WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 28 | 29 || 31 | 32 |   ...   | 35 |

Если ряды v1 t, …, vr t не коррелированы с рядами vr + 1, t, …, vN t, то переменные yr, …, yN, t являются экзогенными в первой подсистеме, и ее можно оценивать + 1, t методом наименьших квадратов как многомерную регрессию y1 t, …, yr t на yr + 1, t, …, yN, t. Полученные оценки i j элементов матрицы С суперсостоятельны, хотя www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru распределение T(i j - ci j) не стремится к нормальному при T. В случае r = имеем y1 t = µ1 + c11 y 2, t – … – c1, N – 1 yN, t + v1 t, условное распределение оценок наименьших квадратов для коэффициентов (при фиксированных значениях y 2, t, …, yN, t ) является асимптотически нормальным, и это обеспечивает возможность использования стандартных процедур, основанных на t- и F-статистиках (конечно, в асимптотическом плане), с коррекцией стандартных ошибок коэффициентов в случае, если ряд v1 t не является белым шумом. Коррекция, как и в разд. 7.1, состоит в замене стандартной оценки дисперсии ряда v1 t оценкой долговременной дисперсии этого ряда.

Значения i j можно использовать для построения r линейно независимых (N 1)векторов – оценок коинтегрирующих векторов (1), …, (r) :

(1) = (1, 0, 0, …, 0, – 1 1, …, – 1, N - r )T,...

(r ) = (0, 0, 0, …, 1, – r 1, …, – r, N - r )T.

Используя построенные оценки коинтегрирующих векторов (1),..., (r ), получаем оценки искомых стационарных линейных комбинаций в виде 1, t - 1 = (T yt - 1,..., r, t - 1 = (T yt - 1.

1) r ) Теперь можно вместо указанной выше “истинной” ECM оценить систему yt = µ + t - 1 + 1 yt – 1 … + p – 1 yt – p + 1 + t, в которой 1, t - t - 1 = M.

r, t - При этом оценки наименьших квадратов для коэффициентов последней модели имеют те же самые асимптотические распределения, что и при оценивании истинной ECM.

Заметим, что если мы имеем дело со стохастической (а не c детерминистской) коинтеграцией, то для достижения стационарности рядов z1, t,..., zr, t приходится в “остационаривающую” линейную комбинацию рядов y1t, …, yN t включать еще и дополнительную трендовую составляющую, так что в этом случае речь идет о существовании стационарных линейных комбинаций (N +1) переменных y1t, …, yN t и t, в которых не все коэффициенты равны нулю.

Если ранг матрицы A(1) равен r, то тогда существует r таких стационарных линейных комбинаций www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru 11 y1t +... + 1N y1N + 1, N + 1 t, ………………………………… r1 y1t +... + r N y1N + r, N + 1 t.

с линейно независимыми ((N + 1)1)-векторами (1) = ( 11,..., 1N, 1, N + 1)T ……………………………..

(r) = ( r1,..., r N, r, N + 1)T.

При этом последние векторы интерпретируются как линейно независимые коинтегрирующие векторы в системе стохастически коинтегрированных рядов.

Возможность наличия нескольких линейно независимых коинтегрирующих векторов значительно усложняет задачу построения модели коррекции ошибок (ECM), поскольку, как минимум, приходится по реальным статистическим данным оценивать количество таких векторов. Само по себе решение о коинтегрированности нескольких I(1) рядов в результате использования рассмотренных выше процедур Дики – Фуллера отнюдь не дает нам никакой информации о ранге коинтеграции r ;

для этого требуются другие статистические процедуры.

Но если мы не знаем ранга коинтеграции, то теряется смысл оценивания уравнения регрессии в уровнях y1t = с + 2 y2t +... + N yN t + ut (или y1t = с + 2 y2t +... + N yN t + N + 1 t + ut). Действительно, если r > 1, то вектор 2 N 2 N N +(1, –, …, – )T (или вектор (1, –, …, –, – )T) является оценкой всего www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru лишь одной из возможных линейных комбинаций r линейно независимых коинтегрирующих векторов, которая может и не иметь разумной экономической интерпретации.

Но даже если ранг коинтеграции r по каким-то причинам известен, при r > возникает другая проблема. В рассмотренном выше представлении Филлипса линейно независимые коинтегрирующие векторы имели вид (1) = (1, 0, 0, …, 0, – c11, …, – c1, N – r )T, (2) = (0, 1, 0, …, 0, – c21, …, – c2, N – r )T,...

(r) = (0, 0, 0, …, 1, – cr 1, …, – cr, N – r )T.

Любая линейная комбинация этих векторов (не все коэффициенты которой равны нулю) также является коинтегрирующим вектором, а совокупность всех возможных линейных комбинаций этих векторов образует линейное векторное пространство размерности r. Любой вектор из этого пространства (не все коэффициенты которого равны нулю) является коинтегрирующим вектором для y1t, …, yN t, а векторы (1), …, (r) образуют всего лишь один из возможных базисов этого пространства. В практических задачах на первый план (наряду с определением ранга коинтеграции) выходит идентификация коинтегрирующих векторов, приводящих к долговременным соотношениям, имеющим разумную экономическую интерпретацию.

