WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 5 | 6 || 8 | 9 |   ...   | 35 |

В заключение необходимо только сделать одно важное замечание.

Пусть мы имеем стационарную AR(p) модель a(L) Xt = + t.

www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru Мы уже говорили о том, что в этом случае математическое ожидание µ процесса Xt связано с константой соотношением µ =.

(1- a1 - a2 -K- ap ) При этом можно сначала оценить коэффициенты a1, …, ap и, применяя обычный метод наименьших квадратов к модели Xt = + a1 Xt–1 + a2 Xt–2 + … + ap Xt–p + t, а затем, используя полученные оценки 1,..., p и, получить оценку для µ в виде µ =.

(1- 1 - 2 -K- p ) Однако можно поступить и иначе, как это предусмотрено, например, в пакете EVIEWS (Econometric Views), используемом нами в последующих примерах. Именно, мы можем записать ту же модель в виде Xt = µ (1 – a1 – a2 – …– ap) + a1 Xt–1 + a2 Xt–2 + … + ap Xt–p + t и одновременно оценивать и a1, …, ap и µ. Такая процедура теоретически более эффективна. Однако в такой форме модель оказывается нелинейной по параметрам, и это обстоятельство, как и при оценивании MA моделей, требует применения нелинейного метода наименьших квадратов (NLLS – nonlinear least squares) и численных итерационных методов оптимизации.

Пример Рассмотрим данные о годовом потреблении рыбных продуктов в США (на душу населения, в фунтах).

946 0.8 956 0.947 0.3 957 0.948 1.1 958 0.949 0.9 959 0.950 1.8 960 0.951 1.2 961 0.952 1.2 962 0.11.953 963 0.954 1.2 964 0.www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru 955 0.5 965 0.График этого ряда:

12.11.11.10.10.46 48 50 52 54 56 58 60 62 X Коррелограмма, построенная по этим данным, имеет вид Autocorrelati Partial A on Correlation C PAC Q-Stat Prob. |***. |*** 0 0 4.429.429.2694.. |***. |** 0 0 7.366.222.5350.. |. **|. 0 - 7.059 0.204.6255.. |.. |. 0 - 7.016 0.034.6324. *|. *|. - - 8 0.156 0.129.3498.**|. **|. - - 1 0.255 0.195 0.393. ***|. *|. - - 1 0.321 0.123 3.879.. *|.. |* - 0 1 0.133.175 4.523.Ориентируясь на указанные ранее приближенные критерии, прежде всего найдем значение 2/T = 2/20 = 0.447. Из полосы ± 0.447 не выходит ни одна из выборочных автокорреляций и частных автокорреляций. Поэтому с точки зрения этих критериев, мы не должны отвергать гипотезу о том, что наблюдаемый ряд порождается моделью MA(0) X0 = µ + t.

С другой стороны, если ориентироваться на критерий Люнга – Бокса, то пик ACF на лаге 1 является статистически значимым. Это означает, что в качестве потенциальных моделей порождения данных можно предварительно рассматривать модели AR(1) и MA(1). Таким образом, мы сталкиваемся здесь с конфликтной ситуацией: статистические выводы, получаемые при использовании разных критериев, не соответствуют друг другу. Подобная ситуация не является чем-то исключительным и достаточно часто встречается при идентификации модели, порождающей наблюдаемый ряд, тем более, что используемые критерии – асимптотические, тогда как обычно в распоряжении исследователя имеется не слишком большое количество наблюдений.

www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru Последнее обстоятельство связано в значительной степени с тем, что для многих экономических рядов периоды, на которых порождающая ряд модель может считаться стационарной, обычно непродолжительны из-за изменения общей экономической обстановки, в которой эволюционирует рассматриваемый ряд. Это соображение можно легко проиллюстрировать на примере того же самого ряда данных о потреблении рыбных продуктов в США, если привлечь дополнительно статистические данные за период с 1940 по 1945 годы (годы Второй мировой войны). Эволюция ряда на расширенном периоде с 1940 по 1965 годы представлена следующим графиком:

40 42 44 46 48 50 52 54 56 58 60 62 X Провал траектории ряда в 1942 – 1944 г.г. не позволяет трактовать этот ряд как стационарный на всем периоде с 1940 по 1965 годы. Поэтому мы продолжаем далее рассматривать значения ряда только на послевоенном периоде – с 1946 по 1965 г.г.

Если остановиться на модели AR(1), то для нее, как мы знаем, (1) = a1. Поэтому приравнивая неизвестное значение (1) значению r(1) = 0.429, мы получаем предварительную оценку для неизвестного значения a1. В то же время, производя непосредственное оценивание модели AR(1) с ненулевым математическим ожиданием нелинейным методом наименьших квадратов, получаем следующие результаты.

Dependent Variable: X Method: Least Squares Sample(adjusted): 1947 Included observations: 19 after adjusting endpoints Convergence achieved after 3 iterations Variable Coef Std. t- Pro. Error Statistic b.

C 10.8 0.159 67.90 0.1451 261 445 AR(1) 0.43 0.219 1.963 0.0515 257 522 R-squared 0.18 Mean dependent 10.

