WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 30 | 31 || 33 | 34 |   ...   | 35 |

• Если r = N, то тогда любой N-мерный вектор является коинтегрирующим, так что коинтегрирующими будут, например, векторы (1, 0, …, 0)T, (0, 1, …, 0)T, …, (0, 0, …, 1)T. Но это означает, что все ряды y1t, …, yN являются стационарными.

t Ранг матрицы 0, r = rank 0, обычно называют рангом коинтеграции рассматриваемой системы рядов y1t, …, yN t, вне зависимости от того, имеет ли место действительная коинтеграция этих рядов.

Выяснение ранга коинтеграции является ключевым моментом в построении ECM – модели коррекции ошибок – по наблюдаемым статистическим данным. Один из возможных путей решения этой задачи был предложен Йохансеном ([Johansen (1988)], [Johansen (1991)], [Johansen (1992)], [Johansen (1994)], [Johansen, Juselius (1990)]).

Изложение этого метода требует перехода к гораздо более высокому математическому уровню. Поэтому мы, не выходя слишком далеко за принятую планку строгости и www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru детальности изложения, дадим здесь только самое общее представление об этом методе.

Мы уже говорили о том, что если коинтегрированная система I(1) рядов y1t, …, yN t может быть представлена в форме VAR c rank A(1) = r, то существует соответствующее представление VAR в форме ECM. Исходя из этого, Йохансен в качестве отправной точки берет представление yt = µ + 0 yt – 1 + 1 yt – 1 … + p – 1 yt – p + 1 + t с матрицей 0 = T, где и – (N r)-матрицы полного ранга r. При этом столбцы (1), …, (r) матрицы являются линейно независимыми коинтегрирующими векторами, а элементы матрицы являются коэффициентами при стационарных линейных комбинациях z1, t – 1 = T(1) yt – 1, …, zr, t – 1 = T(r) yt – (представляющих отклонения от r долговременных соотношений между рядами y1t, …, yN t) в правых частях уравнений для y1t, …, yN t.

В процедуре Йохансена предполагается, что t - N-мерный гауссовский белый шум, так что случайный вектор t = (1t, …, N t)T имеет N -мерное нормальное распределение с нулевым средним и ковариационной матрицей Cov(t) =, и Cov(k t, j s) = 0 при t s для всех k, j = 1, …, N.

Прежде, чем применять процедуру Йохансена, следует определиться с порядком p векторной авторегрессии, которой следует векторный ряд. Для этой цели можно использовать стандартные t- и F-критерии (с асимптотическим N(0, 1) распределением для t-статистик и асимптотическими 2 распределениями для qF) и, применяя их к VAR в уровнях, порядок которой взят “с запасом”, понизить, по возможности, порядок этой “избыточной” VAR. Заметим в этой связи, что процедура Йохансена достаточно чувствительна к выбору порядка VAR, в рамках которой эта процедура реализуется.

Сама процедура начинается с того, что по имеющимся наблюдениям значений y1t, …, yN t, t = 1, …, T, вычисляются максимумы логарифмических функций правдоподобия L(, µ, 0, 1, …, p – 1) для неизвестных параметров, µ, 0, 1, …, p – 1 при различных предположениях о ранге коинтеграции r. С точностью до слагаемых, одинаковых при различных r, эти максимумы равны r Lmax (r) = -(T 2) (1- i), r = 1,K, N, ln i= где 1, K, N – некоторые величины, вычисляемые на основании одних только статистических данных без всяких предположений о ранге коинтеграции, 1 > 1 > … > N > 0. Сравнивая значения Lmax (r), полученные при различных r, можно отдать в итоге предпочтение той или иной гипотезе об истинном ранге коинтеграции. Для формализации соответствующего решения в виде некоторой статистической процедуры можно использовать известный из математической статистики критерий отношения правдоподобий для различения двух гипотез.

