклонения от параметра равно 0. Правда, для медианы нужно модифицировать ОММ-теорию, ибо мы использовали предположение дифференцируемой функции моментов. Оценки получатся состоятельными и асимптотически нормальными даже в таких случаях.

9 ОММ и модели с рациональными ожиданиями Оказывается, что ОММ-теория остается верной и для моделей стационарных эргодических временных рядов. Правда, стационарность может быть немного ослаблена (например, дисперсия может слегка расти или флуктуировать во времени), но присутствия единичных корней допускать нельзя. Мы для определенности предполагаем стационарность и эргодичность.

Отличия от кросс-секционных моделей примерно те же самые, что встречались и в линейных моделях. В первую очередь присутствовала проблема оценивания бесконечной суммы в сердцевине выражения для асимптотической дисперсии. Похожая проблема имеется и здесь.

Под обозначением Qmm теперь мы будем иметь в виду долгосрочную дисперсию + Qmm = E[m(zt, )m(zt-j, ) ].

j=Теперь эта матрица нужна нам не только для построения стандартных ошибок, но и для оптимального взвешивания. В общем случае, не имея информации о структуре серийной корреляции, эта матрица может быть оценена по формулам Ньюи-Веста или Андрюса. Напомним суть этих методов: оценивается конечное количество слагаемых, а границы растут с увеличением выборки, но медленно, а проблема положительной определенности матрицы Qmm (предельно важная для ОММ-оценивания) решается дополнительным взвешиванием.

Может ли Qmm состоять из одного центрального слагаемого Да, если m(z, ) есть последовательность мартингальных приращений (ПМП) по отношению к своему прошлому, то есть E[m(zt, )|It-1] = 0.

Тогда j > 0 (для отрицательных j логика та же), E[m(zt, )m(zt-j, ) ] = E[E[m(zt, )|It-1]m(zt-j, ) ] = 0.

Как следствие, Qmm состоит всего из одного слагаемого, как в кросс-секционных моделях:

Qmm = E[m(zt, )m(zt, ) ].

Как следствие, ничего не меняется в ОММ-теории.

Если m(zt, ) серийно скоррелированно до известного порядка q, то q Qmm = E[m(zt, )m(zt-j, ) ].

j=-q С этим объектом легче иметь дело, чем с бесконечной суммой. Каждое слагаемое можно состоятельно оценить и взять их сумму. Такой способ приводит к оценке Хaнсена-Ходрика. Но такая матрица может не оказаться положительно определенной. Если возникла такая проблема, то можно поменять стратегию и забыть об ограниченности серийной корреляции и вернуться к общему случаю, т.е. формулам НьюиВеста или Андрюса, что, конечно, неприятно из-за частичной потери информации.

Рассмотрим типичную нелинейную макроэкономическую модель max E0 tu(ct, ) t=s.t. ct + bt yt + Rtbt-где процессы для yt, Rt считаются заданными, – фактор дисконтирования, а – параметр предпочтений. Условие первого порядка (уравнение Эйлера) выглядит так:

u (ct+1, ) E Rt+1|It = 1.

u (ct, ) До изобретения ОММ, то есть примерно до 80-х годов, поступали следующим образом. Делалось предположение, что Rt+1 = R, а функция полезности квадратична:

u(c, ) = 1c + c2.

Такая модель называется линейно-квадратичной. Тогда u (c, ) = 1 + 2c, 1 + 2ct+E R|It = 1, 1 + 2ct откуда вытекает линейная регрессия ct+1 = 1 + 2ct + et+1, E[et+1|It] = 0.

Оценивание модели с использованием ОММ началось со статьи Хансена и Синглетона 1982-го года. Делается предположение о функции полезности CRRA-типа:

c1u(c, ) =, > 0.

1 - Маржинальная полезность равна u (c, ) = c-. Тогда уравнение Эйлера переписывается как ct E Rt+1 - 1|It = 0, ct+где = (, ) – оцениваемый параметр. Разность, которая стоит под знаком условного математического ожидания, можно интерпретировать, как ошибку планирования et+1. Получилось нечто очень похожее на нелинейную регрессию, хотя нет явного разделения на зависимую и независимые переменные.

