WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 7 | 8 || 10 | 11 |   ...   | 35 |

t t t t При выполнении этих предположений обычные t-статистики и статистики qF (где q –количество линейных ограничений на коэффициенты, а F – обычная Fстатистика критерия для проверки выполнения этих ограничений) имеют асимптотические N(0, 1) и 2(q) распределения. Можно использовать стандартную технику регрессионного анализа, имея в виду ее асимптотическую обоснованность.

Если не ограничиваться процессами авторегрессии, но оставаться в классе стационарных моделей, то и в этом случае все еще можно надеяться на возможность использования стандартной техники регрессионного анализа, опять имея в виду ее асимптотическую обоснованность.

Рассмотрим линейную модель y = X +, X = Xn, или, в эквивалентной форме, yt = xtT + t, t = 1, 2, …, n, где xt = (xt1, xt2, …, xtp)T – вектор значений p объясняющих переменных в t-м наблюдении, и пусть n – оценка наименьших квадратов вектора коэффициентов = ( 1, 2, …, p)T, полученная по n наблюдениям. Известно (см., например, [Green (1997)]), что следующие три условия обеспечивают состоятельность и асимптотическую нормальность n при n :

n plim t = xt • n t = [в эквивалентной форме: plim (n – 1 XnT ) = 0];

n T plim xt = Q xt • n t = T [в эквивалентной форме: plim(n-1X X )= Q ], где Q – положительно n определенная матрица;

n t N(0, Q) xt • n t = [в эквивалентной форме: (n – 1/2 XnT ) N(0, 2Q)].

(Здесь plim – предел по вероятности; стрелка в последнем условии обозначает сходимость по распределению.) Если эти условия выполнены, то при n, как и в ситуации D, n (n - ) N(0, 2Q – 1 ).

В работе [Mann, Wald (1943)] авторы показали следующее (теорема МаннаВальда). Если www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru n T plim xt = Q xt • n t = [в эквивалентной форме: plim (n– 1 XnT X ) = Q], где Q – положительно определенная матрица, m • ~ i.i.d., E( ) = 0, D( ) = 2 > 0, E < для всех m = 1, 2, …, t t t t • E(xt ) = 0, t = 1, 2, …, n, t то тогда выполнены также первое и третье условия из предыдущей тройки условий, обеспечивающих состоятельность и асимптотическую нормальность n при n.

Заметим, что условие E(xt ) = 0, t = 1, 2, …, n, в сочетании с E( ) = 0, означает, t t что Cov(xt k, ) = 0 для k = 1, 2, …, p, t т.е. означает некоррелированность значений объясняющих переменных с t в m совпадающие моменты времени. Условие E < для всех m = 1, 2, …, t выполняется, в частности, для нормального распределения.

t Цитированные результаты можно объединить теперь вместе.

Ситуация F Пусть в линейной модели yt = xtT + t, t = 1, 2, …, n, где xt = (xt1, xt2, …, xtK)T – вектор значений K объясняющих переменных в t-м наблюдении, n – оценка наименьших квадратов вектора коэффициентов = ( 1, 2, …, K), полученная по n наблюдениям. Пусть для этой модели выполнены следующие условия:

n 1 T T • plim xt = Q т.е. plim X X = Q, xt n n n n n n t=где Q – положительно определенная матрица, m • ~ i.i.d., E( ) = 0, D( ) = 2 > 0, E < для всех m = 1, 2, …, t t t t • Cov(xt k, ) = 0 для k = 1, 2, …, K.

t Тогда при n n (n – ) N(0, 2Q – 1 ).

Предположим теперь, что xt – стационарный векторный (K-мерный) ряд, так что E(xt) = µ = const, Cov(xt) = Q, Cov(xt k, xt +s, l) = kl (s) при всех t, s для каждой пары k, l = 1, 2, …, K. (Здесь kl (s) – кросс-корреляция значений k-ой и l-ой компонент векторного ряда xt, разнесенных на s единиц времени.

