WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 7 |

III Обобщённый метод моментов 1 Условия на моменты Пусть известно, что параметр, который мы хотим оценить, удовлетворяет так называемому условию на моменты, или условию ортогональности E[m(z, )] = 0, где z – представитель наблюдаемых данных, – вектор параметров размерности k 1, m(z, q) – функция моментов, вид которой известен с точностью до параметров, и которая – вектор размерности l 1, причём l k. Если l = k, у нас случай точной идентификации, если же l > k – случай сверхидентификации.

Далее приведены примеры, которые мы будем рассматривать на протяжении всей темы.

Пример 1. Пусть известно, что распределение z нескошенное, то есть E[(z-)3] = 0, и мы хотим оценить среднее z, то есть истинный параметр – = E[z]. Тогда условие на моменты запишется так:

z - q m(z, q) =, (z - q)и k = 1, l = 2.

Пример 2. Пусть известно, что x и y имеют общее среднее, то есть E[x] = E[y] =.

Наша цель – оценить это среднее. Условие на моменты запишется так:

x - q m(x, y, q) =, y - q и вновь k = 1, l = 2.

В обоих примерах мы имеем сверхидентификацию.

2 Оценка обобщённого метода моментов Пусть имеется случайная выборка z1,..., zn. Рассмотрим сначала случай точной идентификации l = k. Применение принципа аналогий дает уравнение n m(zi, ) = 0.

n i=Неизвестных здесь столько же, сколько уравнений, и называется оценкой классического метода моментов (КММ).

Пример 1 (продолжение). Возьмём только первое из условий, тогда КММ-оценка будет равна n 1 = zi.

n i=Возьмём только второе из условий, тогда КММ-оценка будет иметь неявный вид n (zi - 2)3 = 0.

i=Пример 2 (продолжение). Возьмём только первое или второе из условий, тогда КММ-оценка будет, соответственно, n n 1 1 = xi, 2 = yi.

n n i=1 i=Понятно, что в общем случае 1 = 2.

Чаще всего на практике, правда, идентифицирующей информации больше, чем достаточно, то есть l > k. Разобравшись в этой более сложной ситуации, мы увидим, что КММ – это лишь ее частный случай.

Если l > k, вышеприведённый трюк не работает, ибо результирующая система из l уравнений с k неизвестными не имеет в общем случае решений. Выходом из ситуации служит преобразование условий на моменты в оптимизационную задачу:

E[m(z, )] = 0 = arg min E[m(z, q)] W E[m(z, q)], q ll 1l lгде W – взвешивающая матрица, любая симметричная положительно определенная матрица.

Теперь можно построить оценку, которая гарантировано существует, используя принцип аналогий:

n n 1 = arg min m(zi, q) Wn m(zi, q).

q n n i=1 i=Это – оценка обобщенного метода моментов (ОММ). Здесь Wn – симметричная положительно определённая матрица, состоятельно оценивающая W :

p Wn W.

В типичных случаях Wn зависит от данных. Конечно же, зависит от выбора W и Wn.

Замечание. КММ есть частный случай ОММ при l = k. При этом выбор W и Wn не играет никакой роли.

Пример 1 (продолжение). Возьмём оба условия на моменты, тогда ОММ-оценка запишется так:

n n 1 1 n-1 n (zi - q) i= = arg min (zi - q) (zi - q)3 Wn q n n n-1 n (zi - q)i=i=1 i=Пример 2 (продолжение). Возьмём оба условия на моменты, тогда ОММ-оценка запишется так:

n n 1 1 n-1 n (xi - q) i= = arg min (xi - q) (yi - q) Wn q n n n-1 n (yi - q) i=i=1 i=3 Асимптотические свойства ОММ-оценок Как и ранее, важнейшим условием является условие идентификации: E[m(z, q)] = тогда и только тогда, когда q =. Обозначим m(z, ) Qm = E, q lk Qmm = E [m(z, )m(z, ) ].

ll При благоприятных условиях, p • ОММ-оценка состоятельна: ;

d • ОММ-оценка асимптотически нормальна: n( - ) N (0, V);

• Асимптотическая дисперсионная матрица ОММ-оценки равна V = (Q mW Qm)-1Q mW QmmW Qm(Q mW Qm)-1.

