WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 7 |
ЭКОНОМЕТРИКА ДЛЯ ПОДГОТОВЛЕННЫХ Курс лекций Станислав Анатольев Российская Экономическая Школа КЛ/2003/008 Москва 2003 © Анатольев Станислав Анатольевич, 2003 г.

© Российская Экономическая Школа, 2003 г.

Содержание 1 Описание курса................................ 4 2 Рекомендуемая литература.......................... 4 I Экстремальное оценивание и экстремальные оценки 5 II Метод максимального правдоподобия 7 1 Оценка максимального правдоподобия и её мотивация.......... 7 2 Асимптотические свойства оценок максимального правдоподобия... 9 3 Когда теория максимального правдоподобия не работает........ 10 4 Асимптотическая эффективность ММП-оценок.............. 12 5 Условный метод максимального правдоподобия.............. 14 6 Тестирование в контексте метода максимального правдоподобия.... 17 7 ММП-оценивание в моделях временных рядов............... 20 III Обобщённый метод моментов 22 1 Условия на моменты.............................. 22 2 Оценка обобщённого метода моментов................... 22 3 Асимптотические свойства ОММ-оценок.................. 24 4 Эффективная оценка обобщённого метода моментов........... 25 5 Тест на сверхидентифицирующие ограничения.............. 28 6 Инструментальные переменные и ОММ.................. 31 7 ОММ как оптимальное инструментальное оценивание.......... 33 8 МНК, ОМНК и ММП как ОММ-оценивание................ 35 9 ОММ и модели с рациональными ожиданиями.............. 36 10 Бутстрапирование ОММ-оценок....................... 40 11 Поведение ОММ-оценок в конечных выборках............... 41 12 Тест Хаусмана на спецификацию модели.................. 42 IV Анализ панельных данных 1 Некоторые полезные факты......................... 2 Структура панельных данных........................ 3 Однонаправленная МСО с фиксированными эффектами......... 4 Двунаправленная МСО с фиксированными эффектами......... 5 Однонаправленная МСО со случайными эффектами........... 6 Фиксированные или случайные эффекты................. 7 Динамическая панельная регрессия..................... Введение 1 Описание курса Настоящие лекции – продолжение курса Эконометрика для продолжающих. Здесь мы будем заниматься в основном нелинейными моделями, а также панельными структурами. Будет преобладать анализ оценок в неявной форме, являющихся решениями определённых оптимизационных задач. Естественно, анализ таких оценок сложнее, чем тех, которые задаются в явной форме. Нас по-прежнему будут интересовать асимптотические свойства, также иногда мы будем обращаться к бутстраповскому подходу. Заключительная часть курса посвящена анализу панельных данных, когда протяжённость данных двоякая, это и кросс-секции, и временные ряды. Вновь акцент делается скорее на концептуальную составляющую, нежели на математическую сложность, хотя последняя нередко неизбежна. Домашние задания по курсу содержат как теоретические задачи, так и практические задания, подразумевающие использование пакета GAUSS. Задания служат важной компонентой обучающего процесса, в которой часто будут встречаться теоретические и эмпирические примеры.

Выражаю благодарность Людмиле Солнцевой за техническую помощь. Дарья Нехороших осуществила подготовку черновой версии конспектов. Георгий Карташов исправил множество опечаток. Материал подготовлен в рамках проекта Совершенствование преподавания социально-экономического образования в ВУЗах, финансируемого Всемирным Банком и реализуемого Национальным Фондом Подготовки Кадров (НФПК).

