WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 29 | 30 || 32 | 33 |   ...   | 35 |

В более общей ситуации, пусть y1t = с + 2 y2t +... + N yN t + u1t y2t = y2, t – 1 + u2t,...

yN t = y N, t – 1 + u N t, где ut =(u1t, u2t,..., u N t)T – N-мерный гауссовский стационарный векторный ряд (теперь уже не обязательно N-мерный гауссовский белый шум), причем ряды u2t,..., u могут быть коррелированнными между собой, но ряд u1t не коррелирован с N t остальными рядами, так что Cov(u1t, uk s) = 0 при k 1 для всех t, s. Последнее условие обеспечивает экзогенность переменных в правой части первого уравнения треугольной системы. (Гауссовость ряда ut означает, что совместное распределение значений ряда в любые T различных моментов времени является NT-мерным нормальным распределением.) В такой ситуации для проверки линейных гипотез о коэффициентах можно использовать скорректированные F- и t-статистики с асимптотически оправданными F- и tраспределениями, предварительно заменив обычную оценку S2 для дисперсии u1t на состоятельную оценку 2 “долговременной дисперсии” 2 ряда u1t. Последнее соответствует умножению обычной F-статистики на S 2 и умножению обычной t-статистики на S.

www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru Таким образом, проблема нестандартных распределений по-существу связана с возможным нарушением экзогенности регрессоров y2t, …, yN t в первом уравнении треугольной системы.

Сток и Уотсон [Stock, Watson (1993)] и Сайконнен [Saikonnen (1991)] предложили процедуру устранения нежелательной корреляции, состоящую в пополнении правой части первого уравнения треугольной системы запаздывающими (“lags”) и опережающими (“leads”) значениями приращений регрессоров. (Отсюда наименование метода – “leads” and “lags”.) Именно, вместо первого уравнения системы оценивается его расширенный вариант y1t = с + 2 y2t +... + N yN t + p + (2j y2, t – j +... + Nj yN, t – j ) + ut.

j = - p Если значение p выбрано правильно (достаточно велико), то тогда статистические выводы в отношении 2,..., N можно проводить обычным образом (конечно, имея в виду асимптотическую оправданность соответствующих статистических процедур), но опять с использованием скорректированных значений обычных t- и Fстатистик, если ut не является белым шумом.

Предложенная процедура остается асимптотически оправданной и в случае, когда все или некоторые из рядов y2t, …, yN t имеют детерминированный тренд.

Более того, дополнительных проблем не возникает и в случае, когда в правую часть первого уравнения треугольной системы добавляется линейный тренд и проверяется гипотеза о его значимости. Это позволяет проводить раздельную проверку гипотез о том, что www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru (a) y1t – 2 y2t –... – N yN t не имеет детерминированного тренда;

(b) y1t – 2 y2t –... – N yN t – стационарный ряд.

(Заметим, что (a) может выполняться при невыполненном (b), если детерминированный тренд устраняется, а стохастический тренд остается.) Пример DGP: yt = 5 + zt + ut, zt = zt – 1 + vt, где z1 = 0, ut = t + 0.25 t – 1 + 0.25 t + 1 + 0.1 t – 2 + 0.1 t + 2 + 0.1 t, t, t – не коррелированные между собой гауссовские процессы белого шума.

Здесь случайная величина ut коррелирована с t, t – 1, t + 1, t – 2, t + 2, так что непосредственное использование стандартных статистических выводов неоправданно.

Обратимся к смоделированной реализации этого DGP (50 наблюдений):

-10 20 30 40 50 60 70 80 90 Y Z Оба ряда yt и zt идентифицируются по 50 наблюдениям как интегрированные ряды первого порядка. Расмотрим эту пару в рамках треугольной системы Филлипса.

