WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 19 | 20 || 22 | 23 |   ...   | 35 |

Если же гипотеза H0: = 0 оказалась отвергнутой, то следует повторить проверку гипотезы = 0 в рамках SM: xt = + t + xt–1 + t, но уже опираясь на DGP: xt = + t + t, 0.

Соответствующая t-статистика имеет (при 0) асимптотически нормальное N(0, 1) распределение. Для конечных T можно обратиться к таблицам [Kwiatkowski, Schmidt (1990)]. И теперь уже, если гипотеза = 0 будет отвергнута, то отвергнута окончательно. Если же она не отвергнута, то принимаем модель xt = + t + t, 0.

Шаг Мы попадаем на шаг 3, не отвергнув гипотезу единичного корня в рамках статистической модели SM: xt = + t + xt–1 + t.

Возможно, что это связано с пониженной мощностью критериев из-за включения в модель лишней объясняющей переменной t.

В связи с этим, на шаге 3 мы переходим к модели SM: xt = + xt–1 + t без трендовой составляющей и проверяем гипотезу = 0 (против < 0) в рамках этой SM. Критические значения соответствующей t-статистики берем опять у Фуллера (ситуация 2). Они получены в предположении DGP: xt = t.

И опять, если гипотеза H0: = 0 отвергается, то отвергается окончательно (по тем же причинам, что и на шаге 1).

Шаг Если на шаге 3 гипотеза = 0 не отвергается, то выясняется причастность к этому включения в SM сноса. С этой целью производится проверка гипотезы = 0 в рамках статистической модели www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru SM: xt = + xt–1 + t, но с DGP: xt = t.

Критические значения соответствующей t-статистики (µ – в обозначениях Дики – Фуллера) указаны в статье [Dickey, Fuller (1981)]. В следующей таблице приведены 5% критические значения для t в случае двухстороннего критерия и для t в случае одностороннего критерия.

n Двухсторонн Односторонн ий ий критерий критерий (против > 0) 2 2.97 2.5 2.89 2.1 2.86 2.2 2.84 2.5 2.83 2. 2.83 2.Если при этом гипотеза = 0 не отвергается, то мы не считаем тогда, что неотвержение = 0 на предыдущем этапе было связано с опорой на DGP с = 0.

Если же гипотеза = 0 оказалась отвергнутой, то производится повторная проверка гипотезы H0: = 0 в рамках SM: xt = + xt–1 + t, но с опорой на DGP: xt = + t с 0.

В этом случае t-статистика для = 0 опять асимптотически нормальна, и опираясь на ее значение, мы либо отвергаем гипотезу H0: = 0 окончательно либо принимаем модель xt = + t с 0. Следует только помнить о том, что при конечных T при значениях, близких к нулю, распределение этой статистики ближе к www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru распределению, указанному Фуллером для случая = 0, чем к нормальному распределению.

Шаг Наконец, если и на шаге 4 гипотеза H0: = 0 не была отвергнута, остается последняя возможность сделать это в рамках статистической модели SM: xt = xt–1 + t.

Критические значения t-статистики для H0: = 0 находятся по таблицам Фуллера (случай 1). И теперь уже, каждое из двух возможных решений – окончательное :

H0: = 0 отвергается Единичного корня нет;

H0: = 0 не отвергается xt = t. (Точнее, xt = 1 xt–1 + …+ p–1 xt – p+1 + t.) Замечание Построенный алгоритм отнюдь не лишен недостатков. Помимо того, что здесь не контролируется уровень значимости критерия проверки гипотезы единичного корня, возникают сложности и с интерпретацией результатов, что будет видно из последующих примеров.

Процедуру Доладо и др. можно представить схематически в виде дерева решений, приведенного ниже.

В представленной схеме модели перенумерованы следующим образом.

p- • Модель 1: xt = + t + xt-1+ xt- j + t j j= p- • Модель 2: xt = + xt-1+ xt- j + t j j= p- + jxt- j • Модель 3: xt = + t j= Приведем теперь пример использования процедуры Доладо и др.

Пример Обратимся к данным о совокупном годовом располагаемом доходе в США за период с 1959 по 1985 годы (в млрд долларов, в ценах 1982 г.). График этого ряда имеет вид www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru 60 62 64 66 68 70 72 74 76 78 80 82 DPI Принимая во внимание все изложенное ранее, здесь очевидна необходимость различения модели случайного блуждания со сносом и процесса, стационарного относительно линейного тренда. Последуем процедуре Доладо и др.

Шаг Оцениваем статистическую модель SM: xt = + t + xt–1 + 1 xt–1 + …+ p–1 xt – p+1 + t.

Сравнение по критерию Шварца указывает в пользу исключения из правой части запаздывающих разностей, так что останавливаемся на модели SM: xt = + t + xt–1 + t.

Оцененная модель (T = 26):

xt = 461.338 + 25.857 t – 0.448 xt–1 + et ;

t-статистика для проверки гипотезы H0: = 0 равна t = – 2.640. Критическое (5%) значение выбирается при DGP: xt = + t, 0, и равно tкрит = – 3.59 (для T = 26). Наблюдаемое значение t больше tкрит Гипотеза единичного корня не отвергается.

