WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 6 | 7 || 9 | 10 |

Преимущество данной модели по сравнению с методами отклонений от трендов и последовательных разностей в том, что она позволяет учесть всю информацию, содержащуюся в исходных данных, поскольку значения уt и хt есть уровни исходных временных рядов. Кроме того, модель строится по всей совокупности данных за рассматриваемый период в отличие от метода последовательных разностей, который приводит к потере числа наблюдений. Параметры а и b модели с включением фактора времени определяются обычным МНК.

Интерпретация параметров уравнения регрессии:

– параметр b1 показывает, насколько в среднем изменится значение результативного признака уt при увеличении фактора xt на единицу при неизменной величине других факторов.

– параметр b2 показывает, насколько в среднем за год изменится значение результативного признака уt за счет воздействия всех факторов, кроме фактора xt.

4.3. Автокорреляция в остатках. Критерий Дарбина–Уотсона Рассмотрим уравнение регрессии вида k t = a + x +, (4.3) b j jt t j где k – число независимых переменных модели.

Для каждого момента (периода) времени t = 1,..., n значение компоненты t определяется из соотношения k = yt - t = yt - (a + x ). (4.4) b t j jt j Рассматривая последовательность остатков как временной ряд, можно построить график их зависимости от времени. В соответствии с предпосылками МНК остатки t должны быть случайными. Однако при моделировании временных рядов нередко встречается ситуация, когда остатки содержат тенденцию или циклические колебания. Что свидетельствует о том, что каждое следующее значение остатков зависит от предшествующих. В этом случае говорят о наличии автокорреляции остатков.

Автокорреляция остатков может быть вызвана несколькими причинами, имеющими различную природу:

1) наличие ошибок измерения в значениях результативного признака;

2) модель может не включать фактор, окапывающий существенное воздействие на результат, влияние которого отражается в остатках, вследствие чего последние могут оказаться автокоррелированными. Очень часто этим фактором является фактор времени t. Кроме того, в качестве таких существенных факторов могут выступать лаговые значения переменных, включенных в модель;

3) модель не учитывает несколько второстепенных факторов, совместное влияние которых на результат существенно ввиду совпадения тенденций их изменения или фаз циклических колебаний;

4) неправильная спецификация функциональной формы модели. В этом случае следует изменить форму связи факторных и результативного признаков, а не использовать специальные методы расчета параметров уравнения регрессии при наличии автокорреляции остатков.

Существуют два наиболее распространенных метода определения автокорреляции остатков.

Первый метод — это построение графика зависимости остатков от времени и визуальное определение наличия или отсутствия автокорреляции.

Второй метод – использование критерия Дарбина — Уотсона и расчет величины n ( - t-1)t i=d =. (4.5) n t i= Согласно (4.5) величина d есть отношение суммы квадратов разностей последовательных значений остатков к остаточной сумме квадратов по модели регрессии. Практически во всех статистических ППП значение критерия Дарбина – Уотсона указывается наряду с коэффициентом детерминации, значениями t- и F-критериев.

Коэффициент автокорреляции остатков первого порядка определяется как n ( t - 1)( t -1 - 2 ) i=r1 =, (4.6) n n ( t - 1)2 i=2 t-1 - 2 )( i=где n n t t-i=2 i=1 = ; =.

n - 1 n - Между критерием Дарбина–Уотсона и коэффициентом автокорреляции остатков первого порядка имеет место следующее соотношение:

d 2 (1- r1 ).

Таким образом, если в остатках существует полная положительная автокорреляция и r1 = 1, то d = 0. Если в остатках полная отрицательная автокорреляция, то r1 = – 1 и, следовательно, d = 4. Если автокорреляция остатков отсутствует, то r1 = 0 и d = 2. Следовательно, 0 d 4.

Алгоритм выявления автокорреляции остатков на основе критерия Дарбина–Уотсона следующий. Выдвигается гипотеза Н0 об отсутствии автокорреляции остатков. Альтернативные гипотезы Н1 и Н1* состоят, соответственно, в наличии положительной или отрицательной автокорреляции в остатках. Далее по специальным таблицам (см. приложение) определяются критические значения критерия Дарбина–Уотсона dL и dU для заданного числа наблюдений n, числа независимых переменных модели k и уровня значимости. По этим значениям числовой промежуток [0;4] разбивают на пять отрезков. Принятие или отклонение каждой из гипотез с вероятностью (1–) рассматривается на рис. 4.1.

Есть Зона Нет Зона Есть положительная неопреде- оснований неопреде- отрицательная ленности ленности автокорреляция отклонять H0 автокорреляция остатков. (автокорреля- остатков.

ция H0 отклоняется. H0 отклоняется.

остатков от- С вероятностью С вероятностью сутствует) Р = (1–) Р = (1-) принимается принимается H1. H1* 0 dL dU 2 4-dU 4-dL Рис. 4.1. Механизм проверки гипотезы о наличии автокорреляции остатков Если фактическое значение критерия Дарбина – Уотсона попадает в зону неопределенности, то на практике предполагают существование автокорреляции остатков и отклоняют гипотезу H0.

