WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 27 | 28 || 30 | 31 |   ...   | 35 |

Пример Смоделируем реализации четырех рядов y1t, y2t, y3t, y4t, следуя процессу порождения данных DGP: y1t = y2, t + y3, t + y4, t + 1t, y2t = y2, t – 1 + 2t, y3t = y3, t – 1 + 3t, y4t = y4, t – 1 + 4t, где 1t, 2t, 3t, 4t – независимые друг от друга процессы гауссовского белого шума с дисперсиями, равными 1 для 2t, 3t, 4t и 2 для 1t.

Графики полученных реализаций для T = 200 приведены ниже.

www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru ---20 40 60 80 100 120 140 160 180 Y1 YY2 YНе зная точно процесс порождения данных, мы должны были бы начать с исследования отдельных рядов. У всех четырех рядов не обнаруживается детерминированного тренда. Проверка по критерию Дики – Фуллера дает значения t-статистик, равные – 2.18, – 1.78, – 0.57, –1.70, соответственно. Все 4 ряда признаются интегрированными.

Продифференцированные ряды идентифицируются как гауссовские белые шумы, так что ряды y1t, y2t, y3t, y4t идентифицируются как AR(1) ряды с единичным корнем, т.е.

как интегрированные ряды порядка 1.

Теперь можно приступить к проверке этих четырех рядов на коинтегрированность.

(1) Если “экономическая теория” предполагает теоретическое долговременное соотношение между рассматриваемыми рядами в форме y1t = y2, t + y3, t + y4, t, то мы просто проверяем на интегрированность ряд y1t – y2, t – y3, t – y4, t.

График этого ряда ---20 40 60 80 100 120 140 160 180 COINT вполне похож на график стационарного ряда, что подтверждается проверкой по критерию Дики – Фуллера: вычисленное значение t-статистики критерия равно – 15.07. Гипотеза некоинтегрированности рядов отвергается.

Представим теперь, что теория не предлагает нам готового коинтегрирующего вектора.

(2a) Оценивание статистической модели без включения в нее константы дает:

Dependent Variable: YMethod: Least Squares Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru Y2 0.996084 0.009973 99.88161 0.Y3 0.992550 0.009578 103.6296 0.Y4 1.002305 0.012393 80.87922 0.При оценивании тестового уравнения Дики – Фуллера для ряда остатков получаем Augmented Dickey-Fuller Test Equation Dependent Variable: D(RESID_2A) Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

RESID_2A(-1) -1.075552 0.070892 -15.17178 0.Вычисленное значение t-статистики критерия равно – 15.17, что намного ниже 5% критического значения – 3.74 ([Hamilton (1994), Table B.9, Case 1]). Гипотеза некоинтегрированности отвергается.

(2b) Оценивание статистической модели с включением константы:

Dependent Variable: YVariable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

C 0.332183 0.373542 0.889279 0.Y2 1.002583 0.012369 81.05843 0.Y3 0.987369 0.011215 88.04048 0.Y4 0.999022 0.012937 77.22129 0.При оценивании тестового уравнения Дики – Фуллера для ряда остатков получаем Augmented Dickey-Fuller Test Equation Dependent Variable: D(RESID_2B) Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

RESID_2B(-1) -1.079049 0.070861 -15.22764 0.Вычисленное значение t-статистики – 15.23 опять намного ниже 5% критического значения, которое здесь равно – 4.11 ([Hamilton (1994), Table B.9, Case 2]). Гипотеза некоинтегрированности отвергается.

(3) Модифицируем теперь ряд y1t, переходя к ряду y*1t = y1t + 0.75t, график которого в сравнении с графиком ряда y1t имеет следующий вид:

-20 40 60 80 100 120 140 160 180 Y1 Y1_STAR Картина изменения всех 4 рядов принимает вид www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru -20 40 60 80 100 120 140 160 180 Y1_STAR YY2 Y(3a) Оцениваем статистическую модель с константой в правой части:

Dependent Variable: Y1_STAR Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

C 11.49053 2.704802 4.248195 0.Y2 -1.333762 0.089561 -14.89224 0.Y3 2.856952 0.081207 35.18115 0.Y4 0.072630 0.093677 0.775323 0.В этом случае график остатков имеет несколько отличный вид:

---20 40 60 80 100 120 140 160 180 RESID_3A Проверка по Дики – Фуллеру дает следующие результаты:

При оценивании тестового уравнения Дики – Фуллера для ряда остатков получаем Augmented Dickey-Fuller Test Equation Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

RESID_3A(-1) -0.119805 0.033630 -3.562431 0.Вычисленное значение t-статистики – 3.56 выше 5% критического значения, которое здесь равно – 4.16 ([Hamilton (1994), Table B.9, Case 3]). Гипотеза некоинтегрированности не отвергается.

