WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 35 |

В дальнейшем, говоря о стационарности некоторого ряда xt, мы (если не оговаривается противное) будем иметь в виду, что этот ряд стационарен в широком смысле (так что у него существуют математическое ожидание и дисперсия).

Итак, пусть xt – стационарный ряд с E(Xt) µ, D(Xt) и () = Corr(Xt, Xt+).

Поскольку в данном случае коэффициент () измеряет корреляцию между членами одного и того же временного ряда, его принято называть коэффициентом автокорреляции (или просто автокорреляцией). По той же причине о ковариациях () = Cov(Xt, Xt +) говорят как об автоковариациях. При анализе изменения величины () в зависимости от значения принято говорить об автокорреляционной функции ( ). Автокорреляционная функция безразмерна, т.е. не зависит от масштаба измерения анализируемого временного ряда. Ее значения могут изменяться в пределах от -1 до +1; при этом (0) = 1. Кроме того, из стационарности ряда xt следует, что () = (-), так что при анализе поведения автокорреляционных функций обычно ограничиваются рассмотрением только неотрицательных значений.

График зависимости () от часто называют коррелограммой. Он может использоваться для характеризации некоторых свойств механизма, порождающего временной ряд. Для дальнейшего заметим, что если xt – стационарный временной ряд и www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru c – некоторая постоянная, то временные ряды xt и (xt + c) имеют одинаковые коррелограммы.

Если предположить, что временной ряд описывается моделью стационарного гауссовского процесса, то полное описание совместного распределения случайных величин X 1,..., X n требует задания n+1 параметров: µ, (0), (1), …, (n -1) (или µ, (0), (1), …, (n -1)). Это намного меньше, чем без требования стационарности, но все же больше, чем количество наблюдений. В связи с этим, даже для стационарных гауссовских временных рядов приходится производить дальнейшее упрощение модели с тем, чтобы ограничить количество параметров, подлежащих оцениванию по имеющимся наблюдениям. Мы переходим теперь к рассмотрению некоторых простых по структуре временных рядов, которые, в то же время, полезны для описания эволюции во времени многих реальных экономических показателей.

2.2. Процесс белого шума Процессом белого шума (“белым шумом”, “чисто случайным временным рядом”) называют стационарный временной ряд xt, для которого E(Xt) 0, D(Xt) > и () = 0 при 0.

Последнее означает, что при t s случайные величины Xt и Xs, соответствующие наблюдениям процесса белого шума в моменты t и s, некоррелированы.

В случае, когда Xt имеет нормальное распределение, случайные величины X 1,..., X взаимно независимы и имеют одинаковое нормальное распределение N(0, ), n образуя случайную выборку из этого распределения, т.е. Xt ~ i.i.d. N(0, ). Такой ряд называют гауссовским белым шумом.

В то же время, в общем случае, даже если некоторые случайные величины X1,..., Xn взаимно независимы и имеют одинаковое распределение, то это еще не означает, что они образуют процесс белого шума, т.к. случайная величина Xt может просто не иметь математического ожидания и/или дисперсии (в качестве примера мы опять можем указать на распределение Коши).

Временной ряд, соответствующий процессу белого шума, ведет себя крайне нерегулярным образом из-за некоррелированности при t s случайных величин Xt и Xs. Это иллюстрирует приводимый ниже график смоделированной реализации гауссовского процесса белого шума (NOISE) с D(Xt) 0.04.

0.0.0.0.0.-0.-0.-0.50 100 150 200 250 300 350 400 NOISE www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru В связи с этим процесс белого шума не годится для непосредственного моделирования эволюции большинства временных рядов, встречающихся в экономике.

В то же время, как мы увидим ниже, такой процесс является базой для построения более реалистичных моделей временных рядов, порождающих “более гладкие” траектории ряда. В связи с частым использованием процесса белого шума в дальнейшем изложении, мы будем отличать этот процесс от других моделей временных рядов, используя для него обозначение t.