Пример 4.1. Проверка гипотезы о наличии автокорреляции в остатках.

Исходные данные, значения t и результаты промежуточных расчетов представлены в табл. 4.1.

Таблица 4.1.

Расчет критерия Дарбина–Уотсона для модели зависимости потребления от дохода t yt xt t t = yt – t t – t-1 (t - t-1)2 t 1 - - - - - - - 2 1 2 1,54 -0,54 - - 0,3 0 2 1,54 -0,54 - - 0,4 2 1 1,11 0,89 1,14 1,2996 0,5 1 2 1,54 -0,54 -1,43 2,0449 0,6 1 1 1,11 -0,11 0,43 0,1849 0,7 2 2 1,54 0,46 0,57 0,3249 0,8 2 3 1,97 0,03 -0,43 0,1849 0,Сумма 9 10 9,06 -0,06* 0,57 4,1233 1,*Сумма не равна нулю ввиду наличия ошибок округления.

Фактическое значение критерия Дарбина–Уотсона для этой модели составляет d = 4,1233/1,6624 = 2,48. Сформулируем гипотезы:

Н0 – в остатках нет автокорреляции;

Н1 – в остатках есть положительная автокорреляция;

Н1* – в остатках есть отрицательная автокорреляция.

Зададим уровень значимости = 0,05. По таблицам значений критерия Дарбина–Уотсона определим для числа наблюдений n = 7 и числа независимых переменных модели k' = 1 критические значения dL = 0,700 и dU = 1,356. Получим следующие промежутки внутри интервала [0;4] (рис. 4.2):

Рис. 4.2. Промежутки внутри интервала [0; 4] Фактическое значение d = 2,48 попадает в промежуток от dU до 4 – dU. Следовательно, нет оснований отклонять гипотезу H0 об отсутствии автокорреляции в остатках.

Есть несколько существенных ограничений на применение критерия Дарбина–Уотсона.

Во-первых, он неприменим к моделям, включающим в качестве независимых переменных лаговые значения результативного признака, т. е. к моделям авторегрессии.

Во-вторых, методика расчета и использования критерия Дарбина – Уотсона направлена только на выявление автокорреляции остатков первого порядка. При проверке остатков на автокорреляцию более высоких порядков следует применять другие методы, рассмотрение которых выходит за рамки данного учебника.

В-третьих, критерий Дарбина–Уотсона дает достоверные результаты только для больших выборок.

4.4. 0ценивание параметров уравнения регрессии при наличии автокорреляции в остатках Обратимся к уравнению регрессии yt = a + b xt +. (4.7) t Примем некоторые допущения относительно этого уравнения:

• пусть уt и хt не содержат тенденции, например, представляют собой отклонения выравненных по трендам значений от исходных уровней временных рядов;

• пусть оценки а и b параметров уравнения регрессии найдены обычным МНК;

• пусть критерий Дарбина – Уотсона показал наличие автокорреляции в остатках первого порядка.

Основной подход к оценке параметров модели регрессии в случае, когда имеет место автокорреляция остатков, заключается в следующем: исходная модель регрессии (6.1) с помощью замены переменных приводится к виду yt = a + b xt + ut, (4.8) где yt = yt - r1 yt-1; xt = xt - r1 xt -1;

(4.9) ut = - r1 ; a = a(1 - r1 ).

t t -Здесь r1 – коэффициент автокорреляции первого порядка.

Поскольку ut, – случайная ошибка, то для оценки параметров преобразованного уравнения можно применять обычный МНК.

Итак, если остатки по исходному уравнению регрессии содержат автокорреляцию, то для оценки параметров уравнения используют обобщенный МНК.

Его реализация разбивается на следующие этапы:

1. Перейти от исходных переменных уt и хt к переменным у’t и х’t по формулам (4.9).

2. Применив обычный МНК к уравнению (4.8), определить оценки параметров а’ и b.

3. Рассчитать параметр а исходного уравнения из соотношения (4.9) как a = a /(1 - r1 ). (4.10) 4. Выписать исходное уравнение (4.7).

Обобщенный метод наименьших квадратов аналогичен методу последовательных разностей. Однако мы вычитаем из уt (или xt) не все значение преды дущего уровня уt-1 (или xt-1), а некоторую его долю r1· уt-1 (или r1· xt-1). Если r1 = 1, то данный метод есть просто метод первых разностей, так как yt' = yt - yt-1;

xt' = xt - xt-1.

Поэтому в случае, если значение критерия Дарбина – Уотсона близко к нулю, применение метода первых разностей вполне обоснованно.