Мы ограничиваемся в этой книге системами I(1) рядов. Йохансен рассматривал также и системы, включающие ряды типа I(2), см. например, [Johansen (1994a)], [Johansen (1994b)], [Johansen (1995b)].

www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru Пусть в качестве исходной (“нулевой”) выступает гипотеза H0: r = r*, а в качестве альтернативной – гипотеза HA: r = r*+1. Для различения этих гипотез сравниваются значения r* Lmax (r) = -(T 2) (1- i) ln i=и r* + Lmax (r +1) = -(T 2) (1- i).

ln i=Критерий основывается на статистике max (r*) = 2 (Lmax (r*+1) – Lmax (r*)) = – (T/2) ln (1 – r* + 1 ).

Асимптотическое (при T ) распределение этой статистики при гипотезе H0 зависит от r* и N ; для него рассчитаны соответствующие таблицы (см., например, [Patterson (2000), таблицы 14.3 – 14.7], [Enders (1995), таблица B ] или [Hamilton (1994), таблица В.11]).

Если гипотеза H0: r = r* верна, то значения r* + 1, …, N близки к нулю. Если верна альтернативная гипотеза, то значение r* + 1 отделено от нуля, и значения статистики (r*) смещаются в сторону больших положительных значений. Поэтому гипотезу H0:

max r = r* следует отвергать в пользу гипотезы HA: r = r*+1 при больших положительных значениях статистики max (r*), превышающих соответствующий критический уровень.

Пусть теперь в качестве исходной (“нулевой”) опять выступает гипотеза H0: r = r*, но в качестве альтернативной берется гипотеза HA: r > r*. Для различения этих гипотез сравниваются значения r* Lmax (r) = -(T 2) (1- i) ln i=и N Lmax (N) = -(T 2) (1- i).

ln i=Критерий основывается на статистике N trace (r*) = 2 (Lmax (N) – Lmax (r*)) = -(T 2) (1- i).

ln i = r* + Асимптотическое (при T ) распределение этой статистики при гипотезе H0 зависит от r* и N ; для него также рассчитаны соответствующие таблицы (см., например, [Patterson (2000), таблицы 14.3 – 14.7], [Enders (1995), таблица B ] или [Hamilton (1994), таблица В.10]).

Если гипотеза H0: r = r* верна, то значения r* + 1, …, N близки к нулю. Если верна альтернативная гипотеза, то эти значения отделены от нуля, и значения статистики (r*) смещаются в сторону больших положительных значений. Поэтому гипотезу H0:

trace r = r* следует отвергать в пользу гипотезы HA: r > 1 при больших положительных значениях статистики trace (r*), превышающих соответствующий критический уровень.

Проблема, однако, в том, что заранее обычно не известно, на какое значение r следует рассчитывать. В таком случае возникает целое множество альтернативных пар гипотез, при проверке которых можно получить несогласующиеся результаты. Йохансен предложил последовательную процедуру проверки гипотез, с помощью которой можно получить состоятельную оценку истинного ранга коинтеграции.

www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru Именно, зададимся некоторым уровнем значимости, скажем, 0.05, и начнем с проверки гипотезы H0: r = 0 против альтернативы HA: r > 0. Если эта гипотеза не отвергается, то полагаем r = 0. В противном случае проверяем гипотезу H0: r = против альтернативы HA: r > 1. Если гипотеза H0: r = 1 не отвергается, то полагаем r = 1; в противном случае проверяем гипотезу H0: r = 2 против HA: r > 2 и т.д.

Полученная оценка r состоятельна в следующем смысле. Если в действительности r = r0, то при T P{ r = k } 0, k = 0, 1, …, r0 –1, P{ r = r0 } 1 –.

Таким образом, оценить ранг коинтеграции можно, по крайней мере, теоретически.

Однако при обсуждении процедуры Йохансена мы не упомянули еще об одной серьезной проблеме, стоящей на пути к оцениванию истинного ранга коинтеграции.