В качестве примера ряда, траектория которого похожа на реализацию процесса белого шума, можно указать, например, на ряд, образованный значениями темпов изменения (прироста) индекса Доу-Джонса в течение 1984 года (дневные данные).

График этого ряда имеет вид ---50 100 150 200 DOW-JONES_TEMP Заметим, однако, что здесь наблюдается некоторая асимметрия распределения вероятностей значений xt (скошенность этого распределения в сторону положительных значений), что исключает описание модели этого ряда как гауссовского белого шума.

2.3. Процесс авторегрессии Одной из широко используемых моделей временных рядов является процесс авторегрессии (модель авторегрессии). В своей простейшей форме модель авторегрессии описывает механизм порождения ряда следующим образом:

Xt = a Xt – 1 + t, t = 1, …, n, где t – процесс белого шума, имеющий нулевое математическое ожидание и дисперсию 2, X0 – некоторая случайная величина, а a 0 – некоторый постоянный коэффициент.

При этом E(Xt) = a E(X t – 1), так что рассматриваемый процесс может быть стационарным только если E(Xt) = 0 для всех t = 0, 1, …, n.

Далее, Xt = a X t – 1 + t = a (a Xt –2 + t–1) + t = a2 Xt–2 + a t–1 + t = … = = a t X0 + a t –1 1 + a t–2 2 + … + t, Xt–1 = a Xt–2 + t–1 = a t–1 X0 + a t–2 1 + a t–3 2 + … + t–1, Xt–2 = a Xt–3 + t–2 = a t–2 X0 + a t–3 1 + a t–4 2 + … + t–2, … X1 = a X0 + 1.

www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru Если случайная величина X0 не коррелирована со случайными величинами 1, 2, …, n, то отсюда следует, что Cov(X0, 1) = 0, Cov(X1, 2) = 0, …, Cov(Xt–2, t–1) = 0, Cov(Xt–1, t) = и D(Xt) = D(aXt–1 + t) = a2D(Xt–1) + D(t), t = 1, …, n.

Предполагая, наконец, что D(X0) = D(Xt) = X2 для всех t = 1, …, n, находим:

X2 = a2X2 + 2.

Последнее может выполняться только при выполнении условия a2 < 1, т.е.

a < 1.

При этом получаем выражение для X X2 = 2 (1– a2).

Что касается автоковариаций и автокорреляций, то Cov(Xt, Xt +) = Cov(a t X0 + a t–1 1 + a t–2 2 + … + t, a t+X0 + a t+–1 1 + a t+–2 2 + … + t+) = = a2t+D(X0) + a (1 + a2 + … + a2(t–1))2 = = a [a2t2 (1– a2) + (1– a2t)2 (1– a2)] = [a (1– a2)]2, и Corr(Xt, Xt +) = a, т.е. при сделанных предположениях автоковариации и автокорреляции зависят только от того, насколько разнесены по времени соответствующие наблюдения.

Таким образом, механизм порождения последовательных наблюдений, заданный соотношениями Xt = a Xt–1 + t, t = 1, …, n, порождает стационарный временной ряд, если • a < 1 ;

• случайная величина X0 не коррелирована со случайными величинами 1, 2, …, n ;

• E(X0) = 0 ;

• D(X0) = 2 (1– a2).

При этом Corr(Xt, Xt +) = () = a.

Рассмотренная модель порождает (при указанных условиях) стационарный ряд, имеющий нулевое математическое ожидание. Однако ее можно легко распространить и на временные ряды yt с ненулевым математическим ожиданием E(Yt) = µ, полагая, что указанная модель относится к центрированному ряду Xt = Yt –µ :

Yt –µ = a (Yt–1 – µ ) + t, t = 1, …, n, так что Yt = aYt–1 + + t, t = 1, …, n, где = µ (1– a).