Шаг Статистическая модель та же, но в качестве DGP рассматривается DGP: xt = + t + t.

Проверяемая гипотеза H0: = 0.

Статистика критерия = 2.680. Критическое (5%) значение одностороннего критерия (HA: > 0) равно 2.85 гипотеза H0: = 0 не отвергается.

Шаг Оцениваем модель SM: xt = + xt–1 + t ;

в качестве DGP рассматривается DGP: xt = t.

www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru Проверяется гипотеза H0: = 0. Оцененная модель: xt = 47.069 + 0.00522 xt–1 + et ; tстатистика t = 0.335. Критическое (5%) значение tкрит = – 2.98 гипотеза единичного корня не отвергается.

Шаг SM: xt = + xt–1 + t, DGP: xt = t, H0: = 0. Оцененная модель: xt = 47.069 + 0.00522 xt–1 + et ; t-статистика t = 1.682 < tкрит = 2.61 Гипотеза H0: = 0 не отвергается.

Шаг SM: xt = xt–1 + t, DGP: xt = t, H0: = 0. Оцененная модель: xt = 0.03070 xt–1 + et ; t-статистика t = 7.987 > tкрит = – 1.95 Гипотеза H0: = 0 не отвергается. Окончательная модель:

xt = xt–1 + t.

Интерпретация Если мы соглашаемся с несомненной тенденцией возрастания совокупного располагаемого дохода с течением времени (по крайней мере, в США), то принятую нами на последнем шаге модель вряд ли можно считать удовлетворительной:

случайное блуждание без сноса должно со временем обнаружить убывание значений ряда.

Возможная причина этого – неотклонение гипотезы H0: = 0 на шаге 2. (Заметим, что там разница между наблюдаемым и критическим значениями t-статистики была довольно небольшой: = 2.680, tкрит = 2.85.) Если возвратиться к шагу 2 и изменить решение в пользу отклонения гипотезы H0: = 0, так что тогда 0, то гипотеза H0:

= 0 проверяется в рамках пары SM: xt = + t + xt–1 + t, DGP: xt = + t + t, 0.

В таком случае статистика t имеет асимптотически нормальное N(0, 1) распределение, 5% критическое значение одностороннего критерия приближенно равно tкрит = – 1.645.

У нас же наблюдаемое значение t = – 2.640 (см. шаг 1), так что гипотеза единичного корня отвергается, и мы имеем тогда дело с процессом, стационарным относительно линейного тренда:

xt = 461.338 + 25.857 t – 0.448 xt–1 + t.

6.8. Обзор некоторых других процедур 6.8.1. Критерий Филлипса – Перрона Этот критерий, предложенный в работе [Phillips, Perron (1988)], сводит проверку гипотезы о принадлежности ряда xt классу DS к проверке гипотезы H0 : = 0 в рамках статистической модели SM: xt = + t + xt-1 + ut, t = 2,…,T, где, как и в критерии Дики – Фуллера, параметры и могут быть взяты равными нулю. Однако, в отличие от критерия Дики – Фуллера, случайные составляющие ut с нулевыми математическими ожиданиями могут быть автокоррелированными (с достаточно быстрым убыванием автокорреляционной функции), иметь различные www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru дисперсии (гетероскедастичность) и не обязательно нормальные распределения (но такие, что E ut C < для некоторого > 2). Тем самым, в отличие от критерия Дики – Фуллера, к рассмотрению допускается более широкий класс временных рядов.

Критерий Филлипса – Перрона основывается на t-статистике для проверки гипотезы H0 : = 0 в рамках указанной статистической модели, но использует вариант этой статистики Zt, скорректированный на возможную автокоррелированность и гетероскедастичность ряда ut. При вычислении статистики Zt приходится оценивать так называемую “долговременную” (“long-run”) дисперсию ряда ut, которая определяется как - 2 = lim T E(u1 +... + uT ).

T Если ut – остатки от оцененной (методом наименьших квадратов) статистической (2) модели xt = xt-1 + + t + ut, t = 2,…,T, то в качестве оценки для 2 можно взять оценку [Newey, West (1987)] l ( ) = +, 0 1- j j l + j=где l - ut = T j ut - j t = j +j-я выборочная автоковариация ряда ut. Если и l и T стремятся к бесконечности, но 1/ (2) так, что (l T ) 0, то тогда – состоятельная оценка для 2 (см. [Phillips (1987)]) и асимптотические распределения статистики Zt совпадают с соответствующими асимптотическими распределениями статистики t в критерии Дики – Фуллера.

Поскольку реально мы имеем лишь конечное количество наблюдений, встает вопрос о выборе количества используемых лагов l в оценке Newey – West (параметр l называют “шириной окна” – window size). Этот вопрос достаточно важен, т.к.