Чтобы перейти от условных к безусловным математическим ожиданиям, выберем инструментальные переменные. Инструментов должно быть как минимум 2, поскольку размерность параметра k = 2. Например, годится ct ct-zt = 1 Rt Rt-1.

ct-1 ct-На практике обычно используют именно такие инструменты. То, что в качестве инct струментов взят рост потребления и т.п., а не, скажем, само потребление ct, ct-связано с требованием стационарности: чистое потребление обычно растёт во времени. В принципе, в качестве инструментов могут быть использованы рост доходов yt bt и рост инвестиций, фигурирующие в бюджетном ограничении, ибо они тоже yt-1 bt-ct-релевантны. Могут быть использованы любые стационарные комбинации, типа, ct Rt, RtRt-1, и т.п. Пока алгоритма по их оптимальному выбору, увы, не существует.

Однозначно следует включить константу. Увлекаться количеством инструментов не стоит, ибо замечено, что при их накоплении поведение ОММ-оценок всё менее точно описывается их асимптотическим распределением.

После того, как мы выбрали инструменты, можно сформулировать условия на моменты в привычном виде z ct Rt+1 - 1) = E ( t ct+et+и прогнать эффективный ОММ (здесь l = 5, k = 2), что подразумевает следующие действия:

1. Оценивание параметров и.

2. Оценивание асимптотической дисперсионной матрицы и построение стандартных ошибок для обеих оценок.

3. Проведение теста на спецификацию (J-теста) с обязательным принятием гипотезы. Если она отвергается, следует изменить модель, приведя её ближе к действительности.

При этом нам необходимо организовать эффективное взвешивание, для чего нужна матрица Qmm. Так как ztet+1 являются ПМП по отношению к своему прошлому, матрица Qmm имеет простую структуру, т.е. долгосрочная дисперсия состоит из одного лидирующего слагаемого – чистой дисперсии. Можно сказать, что нам повезло, но так везет в большинстве подобных задач. Это следствие того, что большинство подобных задач являются однопериодными, где решения принимаются в каждый момент времени касательно следующего момента времени.

Посмотрим теперь, когда такие осложнения могут возникнуть. Поменяем одно из условий первоначальной модели. Пусть теперь вложения реализуются через p > периодов времени, т.е. решения принимаются касательно момента времени через p периодов. Бюджетное ограничение записывается как ct + bt yt + Rtbt-p, а уравнение Эйлера – как u (ct+p, ) E p Rt+p|It = 1.

u (ct, ) Выбрав инструменты, имеем ct z E (p Rt+p - 1) = 0, t ct+p et+p и прогоняем эффективный ОММ. Теперь Qmm имеет более сложную структуру, т.к.

ztet+p не является ПМП по отношению к своему прошлому, так что многопериодность модели приводит к наличию серийной корреляции. Из-за конечности горизонта планирования Qmm все-таки будет конечной суммой:

p-Qmm = E[ztzt-jetet-j].

j=-(p-1) Для оценивания мы можем применить формулу Хансена–Ходрика, состоятельно оценив все слагаемые. В случае, если не получилась положительно определённая матрица, можно её забраковать и использовать более общие методы (формулу Ньюи–Веста и т.п.).

Рассмотренные примеры типичны для применения ОММ в макроэкономических нелинейных моделях. Некоторые же модели линейны; они следуют не из задачи с оптимизирующими агентами, а из других соображений. Примерами являются модель Мишкина предсказывания будущей инфляции по текущим процентным ставкам и модель Хансена–Ходрика предсказывания изменений текущих обменных курсов по форвардным премиям. Для линейных моделей ОММ даст явную формулу для оценки.

10 Бутстрапирование ОММ-оценок Напомним, что бутстрап – это альтернативный асимптотике способ построения статистических выводов. Бутстрап используется, когда нас не устраивает асимптотическое приближение из-за его неточности. А распределения ОММ-оценки и особенно J-статистики как раз плохо приближаются их асимптотическими распределениями.

Итак, генерируем бутстраповские псевдовыборки {z1,..., zn}{z1,..., zn} -...

{z1,..., zn}B где B – большое число. Из исходных данных получаем статистики, W, J,.... Для каждой бутстраповской псевдовыборки также получаем аналоги 1, W1, J1,...

.

.

.

B, WB, JB,...

То, как легли значения этих статистик, мы воспринимаем как их бутстраповское распределение.

Напомним про необходимость рецентрирования бутстраповских статистик. Например для t-статистики t = se() бутстраповский аналог будет выглядеть как - t =.

se() Построим бутстраповский аналог для ОММ-оценки n n 1 = arg min m(zi, q) Q-1 m(zi, q).

mm q n n i=1 i=Просто заменить данные на псевдоданные мало, так как из-за сверхидентификации n E[m(z, )] = m(zi, ) = n i=в выборке, в то время как в популяции E[m(z, )] = 0.

Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |   ...   | 7 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.