Поэтому без ограничения общности можно обойтись в текущем рассмотрении моделями авторегрессии, порождающими стационарный процесс с нулевым средним.

www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru Продолжая рассмотрение для ранее определенного процесса Xt (с нулевым математическим ожиданием), заметим, что для него (1) = E(Xt ·Xt–1) = E [(a Xt–1 + t) ·Xt–1] = a (0), так что (1) = (1) (0) = a, и при значениях a > 0, близких к 1, между соседними наблюдениями имеется сильная положительная корреляция, что обеспечивает более гладкий характер поведения траекторий ряда по сравнению с процессом белого шума. При a < 0 процесс авторегрессии, напротив, имеет менее гладкие реализации, поскольку в этом случае проявляется тенденция чередования знаков последовательных наблюдений.

Следующие два графика демонстрируют поведение смоделированных реализаций временных рядов, порожденных моделями авторегрессии Xt = a Xt–1 + t с 2 = 0.при a = 0.8 (первый график) и a = – 0.8 (второй график).

1.5 1.1.1.0.0.0.0.-0.-0.-1.-1.0 -1.50 100 150 200 250 300 350 400 450 50 100 150 200 250 300 350 400 a = 0.8 a = - 0.Теперь мы должны обратить внимание на следующее важное обстоятельство. В практических ситуациях “стартовое” значение X0 = x0, на основе которого в соответствии с соотношением Xt = a Xt–1 + t строятся последующие значения ряда Xt, может относиться к концу предыдущего периода, на котором просто в силу других экономических условий эволюция соответствующего экономического показателя следует иной модели, например, модели Xt = a Xt–1 + t с другими значениями a и 2.

Более того, статистические данные о поведении ряда до момента t = 0 могут отсутствовать вовсе, так что значение x0 является просто некоторой наблюдаемой числовой величиной. В обоих случаях ряд Xt уже не будет стационарным даже при a < 1. Рассмотрим подробнее характеристики и поведение ряда в таких ситуациях.

Если не конкретизировать модель, в соответствии с которой порождались наблюдения до момента t = 1, то значение x0 можно рассматривать как фиксированное. При этом Xt = a t x0 + a t–1 1 + a t–2 2 + … + t, E(Xt) = a t x0 + a t–1E(1) + a t–2E(2) + … + E(t) = a t x0, D(Xt) = (a2(t–1) + a2(t–2) + … + 1) 2 = [(1– a2t) (1– a2)]= 2 (1– a2) – [a2t (1– a2)]2, Cov(Xt, Xt +) = Cov(Xt – a t x0, Xt + – a t+ x0) = a (1 + a2 + … + a2(t–1))= a (1– a2t)2 (1– a2), так что и математическое ожидание и дисперсия случайной величины Xt, а также ковариации Cov(Xt, Xt +) зависят от t.

В то же время, если a < 1, то при t получаем E(Xt) 0, D(Xt) 2 (1– a2), Cov(Xt, Xt +) a [2 (1– a2)], www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru т.е. при t значения математического ожидания и дисперсии случайной величины Xt, а также автоковариации Cov(Xt, Xt +) стабилизируются, приближаясь к своим предельным значениям.

С этой точки зрения, условие a < 1 можно трактовать как условие стабильности ряда, порождаемого моделью Xt = aXt–1 + t при фиксированном значении X0 = x0.

Рассмотрим в этой ситуации наряду с только что исследованным рядом Xt, t - k X = at x0 + t-k, a < 1, t a k = ряд, порождаемый моделью ~ k X = t-k.

t a k = Имеем:

~ k X - X = -at x0 + ;

t t a t -k k =t при t k at x0 0 и E t-k = 2k 0.

a a k = t k = t ~ Таким образом, ряд Xt является предельным для Xt ; ряд Xt “выходит на ~ ~ режим” Xt при t. При этом выход ряда Xt на режим Xt происходит тем быстрее, чем ближе X0 и a к нулю.