Основная проблема, связанная с применением данного метода, заключается в том, как получить оценку r1. Основными способами являются оценка этого коэффициента непосредственно по остаткам, полученным по исходному уравнению регрессии, и получение его приближенного значения из соотношения между коэффициентом автокорреляции остатков первого порядка и критерием Дарбина–Уотсона r1 = 1 – d/2.

4.5. Динамические эконометрические модели Эконометрическая модель называется динамической, если в данный момент времени t она учитывает значения входящих в нее переменных, относящиеся как к текущему, так и к предыдущим моментам времени.

При исследовании экономических процессов нередко приходится моделировать ситуации, когда значение результативного признака в текущий момент времени t формируется под воздействием ряда факторов, действовавших в прошлые моменты времени t – 1, t – 2,..., t – l. Например, на выручку от реализации или прибыль компании текущего периода могут оказывать влияние расходы на рекламу или проведение маркетинговых исследований, сделанные компанией в предшествующие моменты времени.

Величину l, характеризующую запаздывание в воздействии фактора на результат, называют в эконометрике лагом, а временные ряды самих факторных переменных, сдвинутые на один или более моментов времени, – лаговыми переменными.

Эконометрическое моделирование охарактеризованных выше процессов осуществляется с применением моделей, содержащих не только текущие, но и лаговые значения факторных переменных. Эти модели называются моделями с распределенным лагом. Модель вида yt = a + b0 xt + b1 xt-1 + b2 xt-2 + (4.11) t является примером модели с распределенным лагом.

Решение ряда задач макроэкономики требует ответа на вопрос – какое воздействие окажут значения управляемых переменных текущего периода на будущие значения экономических показателей. Например, как повлияют инвестиции в промышленность на валовую добавленную стоимость этой отрасли экономики будущих периодов Т. е. исследуются ситуации, когда на величину зависимой переменной текущего периода могут оказывать влияние ее значения в прошлые моменты или периоды времени. Эти процессы обычно описывают с помощью моделей регрессии, содержащих в качестве факторов лаговые значе ния зависимой переменной, которые называются моделями авторегрессии.

Модель вида yt = a + b0 xt + c1 yt-1 + (4.12) t относится к моделям авторегрессии.

Таким образом, выделяют два основных типа динамических эконометрических моделей:

– модели авторегрессии;

– модели с распределенным лагом, в которых значения факторной переменной за прошлые периоды времени (лаговые переменные) непосредственно включены в модель.

Построение моделей с распределенным лагом и моделей авторегрессии имеет свою специфику. Во-первых, оценка параметров моделей авторегрессии, а в большинстве случаев и моделей с распределенным лагом не может быть произведена с помощью обычного МНК ввиду нарушения его предпосылок и требует специальных статистических методов. Во-вторых, исследователям приходится решать проблемы выбора оптимальной величины лага и определения его структуры. Наконец, в-третьих, между моделями с распределенным лагом и моделями авторегрессии существует определенная взаимосвязь, и в некоторых случаях необходимо осуществлять переход от одного типа моделей к другому.

4.6. Интерпретация параметров моделей с распределенным лагом Рассмотрим модель с распределенным лагом в ее общем виде в предположении, что максимальная величина лага конечна и равна p yt = a + b0 xt + b1 xt-1 +... + bp xt - p +. (4.13) t Эта модель говорит о том, что если в некоторый момент времени t происходит изменение независимой переменной х, то это изменение будет влиять на значения переменной у в течение t следующих моментов времени.

Коэффициент регрессии b0 при переменной xt характеризует среднее абсолютное изменение yt при изменении xt на одну единицу своего измерения в некоторый фиксированный момент времени t, без учета воздействия лаговых значений фактора х. Этот коэффициент называют краткосрочным мультипликатором.

В момент (t + 1) совокупное воздействие факторной переменной xt на результат yt составит (b0 + b1) усл. ед., в момент (t + 2) это воздействие можно охарактеризовать суммой (b0 + b1 + b2) и т. д. Полученные таким образом суммы называют промежуточными мультипликаторами.

С учетом конечной величины лага можно сказать, что изменение переменной xt в момент t на 1 усл. ед. приведет к общему изменению результата через l моментов времени на (b0 + b1 +...+ bl) абсолютных единиц.

Введем следующее обозначение:

b = b0 + b1 +...+ bl. (4.14) Величину b называют долгосрочным мультипликатором. Он показывает абсолютное изменение в долгосрочном периоде t + l результата под влиянием изменения на 1 ед. фактора х.

Применение обычного МНК к таким моделям в большинстве случаев затруднительно по следующим причинам.

Во-первых, текущие и лаговые значения независимой переменной, как правило, тесно связаны друг с другом. Тем самым оценка параметров модели проводится в условиях высокой мультиколлинеарности факторов.

Во-вторых, при большой величине лага снижается число наблюдений, по которому строится модель, и увеличивается число ее факторных признаков.

Это ведет к потере числа степеней свободы в модели.

Pages:     | 1 |   ...   | 6 | 7 || 9 | 10 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.