Оценивание методом наименьших квадратов уравнения yt = + zt + t дает следующий результат:

Dependent Variable: Y Method: Least Squares Sample(adjusted): 3 Included observations: 96 after adjusting endpoints Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

C 4.851262 0.133152 36.43410 0.Z 1.088870 0.047570 22.88977 0.Проверять гипотезу H0: = 1, используя обычный t-критерий, нельзя, если Cov(t, zs ) 0 хотя бы для одной пары значений t, s. Для выяснения вопроса о наличии или отсутствии такой коррелированности обратимся к кросс-коррелограмме, построенной для пары рядов et, zt, где et – ряд остатков, полученный при оценивании уравнения www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru yt = + zt + t. Левый график показывает поведение кросс-корреляций Cov(et, zt - i) для i = 0, 1, 2, … ; значения этих кросс-корреляций приведены в столбце “lag”. Правый график показывает поведение кросс-корреляций Cov(et, zt + i) для i = 0, 1, 2, … ;

значения этих кросс-корреляций приведены в столбце “lead”.

Included observations: Correlations are asymptotically consistent approximations e, Z(-i) e, Z(+i) i lag lead. |*********. |********* 0 0.9017 0.|.. |* 1 -0.0217 0.|. *|. 2 -0.0956 -0.|.. |. 3 0.0064 0.*|.. |. 4 -0.0510 0.*|.. |. 5 -0.0824 -0.. |.. |. 6 -0.0171 0.**|. **|. 7 -0.1858 -0.. |.. |. 8 -0.0292 -0.. |*. |* 9 0.0833 0.. |.. |. 10 0.0125 0.На основании этой кросс-коррелограммы можно предполагать наличие ненулевых кросс-корреляций в DGP до 7-го порядка. В соответствии с этим, добавим в правую часть оцененного ранее уравнения запаздывающие и опережающие разности переменной zt вплоть до 7-го порядка.

Dependent Variable: Y Sample(adjusted): 9 Included observations: 85 after adjusting endpoints Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

C 4.987362 0.020874 238.9236 0.Z 1.000689 0.007818 127.9955 0.D(Z) 1.006216 0.013125 76.66298 0.D(Z(-1)) 0.237875 0.012764 18.63643 0.D(Z(-2)) 0.089302 0.012810 6.971105 0.D(Z(-3)) -0.008934 0.012368 -0.722323 0.D(Z(-4)) -0.002997 0.012391 -0.241901 0.D(Z(-5)) -0.011646 0.012179 -0.956245 0.D(Z(-6)) -0.010012 0.011925 -0.839615 0.D(Z(-7)) -0.003586 0.011634 -0.308269 0.D(Z(1)) 0.262537 0.013373 19.63226 0.D(Z(2)) 0.116863 0.013365 8.744236 0.D(Z(3)) -0.010921 0.013219 -0.826184 0.D(Z(4)) 0.003903 0.013276 0.294017 0.D(Z(5)) 0.021536 0.013232 1.627644 0.D(Z(6)) -0.008452 0.012699 -0.665583 0.D(Z(7)) 0.002945 0.012199 0.241376 0.Ряд остатков не обнаруживает автокоррелированности: P-значения критерия Бройша – Годфри равны 0.252 (при глубине запаздываний K = 1) и 0.427 (K = 2). Поэтому мы www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru можем использовать для проверки гипотезы H0: = 1 обычную t-статистику без коррекции стандартной ошибки; ее значение равно t = (1.000689–1)/ 0.007818 = 0.0081, так что гипотеза H0: = 1 не отвергается.

Пример (продолжение) Изменим теперь DGP так, чтобы слева и справа в первом уравнении стояли I(1) ряды с линейным трендом.

DGP: yt = 5 + xt + ut, xt = 1 + xt – 1 + vt, где x1 = 0, а ut, vt – те же, что и ранее.

Смоделированная реализация этого DGP имеет вид -10 20 30 40 50 60 70 80 90 X Y Оцененное уравнение регрессии yt = + xt + t :

Dependent Variable: Y Method: Least Squares Sample(adjusted): 3 Included observations: 96 after adjusting endpoints Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

C 5.172117 0.201812 25.62837 0.X 0.997147 0.003444 289.5306 0.Кросс-коррелограмма ряда остатков от оцененного уравнения и приращений ряда xt имеет вид, аналогичный предыдущей коррелограмме. Поэтому опять переходим к оцениванию расширенного уравнения, дополненного семью запаздывающими и семью опережающими разностями:

