WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 26 | 27 || 29 | 30 |   ...   | 35 |

Пример Расмотрим реализацию процесса порождения данных DGP: xt = xt – 1 + t, yt = 2 xt + t, где x1 = 0, а t и t – порождаемые независимо друг от друга последовательности независимых, одинаково распределенных случайных величин, имеющих стандартное www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru нормальное распределение N(0, 1). Графики полученных реализаций рядов xt и yt имеют следующий вид ----10 20 30 40 50 60 70 80 90 Y X Пара (xt, yt) образует векторный процесс авторегрессии xt = xt – 1 + t, yt = 2 xt – 1 + t, где t = t + 2t ~ i.i.d. N(0, 5).

В форме ECM пара уравнений принимает вид xt = t, yt = – (yt – 1 – 2 xt – 1) + t = – zt + t, где zt = yt – 2 xt, или xt = 1 zt – 1 + t, yt = 2 zt – 1 + t, где 1 = 0, 2 = – 1, так что 12 + 22 > 0.

На практике, приступая к анализу статистических данных, исследователь не знает точно, какой порядок имеет VAR в DGP. Имея это в виду, выберем для оценивания в качестве статистической модели ECM в виде xt = 1 zt – 1 + 11xt – 1 + 11yt – 1 + vt, yt = 2 zt – 1 + 21xt – 1 + 21yt – 1 + wt, допуская, что данные порождаются моделью векторной авторегрессии второго порядка (p = 2). Для анализа используем 100 наблюдений.

(I шаг) Исходим из модели yt = + xt + ut.

Оцененная модель:

Dependent Variable: Y Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

C -0.006764 0.165007 -0.040992 0.X 1.983373 0.020852 95.11654 0.R-squared 0.989284 Durbin-Watson stat 2.т.е.

yt = – 0.006764 + 1.983373 xt + t, так что t = t = yt + 0.006764 – 1.983373 xt.

www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru Допустив, что VAR имеет порядок 2, при использовании критерия Дики – Фуллера для проверки рядов yt и xt на коинтегрированность в правую часть уравнения включаем одну запаздывающую разность:

t = t-1 + 1 t-1 + t., Оценивая последнее уравнение получаем:

Augmented Dickey-Fuller Test Equation Dependent Variable: D(Z) Sample(adjusted): 3 Included observations: 98 after adjusting endpoints Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

Z(-1) -1.153515 0.151497 -7.614088 0.D(Z(-1)) 0.038156 0.100190 0.380837 0.Полученное значение тестовой статистики t = – 7.614 намного ниже 5% критического уровня –3.396 (см. [Patterson (2000), таблица 8.7]). Гипотеза некоинтегрированности рассматриваемых рядов уверенно отвергается. (Ввиду статистической незначимости коэффициента при запаздывающей разности, можно было бы переоценить модель, не включая запаздывающую разность в правую часть уравнения. Это дало бы значение t = – 11.423, при котором гипотеза некоинтегрированности отвергается еще более уверенно.) Таким образом, мы принимаем решение о коинтегрированности рядов yt и xt, и переходим к построению модели коррекции ошибок.

(Шаг II) Сначала отдельно оцениваем уравнение для xt :

Dependent Variable: D(X) Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

C -0.028016 0.100847 -0.277810 0.Z(-1) 0.250942 0.176613 1.420858 0.D(X(-1)) 0.639967 0.257823 2.482201 0.D(Y(-1)) -0.258740 0.116654 -2.218019 0.Поочередное исключение из правой части уравнения переменных со статистически незначимыми коэффициентами и наибольшим P-значением приводит к оцененной модели Dependent Variable: D(X) Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

D(X(-1)) 0.115141 0.100249 1.148554 0.и, в конечном счете, к модели xt = t, которая и была использована при порождении ряда xt.

Оценивая теперь уравнение для yt, получаем Dependent Variable: D(Y) Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

C -0.060101 0.211899 -0.283630 0.Z(-1) -0.641060 0.371097 -1.727472 0.D(X(-1)) 1.313872 0.541733 2.425311 0.D(Y(-1)) -0.482981 0.245111 -1.970459 0.www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru Исключая из правой части оцениваемого уравнения константу, получаем:

Dependent Variable: D(Y) Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

Z(-1) -0.638888 0.369218 -1.730381 0.D(X(-1)) 1.317763 0.538932 2.445138 0.D(Y(-1)) -0.483722 0.243908 -1.983217 0.Хотя формально здесь следовало бы начать исключение статистически незначимых переменных с t - 1, мы должны принять во внимание уже принятое решение о коинтегрированности рядов yt и xt. Но если эти ряды действительно коинтегрированы, то в ECM должно выполняться соотношение 12 + 22 > 0. Поскольку же переменная zt – 1 не вошла в правую часть уравнения для xt, она должна оставаться в правой части уравнения для yt. Если начать исключение с переменной yt – 1, то в оцененном редуцированном уравнении Dependent Variable: D(Y) Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