4864 var Adjusted R- 0.13 S.D. dependent 0.squared 6915 var S.E. of 0.39 Akaike info 1.regression 5238 criterion Sum squared 2.65 Schwarz criterion 1.resid 5627 В данной ситуации уточненная оценка практически совпадает с предварительной оценкой для a1.

Если же остановиться на модели MA(1), то в такой модели (1) = b1/(1 + b12).

Приравнивание неизвестного значения (1) значению r(1) = 0.429 приводит к уравнению b1/(1 + b12) = 0.429. Корни последнего уравнения равны 0.567 и 1.704.

www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru Первый корень соответствует обратимой MA(1) модели; второй корень соответствует необратимой MA(1) модели. Уточненное оценивание MA(1) модели с использованием обратного прогноза (backcasting) дает следующие результаты.

Dependent Variable: X Method: Least Squares Sample: 1946 Included observations: Convergence achieved after 13 iterations Backcast: Variable Coef Std. t- Pro. Error Statistic b.

C 10.8 0.113 95.39 0.1379 355 726 MA(1) 0.28 0.228 1.230 0.0610 102 195 R-squared 0.11 Mean dependent 10.

7961 var Adjusted R- 0.06 S.D. dependent 0.squared 8959 var S.E. of 0.39 Akaike info 1.regression 9561 criterion Sum squared 2.87 Schwarz criterion 1.resid 3684 Log likelihood - F-statistic 2.8.977395 Durbin-Watson 1.78 Prob(F-statistic) 0.stat 9895 В этом случае уточненное значение коэффицента b1 существенно отличается от предварительной оценки этого коэффициента. Отметим также большое отличие Pзначений для t- и F-статистик в отношении значимости коэффициента b1. Это можно объяснить тем, что величина стандартной ошибки вычисляется согласно асимптотической процедуре, тогда как в нашем распоряжении имеется всего лишь наблюдений.

Если не производить обратного прогнозирования значения инновации для года, то результаты получаются близкими:

Dependent Variable: X Method: Least Squares Sample: 1946 Included observations: Convergence achieved after 24 iterations Backcast: OFF Variable Coef Std. t- Pro ficient Error Statistic b.

C 10.8 0.112 96.06 0.1515 582 431 MA(1) 0.27 0.229 1.195 0.4024 231 405 R-squared 0.11 Mean dependent 10.

6800 var Adjusted R- 0.06 S.D. dependent 0.www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru squared 7734 var S.E. of 0.39 Akaike info 1.regression 9824 criterion Sum squared 2.87 Schwarz criterion 1.resid 7464 Log likelihood - F-statistic 2.8.990543 Durbin-Watson 1.77 Prob(F-statistic) 0.stat 8286 3.3. Диагностика оцененной модели После выбора типа и оценивания коэффициентов модели производится диагностика оцененной модели, т.е. выяснение того, насколько хорошо модель соответствует данным наблюдений (адекватна данным наблюдений) – это является третьим этапом процедуры подбора модели.

Для целей диагностики можно использовать целый ряд различных статистических процедур, которые направлены в основном на проверку гипотезы H0 о том, что в модели, порождающей наблюдения, последовательность t действительно образует процесс белого шума.

Пусть мы остановили свой выбор на этапе идентификации на модели ARMA(p, q) a(L) Xt = b(L) t, т.е.

Xt = a1 Xt–1 + … + ap Xt–p + t + b1 t–1 + … + bq t–q, и на втором этапе оценили ее как (L)Xt = b(L)t, где (L) =1- 1L -K- pLp, b(L) = 1+ b1L +K+ bqLq.

Если MA составляющая модели ARMA(p, q) обратима, то тогда a(L) t = Xt, b(L) и оценки для t теоретически можно получить заменой a(L) и b(L) на (L) и b(L), соответственно:

(L) t = Xt.

b(L) На практике, конечно, мы можем использовать эту формулу лишь частично, поскольку бесконечный ряд в правой части приходится обрывать из-за наличия только конечного количества наблюдений.

При большом количестве наблюдений поведение t должно имитировать поведение самих t. Cледовательно, если ошибки t образуют процесс белого шума, то остатки должны имитировать процесс белого шума.

www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru Основываясь на этом соображении, Бартлетт [Bartlett (1946)] и Бокс и Пирс [Box, Pierce (1970)] предложили исследовать статистическую значимость выборочных автокорреляций для ряда инноваций t T - k t + k t t = r (k) = T t t = и суммы их квадратов M QBP = T (k) (Q-статистика Бокса – Пирса).

r k = Если модель правильно специфицирована, то QBP имеет распределение, которое близко к распределению 2(M – p – q), при условии, что T и M велики, а отношение (M/T) мало. Гипотеза адекватности подобранной модели отвергается, если QBP > 20.95(M – p – q).

Однако впоследствии было замечено, что при конечных T распределение статистики QBP может существенно отличаться от распределения 2(M – p – q).

Используя результаты Люнга и Бокса [Ljung, Box (1978)], можно показать, что M (M + 5) E(QBP) (M - p - q) -.