Мы вернемся к этому вопросу в главе 8.

В настоящее время наиболее распространенной является методика определения ранга коинтеграции, предложенная Йохансеном в работе [Johansen (1988)]. Однако точное описание этой процедуры требует более детального рассмотрения соответствующего математического аппарата. Мы рассмотрим эту процедуру в разд.

8.1, а сейчас сосредоточимся на случае, когда r = 1, т.е. (с точностью до пропорциональности) имеется всего один коинтегрирующий вектор.

Наиболее простой является ситуация, когда N = 2. В этом случае, если рассматриваемые ряды y1t и y2t коинтегрированы, то ранг коинтеграции может быть равным только единице. Мы уже отмечали ранее, что при построении модели коррекции ошибок на первом шаге процедуры Энгла – Гренджера, вообще говоря, нельзя пользоваться обычными регрессионными критериями (даже в асимптотическом плане). И причина этого в том, что получаемые на первом шаге оценки и статистики в общем случае имеют нестандартные асимптотические распределения.

www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru Об одном исключении из общего случая мы уже говорили – это треугольная система Филлипса yt = xt + t, xt = xt – 1 + t, где t и t – не коррелированные между собой процессы белого шума.

Вторым исключением является ситуация, исследованная в работе [West (1988)]:

yt = + xt + ut, где xt ~ I(1), E(xt) = µ 0 (так что ряд xt содержит и стохастический и детерминированный тренд), ut ~ I(0) – стационарный ряд с нулевым средним, не обязательно являющийся процессом белого шума.

В цитированной работе доказывается асимптотическая нормальность соответствующим образом нормированной оценки наименьших квадратов для вектора (, )T. Если ряд ut не является процессом белого шума, то для применения этого результата необходимо скорректировать значения t-статистик, вычисляемых по стандартным формулам, соответствующим предположениям классической линейной модели регрессии.

В знаменателях обычных t-статистик для параметров и стоят оценки стандартных ошибок оценок T и T этих параметров, а именно:

- 1 - T T S (X X ) – для T, S (X X ) – для T.

11 Здесь X – (T2)-матрица значений объясняющих переменных (1 и xt) в T наблюдениях, а S2 – несмещенная оценка дисперсии ut в случае, когда ut ~ i.i.d., T 2 S =, t = yt - - xt.

t n - t = Поскольку у нас не предполагается, что ut ~ i.i.d., то для сохранения t-распределения (точнее, N(0, 1) – распределения) t-статистик (хотя бы при больших T), требуется замена S2 на другую подходящую величину.

Мы предположили, что ряд ut стационарный. Пусть = Cov(ut, ut+h) – h последовательность его автоковариаций. West показал, что подходящей является замена S2 долговременной дисперсией ряда ut (см. разд. 6.8.1), которая для стационарного ряда вычисляется по формуле 2 =.

h h = Проблема, однако в том, что значение 2 не известно, и его приходится оценивать по имеющимся наблюдениям. Для этого, в свою очередь, следовало бы оценить www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru бесконечное множество автоковариаций, h = 0, ± 1, ± 2, …,, что, конечно, h невозможно. Из-за этого, в конечном счете, приходится, так или иначе, делать более определенные предположения о характере автокоррелированности ряда ut, что дало бы возможность ограничиться при оценивании 2 оценкой лишь конечного числа автоковариаций = Cov(ut, ut+h). В процессе такого оценивания приходится h учитывать и то, что автоковариации с возрастанием h оцениваются все менее h точно, и поэтому желательно регулировать (уменьшать) влияние на оценку h долговременной дисперсии 2 при возрастании h.

Если исходить из того, что случайный процесс ut может быть представлен в виде процесса MA(q) конечного порядка q, то тогда = 0 для |h| > q, и можно не h заниматься получением оценок для таких h. Это, вместе с предшествующими h соображениями, приводит к оценке q 0 h, 2 = + 1- h q +h = T h где = t - 1 – оценки автоковариаций. При этом можно показать (см., t h T t = h + например, [Hamilton (1994), p. 513]), что выбор q = O(T 1/5) обеспечивает состоятельность такой оценки для 2 (оценка Newey–West).

В рамках пакета EVIEWS реализация такого метода производится без труда. Следует просто при спецификации уравнения заказать опцию: “вычисление стандартных ошибок методом Newey-West”. (Отметим, однако, что в этой опции используется несколько отличающаяся от приведенной оценка, реализующая еще и поправку на возможную гетероскедастичность ряда.) www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru Если предположить, что динамика ряда ut хорошо аппроксимируется моделью авторегрессии AR(p) с конечным p, ut = a1 ut – 1 + a2 ut – 2 + … + ap ut – p + t, где t – инновационный процесс белого шума с D(t) =2, то тогда 2 = 2 (1 – a1 – a2 –... – ap)2.