Если рассматривать s как аргумент, а kl (s) как функцию от s, то kl (s) – кросскорреляционная функция k-ой и l-ой компонент векторного ряда xt.) Тогда первое из трех условий, перечисленных в ситуации F, обеспечивает возможность оценивания www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru неизвестной ковариационной матрицы Cov(xt) = Q простым усреднением доступных наблюдению матриц xt xtT по достаточно длинному интервалу t = 1, 2, …, n.

В рамки ситуации F помещается достаточно распространенный класс ARX моделей :

yt = a1 yt – 1 + a2 yt – 2 + … + ap yt – p + ztT + t, где zt = (zt1, zt2, …, ztM)T, = (1, 2, …, M)T.

Подобная модель вписывается в ситуацию F, если положить xt = (yt – 1, yt – 2, …, y t – p, z1, z2, …, z M)T, = (a1, a2, …, ap, 1, 2, …, M)T.

Пусть для этой модели выполнены следующие условия:

• zt – стационарный векторный (M-мерный) ряд;

n T plim zt = QZ, zt • n n t = где QZ – положительно определенная матрица;

m • ~ i.i.d., E( ) = 0, D( ) = 2 > 0, E < для всех m = 1, 2, … ;

t t t t • Cov(zt m, ) = 0 для m = 1, 2, …, M ;

t • Cov(yt – j, ) = 0 для j = 1, 2, …, p ;

t • все корни уравнения a(z) = 1 – a1 z – a2 z2 – … – ap zp = 0 лежат вне единичного круга.

Тогда (см. [Green (1993)]) выполнено и первое условие ситуации F, и при n n 1/2 (n – ) N(0, 2Q – 1).

Последнее из перечисленных условий, касающееся корней уравнения a(z) = 0, обеспечивает стабильность модели ARX. Последнее означает, что по мере продвижения в будущее (т.е. с ростом t ) устанавливается определенная “долговременная” (long-run) связь между переменными yt, zt1, zt2, …, ztM, по отношению к которой происходят достаточно быстрые осцилляции.

4.2. Динамические модели Среди различных ARX моделей, в эконометрических исследованиях широкое применение нашли динамические модели (модели с авторегрессионно распределенными запаздываниями – ADL ) yt = 0 + a1 yt – 1 + a2 yt – 2 + … + ap yt – p + + (10 x1, t + 11 x1, t – 1 + … + 1r x1, t – r ) + + … + + (s 0 xs, t + s 1 xs, t – 1 + … + s r xs, t – r) + t.

Для такой модели используют обозначение ADL(p,r; s), где p – глубина запаздываний по переменной yt, r – глубина запаздываний по переменным x1, t, x2, t, …, xs,, не являющимся запаздываниями переменной yt, s – количество таких t переменных. При такой форме записи допускается, что некоторые из коэффициентов www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru ij равны нулю, так что глубина запаздываний может быть различной для различных переменных xi, t.

Модель ADL(p,r; s) можно представить в компактном виде a(L) yt = µ + b1(L) x1, t + … + bs(L) xs, t + t, где a(L) = 1 – a1 L – a2 L 2 – … – ap L p, bi(L) = i 0 + i 1L + … + i r L r, i = 1, …, s.

Если выполнено условие стабильности, то yt представляется в виде 1 1 1 yt = µ + b1(L)x1, t +K+ bs (L)xs, t + t, a(L) a(L) a(L) a(L) или 1 yt = µ + c1(L)x1, t +K+ cs (L)xs, t + t, a(L) a(L) где bi (L) ci (L) =.

a(L) Долговременную связь между переменными можно найти, полагая в выражении для yt L = 1, t 0.

При этом получаем yt = µ + c1(1)x1, t +K+ cs (1)xs, t ;

a(1) строго говоря, в последнем выражении указание на момент t следует исключить:

y = µ + c1(1)x1 +K+ cs (1)xs.

a(1) Коэффициенты с1(1), …, сs(1) в последнем сотношении называются долгосрочными мультипликаторами (long-run multipliers). Поясним это название на примере модели ADL(1, 1; 1), которую запишем в виде (1 – 1L) yt = µ + 0 xt + 1 xt – 1 + t.