2T + Следовательно, если отношение M(M + 5)/(2T + 2) существенно, то использование 2(M – p – q) приближения не является оправданным.

Люнг и Бокс предложили два способа преодоления проблемы смещения. Первый – прямой метод – состоит в использовании приближения QBP 2(E(QBP)), где для E(QBP) используется указанное выше выражение (модифицированный критерий Бокса – Кокса).

Второй способ учитывает более точное выражение для D(r(k)) – вместо (1/T) берется (T – k)/(T2 + 2T). Это приводит к Q-статистике Люнга – Бокса M rQLB = T (T + 2) (T - k), k = которая имеет то же асимптотическое распределение 2(M – p – q), что и QBP, но зато при конечных T распределение статистики QLB гораздо ближе к 2(M – p – q), чем распределение статистики QBP. При этом качество приближения ухудшается, если значения параметров находятся вблизи границы стационарности или обратимости модели; особенно это заметно при малых M. Заметим, что хотя первоначально вывод асимптотического распределения статистики Люнга – Бокса производился в предположении, что t – гауссовский белый шум, в дальнейшем было установлено, что этот критерий достаточно устойчив к отклонениям распределения t от нормального.

Важно только, чтобы была конечной дисперсия D(t). ( Последнее условие часто нарушается для рядов, описывающих эволюцию быстро изменяющихся финансовых показателей – цен на акции, биржевых индексов, обменных курсов. Для таких рядов распределение t обычно имеет “тяжелые” хвосты, т.е достаточно часто наблюдаются большие по абсолютной величине значения t. И это требует привлечения для описания таких рядов более сложных моделей.) www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru В пакете EVIEWS в распечатке результатов оценивания моделей ARMA рядом с коррелограммой ряда остатков приводятся P-значения для наблюдаемых значений Q– статистики Люнга – Бокса.

Для только что рассмотренных моделей AR(1) и МA(1) коррелограммы рядов остатков имеют следующий вид.

Для модели AR(1):

A P A CF ACF C PAC Q-Stat Prob - - *|. *|. 0.096 0.096. 0 0. |**. |**.271.265.9334. - - *|. *|. 0.116 0.078.2687. 0 -. |*. |..076 0.008.4232. - - *|.. |. 0.099 0.049.7024. - - *|. *|. 0.125 0.175.1852. - - **|. **|. 0.257 0.260.3801. 0 0. |.. |..019.051.3928. 0 0. |. |*.047.189.4826. - - *|. **|. 0 0.178 0.259.8945. 0 -. |.. |. 1.040 0.050.9748. - - *|. *|. 2 0.187 0.132.9579.Для модели MA(1):

A P A CF ACF C PAC Q-Stat Prob. |* 0 0. |*.100.100. 0 0. |***. |***.365.358.4838. - -. |. *|. 0.050 0.127.5491. 0 -. |. *|..058 0.068.6417.www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru - - *|. *|. 0.139 0.088.2051. - - *|. *|. 0.169 0.182.1071. - - *|. **|. 0.277 0.199.6991. - 0 *|.. |* 0.066.094.8603. - 0. |.. |* 0.021.159.8772.. - - *|. **|. 0 0.187 0.302.4191. 0 -. |.. |. 1.002 0.042.4192.. - - *|. *|. 2 0.187 0.104 1.338.В обоих случаях все P-значения для статистики QLB больше 0.05, так что гипотеза о том, что в специфицированных моделях составляющие t образуют процесс белого шума, не отвергается. Заметим также, что в обоих случаях не отвергается гипотеза нормальности распределения t : P-значения критерия Jarque – Bera равны, соответственно, 0.480 и 0.608. Об оправданности применения последнего критерия при анализе временных рядов будет сказано ниже.

Проверка предположения о нормальности Многие статистические процедуры, используемые при анализе временных рядов, опираются на предположение гауссовости (нормальности) анализируемого ряда.

Последнее означает, что для любого набора t1, …, tn случайные величины Xt,K, Xt 1 n имеют совместное нормальное распределение.

Имея в распоряжении одну единственную реализацию временного ряда, просто невозможно проверить справедливость такого утверждения. В то же время, еще возможно проверить гипотезу о нормальности одномерного (маргинального) распределения стационарного временного ряда. Соответствующая процедура была предложена в работе Ломницкого [Lomnicki (1961)]. Пусть T 1 k mk = - X ), (Xt T t = m3 mG1 =, G2 = - 3.

3/ m2 2 mВ указанной работе было доказано, что если Xt – стационарный гауссовский временной ряд, то при больших T статистики G1 и G2 имеют приближенно нормальные распределения с нулевыми математическими ожиданиями и дисперсиями 6 D(G1) = 3(k), D(G2) = (k).

T T k = - k = - www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru Оценить эти дисперсии можно, заменив бесконечные суммы степеней автокорреляций (k) конечными суммами степеней выборочных автокорреляций r(k).

Pages:     | 1 |   ...   | 5 | 6 || 8 | 9 |   ...   | 35 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.