(3b) Включаем в правую часть тренд:

Dependent Variable: Y1_STAR Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

C 0.304068 0.390739 0.778187 0.www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru @TREND 0.751890 0.007507 100.1621 0.Y2 1.008470 0.026468 38.10166 0.Y3 0.982658 0.021830 45.01453 0.Y4 1.001356 0.015942 62.81247 0.График остатков:

----20 40 60 80 100 120 140 160 180 RESID_3B Последний график похож на график стационарного ряда, что подтверждается проверкой по Дики – Фуллеру:

Augmented Dickey-Fuller Test Equation Dependent Variable: D(RESID_3B) Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

RESID_3B(-1) -1.079492 0.070859 -15.23448 0.Вычисленное значение t-статистики – 15.234 намного ниже 5% критического значения, которое здесь равно –4.49 ([Hamilton (1994), Table B.9, Case 3]). Гипотеза некоинтегрированности отвергается.

Последние два результата весьма важны для уточнения того, что понимается под коинтеграцией в настоящее время.

Фактически, мы обнаружили следующее. Ряды y1t, y2t, y3t, y4t коинтегрированы в том смысле, который был определен выше (коинтегрированы в узком смысле). Именно в таком виде ввели в обиход понятие коинтеграции Энгл и Гренджер. Ряды y*1t, y2t, y3t, y4t не являются коинтегрированными в узком смысле. В то же время, включение в правую часть статистической модели трендовой составляющей приводит к стационарным остаткам.

Вспомним в связи с этим, что при включении тренда в правую часть линейного регрессионного уравнения коэффициенты при объясняющих переменных интерпретируются как коэффициенты линейной связи между переменными, очищенными от детерминированного тренда. Последние же действительно были коинтегрированы по построению.

Наблюдаемая ситуация известна теперь под названием “стохастическая коинтеграция”. Оно указывает на наличие коинтеграционной связи между стохастическими трендами, входящими в состав рассматриваемых рядов, и не требует согласованности детерминированных трендовых составляющих ( если таковые имеются). В этом случае коинтегрирующий вектор аннулирует стохастический тренд, но не обязан одновременно аннулировать и детерминированный тренд. Другими словами, существует линейная комбинация рассматриваемых рядов, которая образует ряд, стационарный относительно детерминированного тренда, но не обязательно стационарный.

В противоположность стохастической коинтеграции, при наличии коинтеграции в узком смысле коинтегрирующий вектор аннулирует и стохастический и www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru детерминированный тренды, т.е. существует линейная комбинация рассматриваемых рядов, образующая стационарный ряд. В связи с этим, о коинтеграции в узком смысле говорят также как о детерминистской коинтеграции.

Замечание Здесь самое время сделать одно замечание. Мы говорили в разд. 7.1 о том, что при отсутствии коинтеграции между двумя интегрированными рядами непосредственное оценивание модели yt = + xt + u t бессмысленно, т.к. получаемая оценка T не является оценкой какого-либо теоретического параметра связи между переменными xt и yt. Если оба ряда имеют помимо стохастического еще и детерминированный тренд, то оценка T все же не является случайной величиной, а сходится к некоторой постоянной. Соответствующее исследование, проведенное в работе [Entorf (1992)], показало следующее.

Пусть DGP: xt = µx + xt – 1 + 1t, yt = µy + yt – 1 + 2t, где 1t и 2t – некоррелированные между собой процессы белого шума, причем µx, µy 0. Тогда при оценивании статистической модели SM: yt = + xt + u t оценка T для, вычисляемая по T наблюдениям, при T расходится, а оценка T для сходится по вероятности при T к отношению µy / µx.

Если при тех же условиях оценивать статистическую модель SM: yt = + xt + t + u t, T то тогда (при T ) сходится по вероятности к µy, а T сходится по распределению к некоторой случайной величине, как и в случае ложной регрессии для случайных блужданий без сносов.

7.4. Оценивание коинтегрированных систем временных рядов Пусть мы имеем N временных рядов y1t, …, yN t, каждый из которых является интегрированным порядка 1. Если существует такой вектор = (1,..., N)T, отличный от нулевого, для которого 1 y1t +... + N yN t ~ I(0) – стационарный ряд, то ряды коинтегрированы (в узком смысле); такой вектор называется коинтегрирующим вектором. Если при этом c = E(1 y1t +... + N yN t), то тогда можно говорить о долговременном положении равновесия системы в виде 1 y1t +... + N yN t = c.

В каждый конкретный момент времени t существует некоторое отклонение системы от этого положения равновесия, характеризующееся величиной zt = 1 y1t +... + N yN t – c.

www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru Ряд zt, в силу сделанных предположений, является стационарным рядом, имеющим нулевое математическое ожидание, так что он достаточно часто пересекает нулевой уровень, т.е. система колеблется вокруг указанного выше положения равновесия.

