WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 21 | 22 || 24 | 25 |   ...   | 35 |

• Если a = 1, |b| < 1 (один единичный корень), то 2xt = (b – 1) xt – 1+ t, или 2xt = xt – 1+ t с < 0.

• Если |a| < 1 и |b| < 1 (нет единичных корней), то 2xt = xt – 1 + xt – 1+ t с < 0 и < 0.

Соответственно, процедура, предложенная Дики и Пантулой, такова.

www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru Если мы допускаем наличие двух единичных корней, то сначала оцениваем статистическую модель 2xt = + xt – 1 + ut и сравниваем значение t-статистики для коэффициента с критическим значением соответствующей статистики Дики – Фуллера (случаи 1 или 2, в зависимости от того, будем ли мы исходить из = 0 или 0). Здесь ut – либо просто процесс белого шума либо включает в себя еще и запаздывающие значения второй разности 2xt – 1,...

, 2xt – p + 1.

Если гипотеза о наличии двух единичных корней ( = 0) отвергается, то тогда следует оценить статистическую модель 2xt = xt – 1 + xt – 1+ ut и проверить гипотезу = 0 против альтернативы < 0. Отклонение этой гипотезы означает признание того, что у ряда xt нет единичных корней, а ее неотклонение – что xt ~ I(1).

Пример Рассмотрим смоделированные реализации трех моделей AR(2) с различным количеством единичных корней:

4 --------10 20 30 40 50 60 70 80 90 10 20 30 40 50 60 70 80 90 ROOTROOTwww.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru ----10 20 30 40 50 60 70 80 90 ROOTПосмотрим, что дает применение процедуры Дики – Пантулы в этой сиуации.

На первом шаге для каждого из рядов оцениваем статистическую модель SM: 2xt = + xt – 1+ t и проверяем гипотезу = 0 против альтернативы < 0. (Анализ рядов остатков для обеих оцененных моделей указывает на отсутствие необходимости включения в правую часть статистической модели запаздывающих значений второй разности.) Для ряда ROOT2 мы используем критические значения Фуллера, соответствующие случаю 2 ( 0), ориентируясь на наличие у реализации видимого квадратичного тренда. Для T = 100 критическое 5% значение статистики Дики – Фуллера равно – 2.89. Вычисленное значение t-статистики равно – 1.64; гипотеза о наличии двух единичных корней не отвергается. Для рядов ROOT0 и ROOT1 используем критические значения Фуллера, соответствующие случаю 1 (a = 0), принимая во внимание отсутствие у реализаций видимого квадратичного тренда. В этом случае для T = 100 критическое 5% значение статистики Дики – Фуллера равно – 1.95.

Вычисленные значения t-статистик равны – 7.83 для ряда ROOT0 и – 5.50 для ряда ROOT1; в обоих случаях гипотеза о наличии двух единичных корней отвергается.

www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru Следующий шаг процедуры выполняется поэтому только для рядов ROOT0 и ROOT1. Для этих рядов мы оцениваем статистическую модель SM: 2xt = xt – 1 + xt – 1+ t и проверяем гипотезу = 0 против альтернативы < 0. Значения соответствующей t-статистики равны – 3.89 для ряда ROOT0 и – 1.63 для ряда ROOT1, так что гипотеза = 0 отвергается для ряда ROOT0 и не отвергается для ряда ROOT1.

Заметим теперь, что в модели DGP для ряда ROOT2 действительно было два единичных корня, в модели DGP для ряда ROOT1 – один единичный корень, а в модели DGP для ряда ROOT0 – ни одного единичного корня:

DGP для ROOT0: xt = 1.1 xt – 1 – 0.3 xt – 2 + t, или (1 – 0.6L)(1 – 0.5L) xt = t, DGP для ROOT1: xt = 1.5 xt – 1 – 0.5 xt – 2 + t, или (1 – L)(1 – 0.5L) xt = t ;

DGP для ROOT2: xt = 2 xt – 1 – xt – 2 + t, или (1 – L)2 xt = t.

Более подробно c проблемами, возникающими при проверке гипотез, свзанных с наличием нескольких единичных корней, можно ознакомиться, например, в книге [Patterson (2000)].

www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru 6.10. Критерий Перрона и его обобщение 6.10.1. Критерий Перрона Предложенная в работе [Perron (1989a)] процедура проверки нулевой гипотезы о принадлежности ряда классу DS обобщает процедуру Дики – Фуллера на ситуации, когда на периоде наблюдений имеются структурные изменения модели в некоторый момент времени TB либо в форме сдвига уровня, либо в форме изменения наклона тренда, либо в форме сочетания этих двух изменений. Важность такого обобщения связана с тем обстоятельством, что если DS-критерий не допускает возможности изменения структуры модели, тогда как такое изменение в действительности имеет место, то он имеет очень низкую мощность, т.е. практически всегда не отвергает DSгипотезу (см., например, [Engle, Granger (1991)]).

