WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 6 | 7 || 9 | 10 |   ...   | 35 |

Используя такие оценки D(G1), D(G2), получаем статистики G1 G G1 =,, G2 = D(G1) D(G2) которые при гипотезе нормальности имеют распределения, аппроксимируемые стандартным нормальным распределением. Поскольку последние статистики еще и асимптотически независимы, то при T 2 (G1 ) +(G2) (2).

Моделирование показывает, однако, что при умеренных значениях T распределение статистики G2 плохо приближается нормальным распределением.

Более того, процедура проверки здесь весьма общая (структура временного ряда не специфицируется). Поэтому критерий нормальности, основанный на статистике 2 (G1 ) +(G2), имеет довольно низкую мощность при применении его к моделям AR и MA, т.е. слишком часто не отвергает гипотезу нормальности ряда Xt, когда она не верна.

Более подходящей является в этом отношении аналогичная процедура, применяемая не к самому ряду Xt, а к остаткам, полученным при оценивании специфицированной модели ряда Xt. В моделях AR и MA остатки состоятельно оценивают инновации t, которые, в предположении нормальности, являются независимыми, одинаково распределенными случайными величинами, имеющими распределение N(0, 2). Поэтому при применении метода Ломницкого для проверки предположения о нормальности инноваций, мы получаем:

6 D(G1) =, D(G2 ) =, T T (т.к. для ряда инноваций (k) = 0 при k 0), G1 G G1 = T, G2 = T, 6 так что 2 2 G12 G (G1 ) +(G2) = T +, 6 а это есть статистика, используемая для проверки нормальности в популярном критерии Jarque – Bera [Jarque, Bera (1980)].

Таким образом, критерий Jarque – Bera можно использовать не только в рамках классической модели регрессии (с фиксированными значениями объясняющих переменных), но и для проверки нормальности инноваций в моделях временных рядов, помня, конечно, о том, что это всего лишь асимптотический критерий. Для улучшения приближения статистики критерия распределением хи-квадрат, в пакете EVIEWS в статистике критерия вместо множителя T используется множитель (T– K), где K – количество коэффициентов, оцениваемых при построении модели исследуемого ряда.

Правда, здесь мы не заметили еще одного ”подводного камня”. Мы предполагали неявно, что остатки берутся как результат оценивания правильно идентифицированной модели. Как будет влиять на свойства критерия неправильное определение порядка модели www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru При больших T критерий Шварца достаточно надежно определяет порядок (p, q) модели ARMA, так что проверка нормальности инноваций по модели, выбранной критерием Шварца, асимптотически равносильна проверке нормальности инноваций по правильно идентифицированной модели.

На третьем шаге производят также проверку выбранной модели на “оптимальность”, имея в виду, что “более сложные” модели не должны существенно отличаться от подобранной модели. Точнее говоря, при увеличении порядка модели оценки коэффициентов при добавленных составляющих должны быть статистически незначимыми, а оценки коэффициентов при сохраняемых составляющих должны изменяться не очень существенно.

Пример Обращаясь опять к результатам оценивания MA(1) и AR(1) моделей для данных о потреблении рыбных продуктов в США, замечаем, что гипотеза H0 : a1 = 0 в AR(1) модели и гипотеза H0 : b1 = 0 в МA(1) модели не отвергаются. Это означает, что обе эти модели могут быть редуцированы к модели MA(0) Xt = µ + t.

Оценивая последнюю, получаем:

Variable Coef Std. t- Pro. Error Statistic b.

C 10.8 0.092 116.7 0.1000 594 460 R-squared 0.00 Mean dependent 10.

0000 var Adjusted R- 0.00 S.D. dependent 0.squared 0000 var S.E. of 0.41 Akaike info 1.regression 4094 criterion Sum squared 3.25 Schwarz criterion 1.resid 8000 Log likelihood - Durbin-Watson 1.10.23258 stat Но оцененная коррелограмма для этой модели была уже приведена выше, в самом начале рассмотрения данного примера, и именно она дала повод рассматривать в качестве возможных кандидатур модели AR(1) и MA(1). При этом, решая вопрос о статистической значимости (1) и part(1), мы опирались на асимптотические результаты, хотя имели в распоряжении лишь небольшое количество наблюдений, и это может быть причиной несогласованности полученных выводов.

Впрочем, мы можем воспользоваться и точным критерием, основанным на статистике Дарбина – Уотсона. Поскольку в последней модели нет никаких объясняющих переменных кроме константы, можно получить таблицы непосредственно для критических значений этой статистики, а не для границ, между которыми заключены эти критические значения. Соответствующие критические значения приведены в работе [Sargan, Bhargava (1983)]. В частности, для уровня значимости 0.05 и T= 21 критическое значение равно 1.069. Ориентируясь на него, мы не отвергаем гипотезу о том, что наблюдаемые данные порождены процессом MA(0).