Положение, однако, осложняется тем, что у коинтегрированной системы I(1) рядов может быть несколько линейно независимых коинтегрирующих векторов. Если максимальное количество линейно независимых коинтегрирующих векторов для заданных рядов y1t, …, yN t равно r, то это число r называется рангом коинтеграции. Для коинтегрированной системы, состоящей из N рядов, ранг коинтеграции может принимать значения r = 1, …, N – 1. (Формально, если ряды не коинтегрированы, то r = 0. Если же имеется r = N линейно независимых коинтегрирующих векторов, то все N рядов стационарны.) Совокупность всех возможных коинтегрирующих векторов для коинтегрированной системы I(1) рядов образует r-мерное линейное векторное пространство, которое называют коинтеграционным пространством. Любой набор r линейно независимых коинтегрирующих векторов образует базис этого пространства, и если зафиксировать этот набор в качестве базиса, то тогда любой коинтегрирующий вектор является линейной комбинацией векторов, составляющих базис.

Пусть коинтегрированная система I(1) рядов y1t, …, yN t имеет ранг коинтеграции r и может быть представлена в форме VAR(p) – векторной авторегрессии порядка p (VAR – vector autoregression) A(L) yt = µ + t, где yt = (y1t, …, yN t )T, µ = (µ1, …, µN )T, A(L) = A0 – A1L – … – ApLp, A0, A1, …, Ap – матрицы размера (N N), A0 = IN (единичная матрица), т.е.

yt = µ + A1 yt – 1 + … + Ap yt – p + t.

Тогда ранг матрицы A(1) равен rank A(1) = r и (по аналогии со случаем N = 2) существует представление этой VAR в форме ECM (модели коррекции ошибок) y1 t = µ1 +11z1, t - 1 +K+1r zr, t - 1 + p - + ( y1, t - j +K+ yN, t - j )+ 1 t, 11, j 1N, j j = ……………………………………..

yN t = µN +N1z1, t - 1 +K+N r zr, t - 1 + p - + ( y1, t - j +K+ yN, t - j)+, N1, j NN, j N t j = где z1,t,..., zr,t – стационарные I(0) ряды, соответствующие r линейно независимым коинтегрирующим векторам (1),... (r), (11,..., N 1)T, …, (1 r,..., N r)T – линейно независимые векторы корректирующих коэффициентов.

Такую модель коррекции ошибок можно записать в компактном виде как www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru yt = µ + T yt – 1 + 1 yt – 1 … + p – 1 yt – p + 1 + t, где 1, …, p – 1 – матрицы размера N N, а и – (N r)-матрицы полного ранга r. При этом столбцы (1), …, (r) матрицы являются линейно независимыми коинтегрирующими векторами, а элементы i j матрицы являются коэффициентами при стационарных линейных комбинациях z1, t – 1 = T(1) yt – 1, …, zr, t – 1 = T(r) yt – (представляющих отклонения в момент t – 1 от r долговременных соотношений между рядами y1t, …, yN t) в правых частях уравнений для y1t, …, yN t.

Представление коинтегрированной VAR в форме модели коррекции ошибок не единственно, поскольку в качестве набора (1), …, (r) можно взять любой базис коинтеграционного пространства. Соответственно, неоднозначность имеется и в отношении матрицы. Один из возможных вариантов выбора базисных коинтегрирующих векторов дается следующим представлением системы коинтегрированных I(1) рядов.

Если ранг коинтеграции равен r, 0 < r < N, то при соответствующей перенумерации переменных система I(1) рядов y1t, …, yN t допускает представление y1 t µ1 yr + 1, t v1 t yr + 1, t vr + 1, t r+ M M M M = M + M, = + C M +, yr t µr yN, t vr t yN, t vN, t N (треугольная система Филлипса), где C = (сi j) – матрица размера r (N – r), vt = (v1 t, …, vN t)T - стационарный (в широком смысле) векторный случайный процесс с E(vt) = 0, ряды yr + 1, t, …, yN, t не коинтегрированы.

Отсюда получаем:

y1 t – c11 yr + 1, t – … – c1, N – r yN, t = µ1 + v1 t,...

yr t – cr 1 yr + 1, t – … – cr, N – r yN, t = µr + vr t, так что векторы (1) = (1, 0, 0, …, 0, – c11, …, – c1, N – r )T, (2) = (0, 1, 0, …, 0, – c21, …, – c2, N – r )T,...

(r) = (0, 0, 0, …, 1, – cr 1, …, – cr, N – r )T являются линейно независимыми коинтегрирующими векторами. Им соответствуют r стационарных линейных комбинаций рядов y1 t, …, yN, t z1, t = T(1) yt = y1 t – c11 yr + 1, t – … – c1, N – r yN, t, … zr, t = T(r) yt = yr t – cr 1 yr + 1, t – … – cr, N – r yN, t.

Pages:     | 1 |   ...   | 27 | 28 || 30 | 31 |   ...   | 35 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.