Dependent Variable: Y Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

C 3.224675 0.098061 32.88423 0.X 1.000621 0.000520 1923.269 0.D(X) 1.009585 0.012922 78.12803 0.D(X(-1)) 0.241440 0.012760 18.92225 0.D(X(-2)) 0.093472 0.012938 7.224562 0.D(X(-3)) -0.004479 0.012656 -0.353864 0.www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru D(X(-4)) 0.001328 0.012648 0.104986 0.D(X(-5)) -0.007856 0.012272 -0.640121 0.D(X(-6)) -0.006808 0.011934 -0.570501 0.D(X(-7)) -0.001175 0.011513 -0.102067 0.D(X(1)) 0.266271 0.013016 20.45699 0.D(X(2)) 0.120232 0.012948 9.286042 0.D(X(3)) -0.007953 0.012873 -0.617748 0.D(X(4)) 0.006576 0.012866 0.511164 0.D(X(5)) 0.023956 0.012814 1.869580 0.D(X(6)) -0.007153 0.012294 -0.581813 0.D(X(7)) 0.003367 0.011821 0.284813 0.В ряде остатков и здесь не обнаруживается автокоррелированности, так что можно использовать для проверки гипотезы H0: = 1 обычную t-статистику без коррекции стандартной ошибки; ее значение равно t = (1.000621–1)/ 0.00520 = 1.194, гипотеза H0: = 1 не отвергается.

Включим в правую часть оцениваемого уравнения еще и тренд. При этом получаем:

Dependent Variable: Y Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

C 3.223725 0.101508 31.75848 0.@TREND -0.000317 0.007802 -0.040686 0.X 1.000938 0.007798 128.3544 0.D(X) 1.009461 0.013372 75.49241 0.D(X(-1)) 0.241345 0.013061 18.47841 0.D(X(-2)) 0.093380 0.013231 7.057897 0.D(X(-3)) -0.004552 0.012877 -0.353495 0.D(X(-4)) 0.001255 0.012867 0.097531 0.D(X(-5)) -0.007941 0.012541 -0.633231 0.D(X(-6)) -0.006888 0.012181 -0.565473 0.D(X(-7)) -0.001256 0.011767 -0.106726 0.D(X(1)) 0.266438 0.013736 19.39718 0.D(X(2)) 0.120397 0.013657 8.815884 0.D(X(3)) -0.007809 0.013441 -0.580980 0.D(X(4)) 0.006723 0.013451 0.499805 0.D(X(5)) 0.024098 0.013370 1.802394 0.D(X(6)) -0.007035 0.012719 -0.553156 0.D(X(7)) 0.003469 0.012172 0.285016 0.Гипотеза H0: = 1 не отвергается и для переменных, очищенных от тренда.

Коэффициент при трендовой переменной статистически незначим. Полученные результаты указывают на то, что мы имеем дело с детерминистской коинтеграцией.

Пример Рассмотрим теперь следующий DGP:

Wt = 5 + t + rwt, Vt = 1 + t + 0.5* rwt + 0.1*n2t, где rwt = rwt – 1 + 0.5*n3t – случайное блуждание без сноса, www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru n2t, n3t – некоррелированные гауссовские процессы белого шума с единичной дисперсией.

Смоделированная реализация длины 50 имеет вид:

5 10 15 20 25 30 35 40 45 V W Оцениваем статистическую модель Vt = + Wt + t :

Dependent Variable: V Included observations: Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

C -2.657128 0.325116 -8.172855 0.W 1.021898 0.011165 91.52908 0.Durbin-Watson stat 0.290480 Prob(F-statistic) 0.Ряд остатков --5 10 15 20 25 30 35 40 45 RESID_V_W идентифицируется как интегрированный (статистика Дики – Фуллера равна – 2.22 при 5% критическом значении – 3.46), так что ряды Vt и Wt не являются детерминистски коинтегрированными. Близость к 1 оценки коэффициента соответствует равенству угловых коэффициентов детерминированных трендов, входящих в состав в рядов Vt и Wt. Ряд Vt –Wt не имеет выраженного детерминированного тренда и его график отличается от только что представленного практически только сдвигом.