При 1 < 1 получаем равносильное представление 1 yt = (1-1L)µ + (1-1L)( xt + 1xt - 1 + t ), т.е.

yt = (1 + 1 + 12 + …) µ + (1 + 1 L + 12 L2 + …)(0 xt + 1 xt – 1 + t), из которого последовательно находим:

yt xt = 0, yt +1 xt = yt xt – 1 = 1 + 1 0, yt +2 xt = yt xt – 2 = 1 1 + 120, yt +3 xt = yt xt – 3 = 121 + 130, www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru и т.д. Правые части дают значения импульсных мультипликаторов, показывающих влияние единовременного (импульсного) изменения значения xt на текущее и последующие значения переменной yt. Просуммировав полученные выражения, получаем:

yt xt + yt xt – 1 + yt xt – 2 + yt xt – 3 + … = = 0 (1 + 1 + 12 + …) + 1(1 + 1 + 12 + …) = = (1 – 1L) – 1(0 + 1).

Правая часть этого соотношения, как легко заметить, представляет собой долгосрочный мультипликатор рассматриваемой ADL(1, 1; 1). В соответствии с левой частью, этот мультипликатор показывает изменение значения yt при изменении на единицу текущего и всех предыдущих значений переменной xt.

Прежде, чем перейти к рассмотрению примера оценивания конкретной ADL модели, следует заметить следующее.

При выполнении условий, обеспечивающих возможность использования стандартной техники регрессионного анализа (имеется в виду ее асимптотическая обоснованность – см. разд. 4.1, ситуация F):

• Обычная t-статистика имеет асимптотическое N(0,1) распределение.

• Если F – обычная F-статистика для проверки гипотезы о выполнении q линейных ограничений на коэффициенты модели, то статистика qF имеет асимптотическое распределение с q степенями свободы.

• При умеренном количестве наблюдений параллельно с асимптотическими распределениями для t и qF можно для контроля использовать и точные (стандартные) распределения (распределение Стьюдента для t-статистики, распределение Фишера для F-статистики). Согласованность получаемых при этом результатов подкрепляет уверенность в правильности соответствующих статистических выводов.

• При наличии в правой части запаздывающих значений объясняемой переменной проверку гипотезы об отсутствии автокоррелированности у ряда t следует производить, используя критерий Бройша – Годфри. Критерий Дарбина – Уотсона не годится для этой цели, поскольку в данном случае значения www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru статистики Дарбина – Уотсона d смещены в направлении значения d = 2, так что использование таблиц Дарбина – Уотсона приводит к неоправданно частому неотвержению указанной гипотезы (“презумпция некоррелированности t ”).

Пример Рассмотрим модель ADL(3, 2; 1) (1 – 0.5L – 0.1L 2 – 0.05L 3) yt = 0.7 + (0.2 + 0.1 L + 0.05L 2) xt + t.

Для нахождения долговременной связи между переменными y и x полагаем L = 1 и t 0:

(1 – 0.5 – 0.1 – 0.05) y = 0.7 + (0.2 + 0.1 + 0.05) x, т.е. 0.35 y = 0.7 + 0.35 x, или y = 2 + x.

На приводимом ниже графике представлены смоделированная реализация ряда xt = 0.7xt–1 + xt, xt ~ i.i.d. N(0, 1), и соответствующая ей реализация ряда yt, порождаемого указанной моделью ADL(3, 2; 1), где t ~ i.i.d. N(0, 1), причем ряд t порождается независимо от ряда xt. В качестве начальных значений при моделировании были взяты: x1 = 0, y1 = y2 = y3 = 0.