Дело в том, что критические значения статистик критериев отношения правдоподобий зависят не только от r* и N. Они зависят также от того, имеют ли ряды детерминированные тренды, включается ли константа и/или тренд в коинтеграционное соотношение (коинтеграционное уравнение, CE – cointegrating equation). В связи с этим, при каждом значении r ранга коинтеграции можно рассмотреть следующие ситуаций (именно эти ситуации учитываются, например, в пакете EVIEWS).

• H2(r): в данных нет детерминированных трендов;

в CE не включаются ни константа ни тренд.

• H1*(r): в данных нет детерминированных трендов;

в CE включается константа, но не включается тренд.

• H1(r): в данных есть детерминированный линейный тренд;

в CE включается константа, но не включается тренд.

• H*(r): в данных есть детерминированный линейный тренд;

в CE включаются константа и линейный тренд.

• H(r): в данных есть детерминированный квадратичный тренд;

в CE включаются константа и линейный тренд.

При фиксированном ранге r перечисленные 5 ситуаций образуют цепочку вложенных гипотез:

H2(r) H1*(r) H1(r) H*(r) H(r).

Это дает возможность, опять используя критерий отношения правдоподобий, проверять выполнение гипотезы, стоящей левее в этой цепочке, в рамках гипотезы, расположенной непосредственно справа. Во всех случаях асимптотическое распределение статистики критерия является распределением хи-квадрат. Что касается степеней свободы у этого асимптотического распределения, то оно равно r – для пар H2(r) H1*(r) и H1(r) H*(r), (N – r) – для пар H1*(r) H1(r) и H*(r) H(r).

Заметим, что для каждой из 5 ситуаций, в свою очередь, образуются цепочки вложенных гипотез:

H(0) … H(r) … H(N) H*(0) … H*(r) … H*(N) H1(0) … H1(r) … H1(N) H1*(0) … H1*(r) … H1*(N) H2(0) … H2(r) … H2(N).

www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru Критические значения статистик max и trace, используемые при решении вопроса о ранге коинтеграции, различны для этих 5 цепочек, и это осложняет задачу оценивания ранга коинтеграции, поскольку приходится предварительно выбирать цепочку, в рамках которой будет производиться оценивание.

Некоторым подспорьем в этом отношении является сводка значений информационных критериев Акаике (AIC) и Шварца для всех упомянутых 5(N +1) вариантов. Как и обычно, наилучшая модель выбирается по минимуму значений критерия Акаике или критерия Шварца. Впрочем, практика показывает, что более доверять в этом отношении стоит критерию Шварца. При анализе смоделированных данных выбор по критерию Акаике часто приводит к результатам, совершенно не соответствующим процессу порождения данных.

Для лучшего уяснения возникающих вариантов, рассмотрим 5 ситуаций, перечисленных выше, на простейшем примере треугольной системы Филлипса для двух I(1) рядов.

DGP1 : yt = xt + t, xt = xt – 1 + t.

На основании этих двух уравнений находим:

yt – yt – 1 = – yt – 1 + (xt – 1 + t ) + t = – (yt – 1 – xt – 1) + ut, где ut = t + t, так что получаем ECM в виде yt = – zt – 1+ ut, xt = t, где zt = yt – xt (“константа и тренд не включаются в CE”).

Поскольку ряды yt и xt не содержат детерминированного тренда (“тренда в данных нет”), то все это соответствует ситуации H2(r).

DGP2 : yt = 0 + xt + t, xt = xt – 1 + t.

Эту систему можно записать в виде yt = – zt – 1+ ut, xt = t, где zt = yt – 0 – xt (“константа включается в CE”).

Поскольку ряды yt и xt не содержат детерминированного тренда (“тренда в данных нет”), то все это соответствует ситуации H1*(r).

DGP3 : yt = 0 + xt + t, xt = 0 + xt – 1 + t.