Выведем асимптотическое распределение, предположив состоятельность. Запишем условия первого порядка для :

n n 1 m(zi, ) 2 Wn m(zi, ) = 0, n q n i=1 i=а теперь разложим последний множитель в ряд Тэйлора вокруг до членов первого порядка:

n n n 1 1 1 m(zi, ) m(zi, ) = m(zi, ) + ( - ).

n n n q i=1 i=1 i=В итоге получаем:

-n n n n 1 m 1 m 1 m n( - ) = - Wn Wn m(zi, ) n q n q n q n i=1 i=1 i=1 i=d - (Q mW Qm)-1Q mW N (0, Qmm), n откуда непосредственно следует вид матрицы V.

В частном случае точной идентификации выбор взвешивающей матрицы, как популяционной W, так и выборочной Wn, не имеет никакого значения для оценки, в том числе и для её асимптотических свойств. Действительно, матрица Qm квадратная и её можно обратить:

V = (Q mW Qm)-1Q mW QmmW Qm(Q mW Qm)--1 -= Q-1 W Q -1Q mW QmmW QmQ-1 W Q -m m m m -1 -= Q-1 W W QmmW W Q -m m = Q-1 QmmQ -1.

m m 4 Эффективная оценка обобщённого метода моментов Теперь мы хотим выбрать W таким образом, чтобы была настолько асимптотически эффективна, насколько это возможно.

Результат. Оптимальный выбор взвешивающей матрицы W в смысле минимизации V есть Q-1, а минимально достижимое значение V при этом выборе равно mm (Q mQ-1 Qm)-1.

mm Интуиция. Мы взвешиваем функции на моменты обратно их стандартным отклонениям, выравнивая таким образом условия на моменты по степени доверия.

Доказательство. Покажем, что если взять разницу между асимптотическими мат-mm рицами ОММ-оценок VW и VQ, первая из которых соответствует произвольной взвешивающей матрице, а вторая – оптимальной, то в результате получится неотрицательно определенная матрица:

-mm VW - VQ = (Q mW Qm)-1Q mW (Qmm - Qm(Q mQ-1 Qm)-1Q m) mm ( ) W Qm(Q mW Qm)-1.

Эта матрица неотрицательно определена, если матрица ( ) неотрицательно определена. Определим вектор u следующим образом:

u = m(z, ) - Qm(Q mQ-1 Qm)-1Q mQ-1 m(z, ).

mm mm Легко убедиться, что матрица ( ) равна E[uu ], т.е. она неотрицательно определена.

Определение. ОММ-оценка, использующая оптимальное взвешивание W = Q-1, mm называется эффективной или оптимальной ОММ-оценкой.

Определение. Доступной эффективной ОММ-оценкой называется ОММ-оценка n n = arg min m(zi, q) Q-1 m(zi, q), mm q n i=1 i=p где Qmm Qmm, и Qmm симметрична и положительно определена.

Построим доступные эффективные ОММ-оценки для наших двух примеров.

Пример 1 (продолжение). Обозначим за µr = E[(z - )r] центрированный момент r-го порядка. Тогда -1 Qm = E = -, 3µ-3(z - q)q= (z - q)2 (z - q)4 µ2 µQmm = E =.

(z - q)4 (z - q)6 µ4 µq= Оценку для µr легко построить из принципа аналогий, как среднее по выборке от r-х степеней отклонения z от истинного параметра, для которого у нас есть предварительная оценка 1:

n µr = (zi - 1)r, n i=тогда 1 µ2 µQm = -, Qmm =, 3µµ4 µи -n n 1 1 µ2 µ4 n-1 n (zi - q) i= = arg min (zi - q) (zi - q)3.

n q n n µ4 µ6 n-1 i=1(zi - q)i=1 i=µ2 µОбратив, можно игнорировать положительный определитель, который на µ4 µмаксимизацию не влияет. Ищем V:

---1 µ2µ6 - µ(-1 - 3µ2) µ2 µV = =, µ6 - 6µ2µ4 + 9µµ4 µ6 -3µи для неё – состоятельную оценку:

µ2µ6 - µp V = V.

µ6 - 6µ2µ4 + 9µИнтересно убедиться в большей эффективности доступной ОММ-оценки по сравнению с 1. В последнем случае V = µ2. Итак, µ2µ6 - µµ2, µ6 - 6µ2µ4 + 9µ9µ4 - 6µ2µ4 + µ2 0, 2 2 (3µ2 - µ4)2 0.