Z(-1) -1.186411 0.248876 -4.767072 0.D(X(-1)) 0.331411 0.210732 1.572671 0.статистически незначим коэффициент при xt – 1, что приводит нас к уравнению yt = 2 t-1 + wt, оценивая которое, получаем Dependent Variable: D(Y) Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

Z(-1) -1.273584 0.247887 -5.137760 0.Проверка гипотезы H0: 2 = – 1 дает:

Null Hypothesis: C(1)= -F-statistic 1.218077 Probability 0.Chi-square 1.218077 Probability 0.Поскольку эта гипотеза не отвергается, мы можем остановиться на модели ECM xt = t, yt = – t-1 + wt, где t-1 = yt – 1 + 0.006764 – 1.983373 xt – 1.

Подстановка последнего выражения для t-1 в уравнение для yt приводит к соотношению yt = – 0.0068 + 1.983 xt – 1 + wt, которое близко к соотношению yt = 2 xt – 1 + t, соответствующему использованному DGP.

Заметим, наконец, что последовательность wt = yt + t-1 идентифицируется по наблюдаемой ее реализации как гауссовский белый шум с оцененной дисперсией 4.(использованному DGP соответствует значение 5.00), а последовательность t = xt идентифицируется как гауссовский белый шум с оцененной дисперсией 1.(использованному DGP соответствует значение 1.00).

Оценив ECM и остановившись на модели xt = t, yt = – t-1 + wt, www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru мы тем самым обнаруживаем, что коррекция производится только в отношении ряда yt : при положительных t-1, т.е. при yt– 1 – (– 0.0068 + 1.983 xt – 1) > 0, в правой части уравнения для yt корректирующая составляющая – t-1 отрицательна и действует в сторону уменьшения приращения переменной yt. Напротив, при отрицательных t-1 корректирующая составляющая действует в сторону увеличения приращения переменной yt.

Прошлые значения переменной xt через посредство t-1 помогают в прогнозировании значения yt, т.е. переменная xt является причиной по Гренджеру для переменной yt.

В то же время, прошлые значения переменной yt никак не помогают прогнозированию значения xt, так что yt не является причиной по Гренджеру для xt.

Заметим далее, что даже если в ECM Cov(vt, wt) 0, оценивание пары уравнений ЕСМ как системы не повышает эффективности оценок, поскольку в правые части обоих уравнений входят одни и те же переменные.

Расмотренный в нашем примере процесс порождения данных DGP: xt = xt – 1 + t, yt = 2 xt + t, является частным случаем модели, известной как треугольная система Филлипса. В общем случае (для двух рядов) эта система имеет вид yt = xt + t, xt = xt – 1 + t, где (t, t)T ~ i.i.d. N2(0, ) – последовательность независимых, одинаково распределенных случайных векторов, имеющих двумерное нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием и ковариационной матрицей. (Такая последовательность называется двумерным гауссовским белым шумом.) Если матрица диагональная, так что Cov(t, t) = 0, то тогда xt является экзогенной переменной в первом уравнении, и никаких проблем с оцениванием коэффициента в этом случае не возникает.

Если же Cov(t, t) 0, то тогда xt уже не является экзогенной переменной в первом уравнении, т.к. при этом Cov(xt, t) = Cov(xt – 1 + t, t) 0. Поэтому получаемая в первом уравнении оценка наименьших квадратов для не имеет даже асимптотически нормального распределения.

В дальнейшем мы еще вернемся к проблеме оценивания коинтегрирующего вектора, а сейчас обратимся к вопросу о коинтеграции нескольких временных рядов.

Пусть мы имеем N временных рядов y1t, …, yN t, каждый из которых является интегрированным порядка 1. Если существует такой вектор = (1,..., N)T, отличный от нулевого, для которого 1 y1t +... + N yN t ~ I(0) – стационарный ряд, то говорят, что эти ряды коинтегрированы (в узком смысле); такой вектор называется коинтегрирующим вектором. Если при этом c = E(1 y1t +... + N yN t), то тогда можно говорить о долговременном положении равновесия системы в виде www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru 1 y1t +... + N yN t = c.

В каждый конкретный момент времени t существует некоторое отклонение системы от этого положения равновесия, характеризующееся величиной zt = 1 y1t +... + N yN t – c.

Ряд zt, в силу сделанных предположений, является стационарным рядом, имеющим нулевое математическое ожидание, так что он достаточно часто пересекает нулевой уровень, т.е. система колеблется вокруг указанного выше положения равновесия.