В этом случае yt – yt – 1 = – yt – 1 + 0+ (0 + xt – 1 + t ) + t = = – (yt – 1 – 0 – xt – 1) + 0 + ut, так что получаем www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru yt = – zt – 1 + 0 + ut, xt = 0 + t, где zt = yt – 0 – xt (“константа включается в CE”).

Ряд xt содержит линейный тренд (“тренд в данных”). Все это соответствует ситуации H1(r).

DGP4 : yt = 0 + 1t + xt + t, xt = 0 + xt – 1 + t.

Здесь yt – yt – 1 = – yt – 1 + 0 + 1t + (0 + xt – 1 + t ) + t = = – (yt – 1 – 0 – 1t – xt – 1) + 0 + ut, или yt = – zt – 1 + 0 + ut, xt = 0 + t, где zt = yt – 0 – 1t – xt (“константа и тренд включаются в CE”).

Ряд xt содержит линейный тренд (“тренд в данных”). Все это соответствует ситуации H*(r).

DGP5 : yt = 0 + 1t + xt + t, xt = 0 + 1t + xt – 1 + t.

В этом случае yt – yt – 1 = – yt – 1 + 0 + 1t + (0 + 1 t + xt – 1 + t ) + t = = – (yt – 1 – 0 – 1t – xt – 1) + 0 + 1 t + ut, или yt = – zt – 1 + 0 + 1 t + ut, xt = 0 + 1t + t, где zt = yt – 0 – 1t – xt (“константа и тренд включаются в CE”).

Ряд xt содержит квадратичный тренд (“квадратичный тренд в данных”). Все это соответствует ситуации H(r).

Пример В качестве примера мы проведем анализ смоделированных данных, реализующих только что рассмотренных вариантов DGP. При этом использовались следующие значения параметров:

= 2, 0 = 5, 1 = 0.2, 0 = 0.2, 1 = 0.01.

В качестве рядов t и t брались имитации длины T = 400 независимых между собой гауссовских белых шумов, имеющих дисперсии, равные 4 и 1, соответственно.

DGP1 : yt = 2 xt + t, xt = xt – 1 + t.

Смоделированная реализация имеет вид www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru -----50 100 150 200 250 300 350 Y1 XСводка статистик для определения ранга коинтеграции по этим смоделированным данным, получаемая в пакете EVIEWS (в предположении, что VAR в уровнях имеет порядок 2):

Sample: 1 Included observations: Series: Y1 XLags interval: 1 to Data Trend: None None Linear Linear Quadratic Rank or No Intercept Intercept Intercept Intercept Intercept No. of CEs No Trend No Trend No Trend Trend Trend Log Likelihood 0 -1526.582 -1526.582 -1526.015 -1526.015 -1525.1 -1434.108 -1433.925 -1433.357 -1433.324 -1433.2 -1434.100 -1432.926 -1432.926 -1430.264 -1430. AIC 0 7.691369 7.691369 7.698565 7.698565 7.1 7.246775 7.250880 7.253051 7.257911 7.2 7.266836 7.270985 7.270985 7.267658 7. Schwarz Criteria 0 7.731434 7.731434 7.758663 7.758663 7.1 7.326905 7.341026 7.353213 7.368089 7.2 7.387030 7.411212 7.411212 7.427918 7.L.R. Test: Rank = 1 Rank = 1 Rank = 1 Rank = 1 Rank = В таблице для каждой из 5 указанных выше возможных ситуаций при 3 возможных рангах коинтеграции (r = 0, 1, 2) приведены:

• Значение Lmax (r) максимума логарифма функции правдоподобия (Log Likelihood), соответствующее выделенному варианту.

• Значение информационного критерия Акаике (AIC – Akaike Information Criteria), соответствующее выделенному варианту.

• Значение информационного критерия Шварца (Schwarz Criteria), соответствующее выделенному варианту.

Pages:     | 1 |   ...   | 30 | 31 || 33 | 34 |   ...   | 35 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.