~ Для ряда Xt ~ k k E(Xt)= E t-k = E(t-k )= 0, a a k = 0 k = ~ k k D( Xt ) = D t-k = D(t-k )= 2k =, a a a 1- a k = 0 k = 0 k = ~ ~ k k 2k Cov( Xt, Xt + ) = E t-k t+ -k = a E(t2 ) = a, a a a -k 1- ak = 0 k = 0 k = ~ так что Xt – стационарный ряд (в широком смысле). Кроме того, ~ k X = t - 1 a t-k, a k = так что ~ ~ k aX + t = t-k = Xt, t - 1 a k = ~ т.е. Xt удовлетворяет соотношению ~ ~ Xt = aXt - 1 + t.

~ ~ Поскольку t не входит в правую часть выражений для Xt - 1, Xt - 2,..., то ~ ~ случайная величина t не коррелирована с Xt - 1, Xt - 2, …, т.е. t является инновацией www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru ~ (обновлением). В итоге получаем, что Xt – стационарный процесс авторегрессии первого порядка, и фактически именно этот процесс имеется в виду, когда говорят о стационарном процессе AR(1).

Проиллюстрируем сказанное выше с помощью смоделированных реализаций ряда xt, порожденных моделью Xt = a Xt–1 + t с = 0.2 и различными значениями коэффициента a и стартового значения x0.

x0=2; a=0.5 x0=0; a1=0.2.5 2.2.0 2.1.5 1.1.0 1.0.5 0.0.0 0.-0.5 -0.10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 10 20 30 40 50 60 70 80 90 X X x0=2; a=0.9 x0=0; a=0.2.5 2.2.0 2.1.5 1.1.0 1.0.5 0.0.0 0.-0.5 -0.10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 10 20 30 40 50 60 70 80 90 X X Рассмотренную только что модель Xt = a Xt–1 + t называют процессом авторегрессии первого порядка. Процесс авторегрессии порядка p (в кратком обозначении – AR(p)) определяется соотношениями Xt = a1 Xt–1 + a2 Xt–2 + … + ap Xt–p + t, ap 0, где t – процесс белого шума с D(t) = 2. Для простоты мы будем теперь сразу полагать, что Cov(Xt–s, t) = 0 для всех s > 0; при этом говорят, что случайные величины t образуют инновационную (обновляющую) последовательность, а случайная величина t называется инновацией для наблюдения в момент t. Такая терминология объясняется тем, что наблюдаемое значение ряда в момент t получается здесь как линейная комбинация p предшествующих значений этого ряда плюс не коррелированная с этими предшествующими значениями случайная составляющая t, отражающая обновленную информацию, скажем, о состоянии экономики, на момент t, влияющую на наблюдаемое значение Xt.

При рассмотрении процессов авторегрессии и некоторых других моделей удобно использовать оператор запаздывания L (lag operator), который воздействует на временной ряд и определяется соотношением L Xt = Xt–1 ;

www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru в некоторых руководствах его называют оператором обратного сдвига и используют для него обозначение B (backshift operator).

Если оператор запаздывания применяется k раз, что обозначается как Lk, то это дает в результате Lk Xt = Xt–k.

Выражение a1 Xt–1 + a2 Xt–2 + … + ap Xt–p можно записать теперь в виде (a1L + a2 L2 + … + ap Lp) Xt, а соотношение, определяющее процесс авторегрессии p-го порядка, в виде a(L) Xt = t, где a(L) = 1– (a1L + a2 L2 + … + ap Lp).

Для того, чтобы такой процесс был стационарным, все корни алгебраического уравнения a(z) = (вещественные и комплексные) должны лежать вне единичного круга z 1. (В частности, для процесса AR(1) имеем a(z) = 1– a z, уравнение a(z) = 0 имеет корень z = 1/a, и условие стационарности z > 1 равносильно уже знакомому нам условию a < 1. ) При этом решение уравнения a(L) Xt = t можно представить в виде Xt = t = t- j, где bj <, bj a(L) j=0 j = откуда, в частности, следует, что E(Xt) = E jt- j = E(t- j ) = 0.

Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 35 |





© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.