--10 20 30 40 50 60 70 80 90 Y X Имея в распоряжении только эти две реализации, мы не знаем, с какой моделью имеем дело. Начнем с оценивания статической модели yt = µ + xt + t методом наименьших квадратов; в результате получаем оцененную модель yt = 1.789 + 0.577xt + et, где et – ряд остатков. График ряда остатков имеет вид:

---10 20 30 40 50 60 70 80 90 DELTA Здесь обнаруживается явная автокоррелированность ряда остатков, которая подтверждается построенной для него коррелограммой ACF PAC F C PAC Q-Stat Prob www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru.. 0 |***** |*****.696.696 9.981... 0 |**** |*.536.099 9.868.. *| - |***..364 0.081 3.801... | - |**..227 0.056 9.279... | - |*..130 0.015 01.10.. |. | -...057 0.020 01.46.и критерием Бройша – Годфри с запаздыванием на один шаг, который дает Pзначение 0.0000. Это означает, что мы имеем дело не со статической, а с динамической моделью. Поэтому следует прежде всего рассмотреть характер поведения обоих рядов и произвести их идентификацию.

Для ряда xt коррелограмма имеет вид ACF PACF AC PAC Q-Stat Prob. |*****. |***** 0.686 0.686 48.468 0.. |*** *|. 0.429 -0.079 67.594 0.. |* *|. 0.193 -0.132 71.527 0.. |. *|. 0.024 -0.066 71.591 0.*|. |. -0.058 0.003 71.958 0.*|. *|. -0.140 -0.107 74.090 0.По этой коррелограмме ряд xt идентифицируется как AR(1).

Для ряда yt коррелограмма имеет вид ACF PACF AC PAC Q-Stat Prob.. |****** 0.767 0.767 60.58 0.|******.. |* 0.629 0.100 101.75 0.|*****. |. 0.494 -0.042 127.37 0.|****.. |. 0.399 0.019 144.32 0.|***.. |. 0.318 -0.003 155.21 0.|**.. |. 0.257 0.004 162.38 0.|** так что и этот ряд идентифицируется как AR(1).

Такой предварительный анализ ограничивает рассмотрение моделью ADL с глубиной запаздываний, равной единице:

yt = µ + a1 yt – 1 + 0 xt + 1 x t – 1 + t.

www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru Оценивая такую модель ADL(1, 1; 1), получаем:

Dependent Variable: Y Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

C 0.558588 0.157276 3.55163 0.Y(-1) 0.695204 0.066095 10.51828 0.X 0.208971 0.126135 1.65673 0.X(-1) 0.161690 0.132352 1.22166 0.Анализ остатков не выявляет автокоррелированности (P-значение критерия Бройша–Годфри при AR(1) альтернативе равно 0.164), не выявляет значимых отклонений от нормальности распределения t (P-значение критерия Jarque – Bera = 0.267), не обнаруживает гетероскедастичности (P-значение критерия Уайта = 0.159), так что можно, опираясь на приведенные выше факты, использовать асимптотическую теорию статистических выводов и на ее основе использовать результаты, получаемые при применении t- и F-критериев.

При проверке гипотезы H0: 0 = 1 = 0 получаем при использовании Fраспределения P-значение 0.0032; при использовании асимптотического распределения 2(2) получаем P-значение 0.0022. В обоих случаях эта гипотеза отвергается. Исключение из правой части модели запаздывающей переменной xt–1, коэффициент при которой статистически незначим и имеет большее P-значение, чем коэффициент при xt, дает:

Dependent Variable: Y Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

C 0.517868 0.154098 3.360648 0.Y(-1) 0.719738 0.063131 11.40064 0.X 0.310343 0.095241 3.258511 0.R-squared 0.637523 Mean dependent var 1.Adjusted R-squared 0.629971 S.D. dependent var 1.S.E. of regression 1.039901 Akaike info criterion 2.Sum squared resid 103.8138 Schwarz criterion 3.Log likelihood -142.8251 F-statistic 84.Durbin-Watson stat 2.256404 Prob(F-statistic) 0.Здесь все коэффициенты имеют высокую значимость, а остатки вполне удовлетворительны.

Если из предыдущей модели исключить не x t – 1, а x t, то это приводит к оцененной модели Dependent Variable: Y Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

Pages:     | 1 |   ...   | 7 | 8 || 10 | 11 |   ...   | 35 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.