Если µ4 = 3µ2, то вновь построенная оценка более асимптотически эффективна.

Если же µ4 = 3µ2 (например, в случае нормальности), то 1 и асимптотически эквивалентны.

Определение. Условие на моменты называется излишним при наличии других условий на моменты, если эффективные ОММ-оценки на основе всех условий и на основе только тех других условий асимптотически эквивалентны.

Понятно, что излишнее условие лучше опустить, при этом асимптотическая эффективность не ухудшается. При этом оценки получаются проще, что обычно благоприятно сказывается на свойствах оценок в конечных выборках. В последние годы эконометристы серьёзно заинтересовались понятием излишних условий на моменты, и, в частности, вопросом тестирования на излишество.

Пример 2 (продолжение).

1 x xy x xy Qm = -, Qmm =, Qmm =, xy y xy y где n x = (xi - 1)2, n i=n xy = (xi - 1)(yi - 2), n i=n y = (yi - 1)2.

n i=где 1 и 2 – предварительные оценки на основе подвыборок по x и по y соответственно. Доступная эффективная ОММ-оценка равна -n n 1 1 x xy n-1 n (xi - q) i= = arg min (xi - q) (yi - q).

n n n q xy y n-1 i=1(yi - q) i=1 i=Условие первого порядка:

- n-1 n (xi - ) x xy i=2(-1 - 1) = 0.

xy y n-1 n (yi - ) i=Выразить можно в явном виде благодаря тому, что условия на моменты линейны по параметру:

y - xy x - xy = 1 + 2.

2 2 2 x + y - 2xy x + y - 2xy Асимптотическая дисперсионная матрица равна --2 2 xy - xy (-1 - 1) x xy -V = =, 2 x + y - 2xy xy y -в то время как 2 V = x, V = y.

1 Второе условие излишнее при наличии первого тогда и только тогда, когда дисперсия x равна ковариации x и y: x = xy. Аналогично, первое условие излишнее при наличии второго тогда и только тогда, когда дисперсия y равна ковариации x и y:

x = xy.

В обоих примерах мы получили доступную ОММ-оценку за два шага. В конечных выборках могут быть неприятные последствия этой двухшаговости. То, что оба шага проводятся по одной и той же выборке, приводит к неточности асимптотического приближения.

Общий алгоритм двухшагового эффективного обобщённого метода моментов.

• Шаг 1: Взять предварительную состоятельную оценку 0 параметра (например, неэффективную ОММ-оценку с Wn = In). С помощью неё построить состоятельную оценку Qmm.

• Шаг 2: Вычислить эффективную ОММ-оценку, используя Wn = Q-1.

mm 5 Тест на сверхидентифицирующие ограничения Мы знаем, как строить эффективную ОММ-оценку, знаем, какие у нее асимптотические свойства, знаем, как выглядит асимптотическая дисперсия и как ее состоятельно оценивать. Всё готово для проведения обычной инференции, в частности, для тестирования обычных гипотез – ограничений на параметры. Оказывается, что благодаря особому типу задачи, а точнее, благодаря сверхидентифицирующей информации, имеется ещё возможность проверить верность модели в целом, то есть произвести тест на спецификацию. Следующее, что мы рассмотрим – это тест на сверхидентифицирующие ограничения.

Ранее в основном мы имели дело с точно идентифицированными задачами, где информации в постановке было ровно столько, сколько нужно для оценивания параметров, и она использовалась без остатка (иногда, правда, мы сами её ограничивали, как в регрессии среднего, используя нескоррелированность ошибки только с одной из функций от регрессоров). Теперь же из-за наличия сверхидентифицирующих ограничений количество идентифицирующей информации строго больше, чем достаточно для оценивания, и излишек мы можем использовать для тестирования самосовместимости модели, то есть условий на моменты.

Итак, нулевая гипотеза выглядит как H0 : E[m(z, )] = 0, а альтернативная – как HA : : E[m(z, )] = 0.