Сравним оцененные модели MA(0), MA(1) и AR(1) по критериям Акаике и Шварца.

www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru M M A A(0) A(1) R(1) 1 1 IC.123.098.1 1 IC.173.197.Предпочтительной по критерию Акаике является модель AR(1), тогда как с точки зрения критерия Шварца более предпочтительна модель MA(0). Такое положение в практическом анализе временных рядов возникает достаточно часто: если критерии Акаике и Шварца выбирают разные модели, то критерий Акаике выбирает модель более высокого порядка.

Пример Обратимся теперь к приведенной в разд. 3.1 реализации процесса авторегрессии второго порядка Xt = 1.2 Xt–1 – 0.36 Xt–2 + t. Используя выборочную коррелограмму, построенную по этой реализации, мы (правильно) идентифицировали порядок этого процесса. Среди AR моделей порядков 4, 3, 2 и 1 оба критерия AIC и SIC также выбрали модель второго порядка. Оценивание модели с ненулевым математическим ожиданием нелинейным методом наименьших квадратов приводит к следующим результатам.

Dependent Variable: X Sample(adjusted): 3 Included observations: 498 after adjusting endpoints Convergence achieved after 3 iterations Variable Coef Std. t- Pro. Error Statistic b.

C 0.00 0.330 0.003 0.1015 958 067 AR(1) 1.25 0.041 30.45 0.6580 257 723 AR(2) - 0.041 - 0.0.397095 290 9.617188 Коррелограмма ряда остатков имеет вид AC PA A F CF C PAC Q-Stat Prob - -.|. |.|. | 0.003 0.003.- -.|. |.|. | 0.005 0.005.0 0.|. |.|. |.000.000.0165.0 0.|. |.|. |.036.036.6866.www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru 0 0.|. |.|. |.037.037.3675.- - *|. | *|. | 0.086 0.085.0736.0 0.|. |.|. |.005.005.0882.- -.|. |.|. | 0.004 0.006.0977.- -.|. |.|. | 0.002 0.004.0993.- -.|. |.|. | 0 0.054 0.050.5887.- -.|. |.|. | 1 0.014 0.008.6897.0 0.|. |.|. | 2.019.011.8676.Все P-значения для статистики QLB намного больше 0.05, так что гипотеза о том, что в специфицированной модели составляющие t образуют процесс белого шума, не отвергается. Не отвергается также и гипотеза нормальности t (P-значение в критерии Jarque – Bera равно 0.616). Вместе с тем, оценка математического ожидания процесса Xt статистически незначима, что позволяет не отвергать гипотезу о нулевом математическом ожидании AR(2) процесса. Оценивая модель с нулевым математическим ожиданием, получаем Dependent Variable: X Sample(adjusted): 3 Included observations: 498 after adjusting endpoints Convergence achieved after 2 iterations Variable Coef Std. t- Pro. Error Statistic b.

AR(1) 1.25 0.041 30.48 0.6581 215 807 AR(2) - 0.041 - 0.0.397096 248 9.627056 S.E. of 1.03 Akaike info 2.regression 6707 criterion Sum squared 533. Schwarz criterion 2.resid 0816 Inverted AR.63.63+.05i Roots -.05i Исследуем последнюю модель на оптимальность в указанном выше смысле. С этой целью приведем коэффициенты оцененных AR(2), AR(3) и AR(4) моделей и Pзначения для тех коэффициентов двух последних моделей, которые являются “лишними” с точки зрения “оптимальной” модели AR(2).

Модель Коэффициенты при переменных Xt – 1 Xt – 2 Xt – 3 Xt – AR(2) 1.26 – 0.www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru AR(3) 1.25 – 0.39 P = 0.AR(4) 1.25 – 0.40 P = 0.72 P = 0.Эта таблица показывает, что в моделях с неоправданно высоким порядком “лишние” коэффициенты оказались статистически незначимыми, а коэффициенты при переменных, включеных в “оптимальную” модель, практически не изменяются при изменении порядка модели. Именно это и характеризует подобранную модель AR(2) как оптимальную.

Интересно, наконец, обратить внимание на еще одно обстоятельство. Как мы уже отмечали ранее, в теоретической модели AR(2), по которой строилась исследуемая нами реализация, уравнение a(z) = 0, т.е. 1 – 1.2 z + 0.36 z2 = 0, имеет двойной корень z = 5/3 1.67. Этот корень больше единицы, что обеспечивает стационарность процесса, порождаемого такой моделью. В то же время, для оптимальной модели, полученной нами в результате подбора, соответствующее уравнение имеет корни, обратные величинам, указанным в последней строке распечатки результатов оценивания этой модели. Указанные в этой строке величины равны 0.63 ± 0.05i, так что сами корни равны z = 1.58 ± 0.125i. Хотя эти корни, конечно, отличаются от (двойного) корня уравнения a(z) = 0 в теоретической модели, тем не менее оба они больше единицы по абсолютной величине, а значит, подобранная нами AR(2) модель также является стационарной.

www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru Глава 4. Регрессионный анализ для стационарных объясняющих переменных Прежде, чем переходить к изложению материала этой главы, заметим, что в этой главе мы не будем различать в обозначениях случайные величины и их наблюдаемые значения – в обоих случаях будут использоваться строчные буквы.