Естественной процедурой для проверки коинтегрированности рядов y1t, …, yN t является построение регрессии одного из этих рядов на остальные N – 1 рядов и проверка гипотезы наличия единичного корня у ряда zt на основании исследования ряда остатков от оцененной регрессии. Иначе говоря, мы оцениваем, например, модель y1t = 1 + 2 y2 t +... + N yN t + ut, и проверяем гипотезу единичного корня на основании исследования ряда остатков t = y1t – (1+ 2 y2 t +... + N yN t), опираясь на статистику Дики – Фуллера. Критические значения можно найти, следуя [MacKinnon (1991)] (см. также [Patterson (2000), таблица A8.1]).

Если гипотеза единичного корня отвергается, то вектор = (1, – 2, …, – N ) берется в качестве оцененного коинтегрирующего вектора. При этом отклонение системы от положения равновесия оценивается величиной t = t.

Поясним теперь, что мы имели в виду, оговаривая, что приведенные выше определения коинтеграции соответствуют коинтеграции в узком смысле.

В приведенных определениях ненулевой вектор = (1,..., N)T определялся как коинтегрирующий вектор, если 1 y1t +... + N yN t – стационарный ряд. Это означает, что если ряды y1t, …, yN t (по крайней мере, некоторые из них) содержат, наряду со стохастическим, еще и детерминированные тренды, то тогда коинтегрирующий вектор должен аннулировать оба вида трендов одновременно. И в связи с этим, коинтеграцию в узком смысле называют еще детерминистской коинтеграцией.

7.3. Проверка нескольких рядов на коинтегрированность. Критерии Дики – Фуллера Здесь надо различать несколько случаев.

(1) Коинтегрирующий вектор определяется экономической теорией.

Тогда надо просто проверить на наличие единичного корня соответствующую линейную комбинацию www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru 1 y1t +... + N yN t.

При этом используются те же критические значения, которые рассчитаны на применение к отдельно взятому ряду; эти значения не зависят от количества задействованных рядов N.

Пусть возможный коинтегрирующий вектор не определен заранее.

Тогда отдельно рассматриваются следующие ситуации.

(2) Ряды y1t, …, yN t не имеют детерминированного тренда (точнее, E(yk t) = 0).

(2a) В коинтеграционное соотношение (SM) константа не включается.

В этом случае мы оцениваем SM: y1t = 2 y2t +... + N yN t + ut, получаем ряд остатков 2 N t = y1 t -( y2 t +K+ yN t ), оцениваем модель регрессии t = t - 1 +1t - 1 +K+ t - K + t K с достаточным количеством запаздывающих разностей и проверяем гипотезу H0:

= 0 против альтернативы H0: < 0.

На этот раз критические значения для t-статистики t зависят от количества задействованных рядов N. При большом количестве наблюдений можно использовать www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru критические значения, приведенные в [Hamilton (1994), Table B.9, Case 1]. Однако на практике в правую часть оцениваемого уравнения константа обычно включается.

(2b) В коинтеграционное соотношение (SM) константа включается.

В этом случае мы оцениваем SM: y1t = + 2 y2t +... + N yN t + ut, опять получаем ряд остатков – теперь это будет ряд 2 N t = y1 t -( + y2 t +K+ yN t ), оцениваем модель регрессии t = t - 1 +1t - 1 +K+ t - K + t K с достаточным количеством запаздывающих разностей и проверяем гипотезу H0:

= 0 против альтернативы H0: < 0.

Критические значения в этом случае отличаются от случая (2a). При большом количестве наблюдений можно использовать критические значения, приведенные в [Hamilton (1994), Table B.9, Case 2]. При небольших T критические значения вычисляются по формуле, приведенной в [MacKinnon (1991), таблица 1 (вариант “no trend”)] и воспроизведенной в [Patterson (2000)].

(3) Хотя бы один из рядов y2t, …, yN t имеет линейный тренд, так что E(yk t) 0 хотя бы для одного из регрессоров.

(3a) В коинтеграционное соотношение включается константа.

В этом случае оценивается SM: y1t = + 2 y2t +... + N yN t + ut.

www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru Далее действуем опять как в (2b), только критические значения другие. При большом количестве наблюдений можно использовать критические значения, приведенные в [Hamilton (1994), Table B.9, Case 3]. При небольших T критические значения вычисляются по формуле, приведенной в работе [MacKinnon (1991), Table 1 (вариант “with trend”)] и воспроизведенной в [Patterson (2000)].

(3b) В коинтеграционное соотношение включается линейный тренд.

В этом случае оценивается SM: y1t = + t + 2 y2t +... + N yN t + ut.

Действуя так же, как и ранее, используем те же таблицы, что и в (3a), но только не для N, а для N + 1 переменных.

Включение тренда в коинтеграционное соотношение приводит к уменьшению мощности критерия из-за необходимости оценивания “мешающего” параметра.

Однако такой подход вполне уместен в тех случаях, когда нет полной уверенности в том, имеется ли ненулевой тренд хотя бы у одного из рядов y1t, y2t, …, yN t.

Pages:     | 1 |   ...   | 26 | 27 || 29 | 30 |   ...   | 35 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.