2 Рекомендуемая литература 1. Anatolyev, Stanislav Intermediate and Advanced Econometrics: Problems and Solutions, Lecture Notes series, New Economic School, 2. Hayashi, Fumio Econometrics, Princeton University Press, 3. Goldberger, Arthur A Course in Econometrics, Harvard University Press, 4. Greene, William Econometric Analysis, Prentice Hall, 4th edition, 5. Hamilton, James Time Series Analysis, Princeton University Press, 6. Baltagi, Badi Econometric Analysis of Panel Data, John Wiley & Sons, 1995, 7. Newey, Whitney and McFadden, Daniel Large sample estimation and hypothesis testing, in: Handbook of Econometrics, volume 4, Elsevier Science, I Экстремальное оценивание и экстремальные оценки Экстремальное оценивание – это в каком-то смысле обобщение знакомого нам нелинейного метода наименьших квадратов (НМНК). НМНК – это один из важнейших частных случаев; другим является метод максимального правдоподобия (ММП).

Сначала мы рассмотрим общую теорию, а затем – эти два важных частных случая.

Рассмотрим следующую постановку:

= arg max E[h(z, q)], q где – истинное значение параметра q, вектора размерности k 1, – множество допустимых значений параметра, h – известная функция, а z – представитель наблюдаемых данных.

Почему такая постановка интересна Некоторые оценки действительно строятся на основе подобных соотношений. Например, мы нашли такое соотношение ранее, когда речь шла о нелинейном методе наименьших квадратов. А именно, если y = g(x, ) + e, E[e|x] = 0, то определив z = (x, y), q = b, =, = R и h(z, q) = -(y - g(x, b))2, мы имеем данную постановку.

Применим принцип аналогий (напоминание: если имеется какое-то популяционное соотношение, идентифицируюшее истинный параметр, то, создав аналогичное соотношение для выборки, можно получить оценку для этого параметра). Пусть имеется случайная выборка z1,..., zn. Применение принципа аналогий дает оценку n = arg max h(zi, q).

q n i=Множитель 1/n можно удалить, т.к. он не влияет на максимизацию. Полученная оценка и называется экстремальной оценкой параметра. Название экстремальная происходит от того факта, что оценка решает задачу на экстремум.

Нас интересуют асимптотические свойства экстремальных оценок. Увы, мечтать о благоприятных свойствах в конечных выборках не приходится из-за нелинейности h. Ожидаемые асимптотические свойства, как обычно, – это состоятельность и асимптотическая нормальность. Действительно, при благоприятных условиях, p •, т.е. оценка состоятельна;

d • n( - ) N (0, V), т.е. оценка асимптотически нормальна;

• Её асимптотическая дисперсионная матрица, как обычно, имеет сэндвичную структуру V = (E[h])-1E[hh](E[h])-1, h(z, ) 2h(z, ) где h = – вектор размерности k 1, а h = – матрица q q q размерности k k.

В частном случае НМНК, n = arg max - (yi - g(xi, b))2.

bR i=Если избавиться от “-” и max поменять на min, получится знакомая НМНК-оценка.

Далее, h = (-(y - g(x, b))2|b= = 2(y - g(x, ))g(x, ), b где y-g(x, ) – регрессионная ошибка, а g(x, ) – квазирегрессор. Матрица, стоящая в середине V, равна E[hh ] = 4E[e2gg]. Для вычисления боковых матриц нам необходимо 2g(x, ) h = [2(y - g(x, b)gb(x, b))]b= = -2g(x, )g(x, ) + 2(y - g(x, )).

b b b Возьмём математическое ожидание и учтём, что E[e|x] = 0, тогда V = (E[gg])-1E[gge2](E[gg])-1.

Здесь E[gg] – аналог Qxx для линейной модели, а E[gge2] – аналог Qe xx.

Вернёмся к общему случаю. Выпишем уcловия первого порядка и линеаризуем их, т.е. разложим в ряд Тэйлора вокруг истинного :

n n n 1 h(zi, ) 1 h(zi, ) 1 2h(zi, ) 0 = = + n( - ), n q n q n q q i=1 i=1 i=где лежит покомпонентно между и. Тогда -n n 1 2h(zi, ) 1 h(zi, ) n( - ) = -.

n q q n q i=1 i=Далее, при наличии РЗБЧ, ЦПТ и состоятельности, имеем n n 1 2h(zi, ) 1 h(zi, ) p d E[h], N (0, E[hh ]).

n q q n q i=1 i=Подставив эти соотношения в предыдущее равенство, получим искомый вид дисперсионной матрицы V.