4.1. Асимптотическая обоснованность стандартных процедур В главе 1 мы уже отмечали, что рассмотренные там случаи, в которых можно использовать стандартные процедуры регрессионного анализа несмотря на то, что объясняющие переменные являются стохастическими (ситуации A, A, B, C), не охватывают наиболее интересных для нас моделей стационарных и нестационарных временных рядов. Это замечание относится и к широко используемым на практике моделям авторегрессии, в том числе и стационарным.

Рассмотрим модель авторегрессии AR(p) yt = + a1 yt – 1 + a2 yt – 2 + … + ap yt – p + t, где t – инновации, образующие процесс белого шума с D(t) =2. Эту модель можно представить в виде линейной модели регрессии yt = xtT + t, где xt = (1, yt – 1, yt – 2, …, yt – p)T, = (, a1, a2, …, ap)T.

Но мы не можем использовать для нее результаты, полученные в ситуациях A и B. Хотя s и xt статистически независимы при s t, они оказываются зависимыми уже при s = t – 1, поскольку t – 1 участвует в формировании случайной величины yt – 1, входящей в состав xt. Это нарушает условие, входящее в определения ситуаций A и B.

Мы не можем также использовать и результаты, полученные в ситуациях A и C.

Там требовалось, чтобы условное распределение вектора при фиксированной матрице X имело вид N(0, 2V ) с положительно определенной (невырожденной) матрицей V (в ситуации A это единичная матрица). Однако при фиксированных значениях xt + 1 = (1, yt, yt – 1, …, yt – p + 1)T и xt значение t известно с полной определенностью.

Тем не менее, если AR(p) модель стационарна, то положение вполне благополучно:

Ситуация D • процесс yt порождается моделью yt = + a1 yt – 1+ a2 yt – 2 + … + ap yt – p + t (t – инновации);

www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru p • все корни полинома 1 – a1z – a2 z2 – …– ap z = 0 лежат за пределами единичного круга;

• ~ i.i.d., E( ) = 0, D( ) = 2 > 0, E( ) = µ4 <.

t t t t При выполнении перечисленных условий, для оценки наименьших квадратов n вектора коэффициентов = (, a1, a2, …, ap), полученной по n наблюдениям, выполняется соотношение n 1/2 (n – ) N(0, 2Q – 1 ), где Q – положительно определенная матрица, элементы которой выражаются в явной форме через математическое ожидание и автокорреляции процесса yt.

Ковариационная матрица 2 Q–1 асимптотического распределения может быть оценена состоятельно посредством Sn2(XnTXn n)–1, и это означает, что асимптотически обоснованны статистические процедуры, трактующие распределение n как N(, Sn2(XnTXn )– 1). (Здесь Xn – матрица значений объясняющих переменных в n наблюдениях.) Иными словами, и в рассматриваемой ситуации можно пользоваться стандартными методами регрессионного анализа, имея в виду их асимптотическую обоснованность.

Если перейти к процессам, стационарным относительно детерминированного тренда, то следует отметить возникающую здесь особенность, связанную со сходимостью распределения оценок наименьших квадратов к асимптотическому распределению. Мы поясним эту особенность на следующем примере.

Пусть ряд yt порождается простой моделью временного тренда yt = + t + t, где ~ i.i.d., E( ) = 0, D( ) = 2 > 0, E( ) = µ4 <. Если и здесь записать t t t t модель в стандартной форме yt = xtT + t, xt = (1, t)T, = (, ), то чтобы получить невырожденное асимптотическое распределение оценки наименьших квадратов n = (n, n ), приходится использовать различные нормирующие множители: (n –n ) умножается на T 1/2, а ( n – n ) умножается на T 3/. Однако это различие компенсируется тем, что аналогичным образом ведут себя и стандартные ошибки для n и n. Как результат, обычные t-статистики имеют асимптотическое N(0, 1) распределение. Иными словами, можно использовать стандартную технику регрессионного анализа, имея в виду ее асимптотическую обоснованность.

Те же самые принципы можно использовать и для исследования процесса авторегрессии произвольного порядка, стационарного относительно детерминированного временного тренда.

Cитуация E • процесс yt порождается моделью yt = + t + a1 yt – 1 + a2 yt – 2 + … + ap yt – p + t (t – инновации);

www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru p • все корни полинома 1 – a1z – a2 z2 – …– ap z = 0 лежат за пределами единичного круга;

• ~ i.i.d., E( ) = 0, D( ) = 2 > 0, E( ) = µ4 <.

Pages:     | 1 |   ...   | 6 | 7 || 9 | 10 |   ...   | 35 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.