Последнее можно лучше всего проиллюстрировать на примере работы Нельсона и Плоссера [Nelson, Plosser (1982)], в которой был проведен статистический анализ основных макроэкономических рядов США по годовым данным за достаточно длинные периоды (от 62 до 111 лет) и квартального ряда GNP, относящегося к периоду после Второй мировой войны (1948 – 1987 г.г.). Все ряды были взяты в логарифмах, за исключением ряда процентных ставок.

Для этих рядов гипотеза единичного корня проверялась в связке SM: xt = + t + xt–1 + ut, где ut – стационарный процесс AR(k), DGP: xt = + ut (c = 0 или 0), и использовались критические значения Фуллера для этой ситуации. При этом Нельсон и Плоссер обнаружили, что для 13 из 14 рядов гипотеза единичного корня не отвергается. Единственным исключением оказался ряд логарифмов уровней занятости.

Полученные Нельсоном и Плоссером результаты сформировали устойчивое мнение о том, что макроэкономические ряды, обнаруживающие тренд, скорее всего могут моделироваться как DS ряды. В то же время, мы уже видели на примерах, что критерии Дики – Фуллера имеют не очень высокую мощность, и последнее может являться причиной неотвержения гипотезы единичного корня для указанных 14 рядов. Вместе с тем, надо учесть и следующее обстоятельство, на которое обратил внимание Перрон в статье [Perron (1989a)]. Рассмотрим, для примера, график ряда GNP для периода с квартала 1958 г. по 4 квартал 1979 г.

58 60 62 64 66 68 70 72 74 76 GNP В качестве альтернативы процессу случайного блуждания (со сносом или без сноса) критерий Дики – Фуллера предлагает процесс, стационарный относительно линейного тренда. Однако при просмотре приведенного графика возникает впечатление, что линейный тренд ряда имеет различный наклон на подпериодах до 1974 г. и после г.

www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru Если непосредственно оценивать линейный тренд на всем периоде 1958:1 – 1979:4, то угловой коэффициент тренда оценивается как 19.086. При оценивании на подпериоде 1958:1 – 1973:4 угловой коэффициент тренда оценивается как 19.852. В то же время, при оценивании на подпериоде 1975:1 – 1979:4 угловой коэффициент тренда оценивается как 31.995. Это заставляет усомниться в пригодности выбора в качестве альтернативы случайному блужданию процесса, стационарного относительно именно линейного тренда. Скорее, надо было бы использовать в качестве альтернативы процесса, стационарного относительно ломаной с узлом в районе 1975 г.

Основываясь на подобных наблюдениях и в отношении других макроэкономических рядов, Перрон и предложил в [Perron (1989a)] три модели, допускающие структурные изменения модели ряда.

В критерии Перрона момент изменения структуры предполагается экзогенным, в том смысле, что он выбирается не на основании визуального исследования графика ряда, а связывается с моментом известного масштабного изменения экономической обстановки, существенного отражающегося на поведении рассматриваемого ряда.

Трем указанным выше формам изменения структуры модели соответствуют три различных варианта регрессионных моделей, которые строятся путем вбирания в себя моделей, соответствующих нулевой и альтернативной гипотезам.

A. Модель “краха”:

xt = c + DMUt + t + d DTBt + xt-1 + t B. Модель “изменения роста”:

xt = c + DMUt + t + DTSt + xt-1 + t C. Модель, допускающая наличие обоих эффектов:

xt = c + DMUt + t + DTt + d DTBt + xt-1 + t Здесь c - постоянная, 1 для t = TB + DTBt = 0 в противном случае ;

1 для t > TB DMUt = 0 для t TB ;

t -TB для t > TB DTSt = 0 для t TB ;

t для t > TB DTt = 0 для t TB.

Нулевые гипотезы единичного корня накладывают следующие ограничения на истинные параметры моделей:

Модель A.

= 1, = = 0, d 0.

Модель B.

= 1, = = 0, 0.

www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru Модель C.

= 1, = = 0, d 0, 0.

Альтернативные гипотезы накладывают следующие ограничения на истинные параметры моделей Модель A.

< 1, 0, 0, d = Модель B.

< 1, 0, 0, = Модель C.

< 1, 0, 0, d = 0, 0.

В такой формулировке нулевая и альтернативная гипотезы являются гнездовыми гипотезами.

Асимптотические критические значения t-статистики критерия Перрона зависят от типа структурных изменений, параметра =T/TB и от того, какая из моделей постулируется – модель с аддитивным выбросом (AO), в которой структурное изменение происходит внезапно, или модель с инновационным выбросом (IO), в которой структурное изменение происходит постепенно. Приведенные в работе [Perron (1989a)] таблицы критических значений соответствуют моделям с инновационным выбросом2. Как поступать в случае моделей с аддитивными выбросами, сообщается в работе [Perron, Vogelsang (1993)].