Поэтому в такой ситуации в качестве оценки для 2 естественно взять величину 2 =, (1- 1 -2-K- p) где 1, 2, K, p – оценки наименьших квадратов для a1, a2,..., ap, T 2 =, T - p t = p + t – остатки при оценивании модели авторегрессии для ряда t.

В любом случае, замена S2 на 2 равносильна умножению значения t-статистики, полученного обычным путем, на (S ).

Пример Смоделируем систему DGP: yt = 2 xt + ut, xt = 1 + xt – 1 + vt, где ut = 0.4 ut – 1 + 0.2 ut – 2 + t – стационарный AR(2) ряд, t, t – гауссовские процессы белого шума, коррелированные в совпадающие моменты времени: Cov(t, t) = 0.8 :

www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru -10 20 30 40 50 60 70 80 90 X Y Оценивание статистической модели SM: yt = + xt + ut обычным методом наименьших квадратов дает следующие результаты:

Dependent Variable: Y Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

C -0.398071 0.172093 -2.313111 0.X 2.031938 0.007241 280.6336 0.R-squared 0.998757 Mean dependent var 37.Adjusted R-squared 0.998745 S.D. dependent var 30.S.E. of regression 1.071308 Akaike info criterion 2.Sum squared resid 112.4748 Schwarz criterion 3.Log likelihood -147.7718 F-statistic 78755.Durbin-Watson stat 1.080957 Prob(F-statistic) 0.Если ориентироваться на приведенные значения статистик, то оба параметра оказываются статистически значимыми, хотя в DGP константа в уравнении для yt отсутствует. Ряд остатков --10 20 30 40 50 60 70 80 90 RESIDS идентифицируется по коррелограмме как AR(2). Оцененная AR(2) модель:

Dependent Variable: RESIDS Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

RESIDS(-1) 0.363522 0.100494 3.617344 0.RESIDS(-2) 0.205074 0.100427 2.042024 0.R-squared 0.240364 Mean dependent var -0.Adjusted R-squared 0.232451 S.D. dependent var 1.S.E. of regression 0.941891 Akaike info criterion 2.Sum squared resid 85.16727 Schwarz criterion 2.Отсюда находим оценку для :

www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru = 0.941891/ (1 – 0.363522 – 0.205074) = 2.183, так что (S ) = 1.071/ 2.183 = 0.491.

Это приводит к следующим скорректированным значениям t-статистик и Pзначений:

t : -2.313111 (P-value = 0.0228) -1.135738 (P-value = 0.2588) t : 280.6336 (P-value = 0.0000) 137.791098 (P-value = 0.0000).

При использовании скорректированных значений постоянная в оцениваемом уравнении становится статистически незначимой.

Снимем теперь ограничение N = 2 и будем интересоваться существующей и единственной (по предположению) долговременной связью между N нестационарными I(1) рядами y1t, …, yN t.

Оценивание статистической модели y1t = с + y2t +... + yN t + ut 2 N приводит в этом случае к суперсостоятельным оценкам, независимо от того, будут ли регрессоры иметь линейный тренд, если только в правую часть уравнения не включается тренд. Однако, как мы уже отмечали выше в разд. 7.2, повышенная скорость сходимости по вероятности оценок коэффициентов к истинным значениям этих коэффициентов вовсе не предотвращает смещения оценок при небольшой длине ряда наблюдений. Многие авторы на основании результатов моделирования отмечали весьма значительное смещение оценок коэффициентов при небольших T.

Как и в случае N = 2, особое место в этом отношении занимает треугольная система Филлипса www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru y1t = с + 2 y2t +... + N yN t + 1t y2t = y2, t – 1 + 2t,...

yN t = y N, t – 1 + N t, где t = (1t, 2t,..., N t)T – N-мерный гауссовский белый шум (т.е. 1, 2,... – последовательность независимых, одинаково распределенных случайных векторов, имеющих N-мерное нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием и ковариационной матрицей =(ij) ), причем случайные величины 2t,..., N t могут быть коррелированнными между собой, но 1t не коррелирована ни с одной из них (так что 1 j = 0 для всех j = 2, …, N ). В этом случае регрессоры y2t, …, yN t не 2 N коинтегрированы, и = (1, –, …, – )T – единственный коинтегрирующий вектор. Условное распределение 2 N ( – с, – 2, …, – N)T {y2t, …, yN t, t = 1, …, T} является N-мерным нормальным, с нулевым средним, так что F-критерии для проверки линейных гипотез о значениях коэффициентов с, 2,..., N имеют точные Fраспределения, а t-критерии – точные t-распределения.

Pages:     | 1 |   ...   | 28 | 29 || 31 | 32 |   ...   | 35 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.