Добавим в правую часть оцениваемого уравнения трендовую составляющую:

www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru Dependent Variable: V Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

C -1.493506 0.035792 -41.72787 0.@TREND 0.503277 0.007131 70.57274 0.W 0.496897 0.007519 66.08810 0.Durbin-Watson stat 2.275079 Prob(F-statistic) 0. Теперь ряд остатков имеет вид 0.0.0.-0.-0.5 10 15 20 25 30 35 40 45 RESID_V_W_TREND и идентифицируется как стационарный (статистика Дики – Фуллера равна –7.09).

Кросс-коррелограмма ряда остатков и приращений ряда Wt e,W_DIF(-i) e,W_DIF(+i) i lag lead. |.. |. 0 0.0353 0.. |.. |* 1 -0.0237 0.*|.. |. 2 -0.0846 0.. |. *|. 3 0.0052 -0.*|.. |* 4 -0.0776 0.. |*. |* 5 0.1352 0.. |**. |. 6 0.1986 0.. |*. |** 7 0.1093 0.**|.. |* 8 -0.1751 0.**|. ****|. 9 -0.2456 -0.. |* *|. 10 0.1177 -0.указывает на то, что здесь для пополнения оцениваемого уравнения достаточно ограничиться включением в правую часть 9 запаздывающих и опережающих разностей ряда Wt.

Оценивая пополненное уравнение, получаем следующий результаты для коэффициентов при тренде и Wt :

@TREND 0.497313 0.023984 20.73533 0.W 0.505495 0.025512 19.81437 0.При этом гипотеза гауссовского белого шума для ряда остатков не отвергается. Это означает, что мы имеем здесь дело со стохастической коинтеграцией. В рамках расширенной модели не отвергается гипотеза о равенстве 0.5 коэффициентов при тренде и Wt. График ряда Vt – 0.5t – 0.5Wt имеет вид www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru -1.-1.-1.-1.-1.-1.5 10 15 20 25 30 35 40 45 SERи этот ряд идентифицируется как стационарный.

Подведем итог. Ряд Vt –Wt не имеет выраженного детерминированного тренда, но имеет стохастический тренд. Ряд Vt – 0.5Wt имеет выраженный линейный тренд, но не имеет стохастического тренда:

-5 10 15 20 25 30 35 40 45 SERНаконец, ряд Vt – 0.5t – 0.5Wt идентифицируется как стационарный, со средним значением – 1.493 и стандартным отклонением 0.104. И это находится в полном соответствии с использованным при моделировании реализаций процессом порождения данных. Действительно, в соответствии с этим DGP, Vt – 0.5t – 0.5Wt = (1 + t + 0.5* rwt + 0.1*n2t) – 0.5t – 0.5(5 + t + rwt) = = – 1.5 + 0.1*n2t.

www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru Глава 8. Процедура Йохансена 8.1. Оценивание ранга коинтеграции Пусть I(1) ряды y1t, …, yN t в совокупности образуют векторный ряд yt = (y1t, …, yN t)T, следующий модели векторной авторегрессии VAR(p) A(L) yt = µ + t, где A(L) = A0 – A1L – … – ApLp, A0, A1, …, Ap – матрицы размера (N N), A0 = IN (единичная матрица), т.е.

yt = µ + A1 yt – 1 + … + Ap yt – p + t.

Путем алгебраических преобразований эту модель можно представить также в виде yt = µ + 0 yt – 1 + 1 yt – 1 … + p – 1 yt – p + 1 + t, где 0 = A1 + … + Ap – IN, k = – (A k+1 + … + Ap), k = 1, 2, …, p – 1.

Заметим, что 0 = A1 + … + Ap – IN = – A(1), так что rank 0 = rank A(1).

Мы уже отмечали выше (разд.7.4), что если ряды y1t, …, yN t коинтегрированы, то матрица A(1) имеет пониженный ранг (rank A(1) < N). Этот же пониженный ранг будет иметь в этом случае и матрица 0. В общем случае, ранг матрицы 0 может принимать значения r = rank 0 = 0, 1, …, N.

• Значения r = 1, …, N – 1 соответствуют коинтегрированной VAR (ряды y1t, …, yN t ~ I(1) коинтегрированы).

• Если r = 0, то ряды y1t, …, yN t не коинтегрированы.

Pages:     | 1 |   ...   | 29 | 30 || 32 | 33 |   ...   | 35 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.