Что же такое благоприятные условия Если строго подходить к этому вопросу, то это список условий, большинство из которых – технические, которые обеспечивают выполнение теорем, которые мы постоянно используем (ЗБЧ, РЗБЧ, существование различных моментов, гладкость h по параметру). Но для нас более интересны следующие идеологические условия:

1. Условие идентификации. Это главное идеологическое условие, связанное с единственностью решения задачи на экстремум. Его смысл в том, что нет других значений параметра, также максимизирующих целевую функцию, вообще (глобальная идентификация) или в окрестности истинного параметра (локальная идентификация).

• Условие локальной идентификации выполнено, когда матрица ожиданий вторых производных E[h] имеет полный ранг;

• Условие глобальной идентификации выполнено, если решение популяционной задачи на экстремум единственно.

2. Множество компактно. Нам больше важна ограниченность, т.к. неограниченность может привести к несуществованию максимума целевой функции в ряде случаев. Например, она может оказаться возрастающей до бесконечности.

Вопрос о том, почему необходима замкнутость, пока отложим.

3. Истинное находится не на границе. Если окажется на границе, вряд ли возможна асимптотическая нормальность оценки вокруг истинного параметра, ибо нормальность подразумевает возможность находиться как справа, так и слева от него.

Наряду с НМНК, важным частным случаем экстремального оценивания является метод максимального правдоподобия (ММП).

II Метод максимального правдоподобия 1 Оценка максимального правдоподобия и её мотивация Постановка задачи. Пусть известно распределение данных с точностью до конечномерного параметра размерности k 1: z f(z|), где f(z|) – плотность (для дискретных распределений – вероятности). Оценка максимального правдоподобия определяется как = arg max L(z1,..., zn, q), q где L(z1,..., zn, ) – функция правдоподобия, совместная плотность (в дискретном случае – совместная вероятностная масса) наблюдений.

В случае, когда выборка z1,..., zn случайная, L(z1,..., zn, q) распадается на произведение плотностей:

n n = arg max f(zi|q) = arg max log f(zi|q), q q n i=1 i=n где log f(zi|q) = l(z1,..., zn, q) – логарифмическая функция правдоподобия.

i=Для состоятельного оценивания необходимо, чтобы оцениваемый параметр решал аналогичную задачу в популяции:

= arg max E[log f(z|q)].

q Убедимся, что это имеет место.

Лемма (Информационное неравенство). Предположим, что f(z|q) = f(z|) с вероятностью 1 q =. Тогда E[log f(z|q)] максимизируется единственным образом в истинном параметре.

Доказательство. Воспользуемся неравенствои Йенсена: если g(x) строго выпукла вверх, то E[g(X)] < g(E[X]), где X – случайная величина, не являющаяся константой. Пусть q – произвольное значение параметра, а – его истинное значение, и рассмотрим следующую разность:

f(z|q) f(z|q) E[log f(z|q)] - E[log f(z|)] = E log < log E = f(z|) f(z|) f(z|q) = log f(z|) dz = log 1 = 0.

f(z|) Определение. Скор-функцией называется log f(z|q) s(z, q).

q Лемма (Нулевое ожидаемое скор). Математическое ожидание скор-функции в истинном параметре равно 0:

E[s(z, )] = 0.

Доказательство. Достаточно рассмотреть условие первого порядка для популяционной задачи = arg max E[log f(z|q)].

q Идея Голдбергера: мы можем применить принцип аналогий к правилу нулевого ожидаемого скор. Тогда у нас будет k уравнений для оценок k параметров n s(zi, ZES) = 0.

n i=Очевидно, оценка ZES совпадает с ММП-оценкой, но, в отличие от последней, может не определяться единственным образом, даже если условие идентификации выполнено (упражнение: почему).