В связи с процедурами, допускающими излом траекторий, надо обратить особое внимание на различие между моделями внезапного и постепенного излома.

В течение нескольких лет в этом вопросе была некоторая путаница, так что даже сам автор первоначальной процедуры, допускающей изломы разных видов ([Perron (1989a)], ошибочно интерпретировал оцененные им модели и критические значения, полученные путем статистического моделирования.

Пусть zt – стационарный процесс авторегрессии первого порядка с нулевым математическим ожиданием, zt = a1 zt – 1 + t, и ряд yt определяется как yt = f(t) + zt, где f(t) = 0 при t TB и f(t) = µ 0 при t > TB. Поскольку E(zt) = 0, то E(yt) = 0 при t TB и E(yt) = µ при t > TB. Таким образом, при переходе через дату излома TB ряд yt сразу начинает осциллировать вокруг уровня µ (вместо осцилляции вокруг нулевого уровня до этого перехода).

Рассмотрим теперь другую модель, в которой функция скачка “встроена” в уравнение AR(1) для yt. Именно, пусть yt = f(t) + a1 yt – 1 + t, a1 < 1, где f(t) = 0 при t TB и f(t) = µ (1 – a1) при t > TB, µ 0.

В самой этой работе ошибочно полагалось, что приведенные в ней критические значения соответствуют моделям с аддитивным выбросом.

www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru До момента TB ряд yt осциллирует вокруг нулевого уровня. Как будут вести себя траектории такого ряда yt после перехода через дату излома TB Для выяснения этого удобно записать:

yt = a1 yt – 1 + (f(t) + t) = a1 yt – 1 + t.

Тогда для t = TB + h имеем TB+h-TB+h k yTB+h = y0 + = a1 t-k k = TB+h-TB+h k = y0 + ( f (t - k) + t-k ) = ak = TB+h-1 h- TB+h k k = y0 + t-k `+ µ(1- a1).

a1 a k = 0 k = Первое слагаемое в правой части (выражение в квадратных скобках) соответствует модели с E(yt) = 0. Вторая сумма при h имеет предел h-k lim µ(1- a1)= µ.

ah k = В этой модели после момента t = TB процесс yt лишь постепенно выходит на новый уровень µ, вокруг которого начинает происходить осцилляция траектории ряда.

Поскольку во второй модели значения f(t) обрабатываются аналогично инновациям t (влияние обоих здесь убывает геометрически), то вторую модель называют моделью инновационного выброса. В отличие от нее, первая модель называется моделью аддитивного выброса.

Аналогично, можно рассматривать пары моделей (аддитивная – инновационная), допускающие изменение наклона тренда без изменения уровня ряда или допускающие и изменение наклона тренда и изменение уровня ряда.

Ниже мы приводим графики, иллюстрирующие подобные ситуации.

Сдвиг среднего уровня ряда:

-10 20 30 40 50 60 70 80 90 Y1_ADD Y1_INNOV Сдвиг реализации без изменения наклона тренда:

www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru 10 20 30 40 50 60 70 80 90 Y2_ADD Y2_INNOV Сдвиг реализации с изменением наклона тренда:

10 20 30 40 50 60 70 80 90 Y3_ADD Y3_INNOV Изменение наклона тренда без сдвига реализации – “сегментированный тренд”:

10 20 30 40 50 60 70 80 90 Y4_ADD Возвратимся теперь к обсуждению статьи [Perron (1989a)].

Проведя ревизию результатов Нельсона-Плоссера для 14 рядов с допущением структурных изменений модели и экзогенным выбором даты излома, Перрон получил совершенно другие результаты. Теперь уже гипотеза единичного корня была отвергнута для 11 из 14 рядов, т.е. результаты получились практически прямо противоположными результатам Нельсона-Плоссера. Чуть позже мы обсудим это обстоятельство, а сейчас приведем пример применения процедуры Перрона к одному из основных российских макроэкономических рядов.

Пример В качестве примера использования процедуры Перрона с экзогенной датой излома мы рассмотрим проверку гипотезы о наличии единичного корня в авторегрессионном www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru представлении модели, порождающей ряд xt = M1, где М1 – денежный агрегат, представляющий все денежные средства в экономике Российской Федерации, которые могут быть использованы как средство платежа. Мы используем месячные данные за период 1995:06 – 2000:07 в номинальных величинах. График ряда Xt = M1 имеет следующий вид:

1996 1997 1998 1999 MПри анализе этого ряда на наличие единичного корня с использованием критериев Дики – Фуллера и Филлипса – Перрона (см. [Эконометрический анализ динамических рядов … (2001)]) гипотеза единичного корня не была отвергнута, что может быть связано с неудачным выбором альтернативных гипотез. График ряда позволяет предположить, что более подходящей может оказаться модель с изломом тренда в конце 1998 – начале 1999 г., связанным с финансово-экономическим кризисом года.

Pages:     | 1 |   ...   | 21 | 22 || 24 | 25 |   ...   | 35 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.