Результат. Пусть – эффективная ОММ-оценка параметра на основе условий на моменты E[m(z, )] = 0. Тогда J-статистика n n 1 J = n m(zi, ) Q-1 m(zi, ) mm n n i=1 i=асимптотически распределена как 2.

l-k Доказательство. Рассмотрим вектор n - v = Qmm m(zi, ).

n i=A A Тогда J = v v, где = означает асимптотическую эквивалентность. Разложим этот вектор в ряд Тэйлора вокруг истинного параметра :

n n - 1 1 m(zi, ) v = Qmm m(zi, ) + n( - ).

n n q i=1 i=Но n d m(zi, ) N (0, Qmm), n i=n 1 m(zi, ) p Qm.

n q i=Из нашего вывода асимптотического распределения ОММ-оценок следует, что n A n( - ) = -(Q mQ-1 Qm)-1Q mQ-1 m(zi, ).

mm mm n i=Таким образом, n A v = Qmm(Il - Qm(Q mQ-1 Qm)-1Q mQ-1 ) m(zi, ) mm mm n i=1 d - 2 N (0, Il - Q Qm(Q mQ-1 Qm)-1Q mQ ).

mm mm mm Дисперсионная матрица этого асимптотического распределения является симметричной идемпотентной матрицей1 ранга l - k, поэтому результат следует.

Разберем в этом свете пример 2, который касается оценки общего среднего выборок x1,..., xn и y1,..., yn.

Пример 2 (продолжение). Ранее было получено, что = x + (1 - )y, где y - xy =.

2 x + y - 2xy Строим -n n n-1 n xi - 1 1 x xy i=J = n xi - yi - = n n xy y n-1 n yi - i=i=1 i=n(x - y)2 d = 2.

2 x + y - 2xy Видим, что J базируется на разнице между x и y, что логично, так как у нас нулевой гипотезой является равенство математических ожиданий x и y. Этот тест можно получить и без ОММ-теории, просто эвристически. Действительно, H0 : E[x - y] = 0.

Согласно принципу аналогий, при нулевой гипотезе n 1 n(x - y) p d (xi - yi) 0, t = N (0, 1).

n 2 i=1 x + y - 2xy Получили тест, эквивалентный J-тесту.

Напоминание: матрица M называется симметричной и идемпотентной, если M = M и M2 = M. Матрица I - M в этом случае, очевидно, тоже симметрична и идемпотентна. Результат: если вектор распределён нормально с такой дисперсионной матрицей, то квадрат его Евклидовой нормы распределён по 2 с количеством степеней свободы, равным рангу дисперсионной матрицы.

При ОММ-оценивании моделей со сверхидентифицирующими ограничениями Jтест нужно обязательно провести и желательно получить в нем положительный результат, то есть показать, что построенная модель совместна.

Техника проверки гипотезы стандартна: если J q1-, данные не противоречат спецификации модели, если же J > q1-, то спецификация модели бракуется. В последнем случае остаётся неясным источник неверной спецификации. Отрицательный результат теста говорит только о том, что не все в порядке с какими-то условиями на моменты, но о том, с какими именно, ничего не говорит.

6 Инструментальные переменные и ОММ Всё, что мы узнали про ОММ к настоящему моменту – это чисто статистическая теория, поскольку эконометрические модели мы не рассматривали; наши два примера также были чисто статистическими. Теперь же появляется привычная эконометрическая модель – линейное уравнение с инструментальными переменными, к которому мы и применим ОММ-теорию.

y = x + e, E[e| z ] = 0, l k.

lkОбъясняющие переменные в x потенциально эндогенные. Имеются экзогенные инструменты z, которых l штук.

Мы уже рассматривали такую модель. В случае точной идентификации (l = k) мы получали простую оценку инструментальных переменных. В случае сверхидентификации мы из каких-то проекционных соображений строили оценку двухшагового (двухступенчатого) метода наименьших квадратов (2ШМНК). С помощью ОММтеории мы можем показать, что обе эти оценки – это ОММ-оценки, и, кроме того, можно создать и другие экземпляры, превосходящие их в асимптотической эффективности. Продолжим описание модели:

• Условие нескоррелированности ошибок и инструментов, которое следует из посылки об экзогенности инструментов, называется валидностью последних:

E[ze] = 0.

• Условие скоррелированности инструментов и регрессоров называется релевантностью инструментов:

Qxz = E[xz ] – матрица полного ранга k.

kl • Условие линейной неповторяемости инструментов:

Qzz = E[zz ] – невырожденная матрица.

ll При точной идентификации (l = k) ОММ вырождается в классический метод моментов (КММ):

-n n IV = zix i ziyi.

Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 7 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.