Следующая лемма является ключевой в вопросе асимптотической эффективности оценок максимального правдоподобия.

Лемма (Информационное равенство). Введём понятие информационной матрицы:

s(z, q) I(q) -E.

q Тогда I() = E[s(z, )s(z, ) ].

Доказательство. Рассмотрим тождество 1 = f(z|q) dz q.

Здесь f(z|q) – любая плотность, необязательно истинная. Дифференцируем по q:

f(z|q) log f(z|q) 0 = dz = f(z|q) dz.

q q Дифференцируем ещё раз по q :

2 log f(z|q) log f(z|q) log f(z|q) 0 = f(z|q) dz + f(z|q) dz.

q q q q Оценим в q = :

s(z, ) 0 = E + E[s(z, ) s(z, ) ].

q 2 Асимптотические свойства оценок максимального правдоподобия При благоприятных условиях, p • ММП-оценка состоятельна: ;

d • ММП-оценка асимптотически нормальна: n( - ) N (0, V);

• Асимптотическая дисперсионная матрица ММП-оценки равна V = (E[h])-1E[hh](E[h])-1 = (-I())-1I()(-I())-1 = (I())-1.

То, что сэндвич сократился, является показателем эффективности, что мы позже рассмотрим подробнее.

Итак, у нас есть два способа оценивания асимптотической диперсионной матрицы:

-n 1 s(zi, ) V(1) = -, n q i=если пользоваться определением, и -n V(2) = s(zi, ) s(zi, ), n i=если пользоваться леммой об информационном равенстве. Обе оценки состоятельны, если выполнены все необходимые условия. Вторая оценка проще, ибо не нужно считать вторые производные. Нет даже проблем с положительной определенностью, т.к. вторая оценка положительно определена по построению, а в первой положительную определенность гарантируют условия второго порядка (при оптимизации мы получаем, что матрица вторых производных отрицательно определена в ). Можно построить еще одну оценку:

-1 -n n n 1 s(zi, ) 1 1 s(zi, ) V(3) = s(zi, ) s(zi, ).

n q n n q i=1 i=1 i=Эта оценка более робастна к невыполнению некоторых условий. Например, бывают невинные ошибки спецификации плотности, при которых состоятельность ММПоценок сохраняется. В такой ситуации полезно строить более робастную оценку асимптотической диперсионной матрицы, ибо только она одна из трёх оказывается состоятельной.

3 Когда теория максимального правдоподобия не работает Обсудим случаи нарушения некоторых предположений, которые мы неявно использовали, но явно о них не говорили.

1. Носитель случайной величины z не должен зависеть от значения параметра.

Мы использовали это предположение, когда меняли порядок дифференцирования и интегрирования.

Контрпример. Пусть z U[0, ], т.е.

0, z < 0, f(z|) = 1/, 0 z <, 0, z, гле – истинный параметр, а z1,..., zn – выборка. Рассмотрим n n L(z1,...zn, q) = 1[0 zi < q] max.

0 q q i=Тогда = max{z1,..., zn}. Найдём кумулятивную функцию распределения для этой оценки и посмотрим, куда она сходится.

F(t) = P r{z1 t,..., zn t} = (Fz(t))n = 0, t < 0, t < = (t/)n, 0 t < 1, t 1, t d p Следовательно,, а так как пределом является константа, то и, т.е.

состоятельность имеется. А вот асимптотической нормальности нет:

t Fn(-)(t) = P r{n( - ) t} = P r + = F ( + t/n) = n 0, + t/n < et/, t < = (1 + t/n)n, 0 + t/n < 1, t 1, + t/n d Итак, n(-) -Exp(1/). Следовательно, ММП-оценка асимптотически экспоненциально распределена, а скорость сходимости получилась больше обычной (оценка сверхсостоятельна).

Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 7 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.