недостаточая ширина окна ведет к отклонениям от номинального размера критерия (уровня значимости). В то же время, увеличение ширины окна для избежания отклонений от номинального размера критерия ведет к падению мощности критерия.

Таким образом, выбор какой-то конкретной ширины окна является компромиссом между двумя этими противоположными тенденциями.

Целый ряд исследований в этом направлении (сюда относятся, например, работы [Phillips, Perron (1988)], [Schwert (1989)]) не привел к какому-либо простому правилу выбора значения l.

Часто при выборе этого параметра пользуются рекомендациями [Schwert (1989)], полагая l = [K(T/100)1/4], где [a] – целая часть числа a, а значение K полагается равным 4 для квартальных и равным 12 для месячных данных. Другое правило выбора значения l реализованное, в частности, в пакете EVIEWS, состоит в выборе значения l = [4(T/100)2/9] ([Newey, West (1994)]). Некоторые авторы рекомендуют не опираться только лишь на длину ряда, а учитывать при выборе l количество значимых автокорреляций ряда.

Критические значения для статистики Zt берутся из тех же таблиц [Fuller (1976)] или вычисляются по формулам [МacKinnon(1991)].

Заметим также, что если ряд xt представляется моделью IMA(1, q), то тогда это значение q и следует использовать в качестве параметра l в оценке Newey-West. Если www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru при этом q = 1, так что xt = + b1, то при b1 > 0 критерий Филлипса-Перрона t t-имеет более высокую мощность, чем критерий Дики – Фуллера, при одновременном уменьшении вероятности ошибки первого рода. В то же время, при b1 < 0 высокая мощность критерия Филлипса-Перрона достигается за счет значительного возрастания ошибки первого рода, так что этот критерий не рекомендуется применять при b1 < 0 (он будет слишком часто ошибочно отвергать гипотезу о принадлежности ряда классу DS).

Пример В рассмотренном ранее примере с GNP оценивание модели xt = + t + xt–1 + 1 xt–1 + t привело к следующему результату (см. разд. 6.3):

ADF Test Statistic -4.117782 1% Critical Value* -4. 5% Critical Value -3. 10% Critical Value -3.Гипотеза единичного корня отвергается: значение t-статистики для проверки гипотезы H0: = 0 оказывается ниже 5% критического значения, вычисленного по формуле Маккиннона, и близко к 1% критическому значению.

В то же время, если взять первоначально AR модель c p max = 5, то получаем:

ADF Test Statistic -2.873575 1% Critical Value* -4. 5% Critical Value -3. 10% Critical Value -3.Augmented Dickey-Fuller Test Equation Dependent Variable: D(X) Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

X(-1) -0.266169 0.092626 -2.873575 0.D(X(-1)) 0.546230 0.133521 4.090958 0.D(X(-2)) 0.183918 0.149711 1.228486 0.D(X(-3)) -0.020254 0.152201 -0.133077 0.D(X(-4)) -0.058683 0.148061 -0.396345 0.C 59.45556 19.32396 3.076779 0.@TREND(1947:1) 1.397409 0.482120 2.898469 0.Поскольку здесь t = –2.873575 > –3.1744, то гипотеза единичного корня не отвергается даже при выборе 10% уровне значимости. В то же время, статистически незначимыми оказываются коэффициенты при трех последних запаздывающих разностях. P-значение F-статистики критерия для гипотезы о занулении этих трех коэффициентов равно 0.44.

Поэтому можно обойтись без трех последних запаздывающих разностей, а такую модель мы только что рассматривали, и в ней гипотеза единичного корня была отвергнута.

Посмотрим, что дает здесь применение критерия Филлипса – Перрона. Использование рекомендации [Newey, West (1994)] по выбору ширины окна дает значение l = [4(T/100)2/9] = 3 ; в результате получаем PP Test Statistic -2.871178 1% Critical Value* -4. 5% Critical Value -3. 10% Critical Value -3.Lag truncation for Bartlett kernel: 3 ( Newey-West suggests: 3 ) www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru Residual variance with no correction 29.Residual variance with correction 54.Phillips-Perron Test Equation Dependent Variable: D(GNP) Method: Least Squares Sample(adjusted): 1947:2 1961:Included observations: 59 after adjusting endpoints Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

GNP(-1) -0.153024 0.072723 -2.104212 0.C 38.33211 15.97824 2.399020 0.@TREND(1947:1) 0.806326 0.378145 2.132322 0.Статистические выводы, полученные при применении критерия Перрона с шириной окна, выбранной в соответствии с рекомендациями [Newey, West (1994)], противоположны выводам, полученным при применении расширенного критерия Дики – Фуллера с включением в правую часть одной запаздывающей разности.

Пример Сравним результаты применения критериев Дики – Фуллера и Филлипса – Перрона на реализациях ST_1, ST_2, ST_3: для ST_1 и ST_2 – в паре DGP: xt = xt–1 + t, SM: xt = + a1 xt–1 + t ;

для ST_3 – в паре DGP: xt = + xt–1 + t (или DGP: xt = xt–1 + t), SM: xt = + t + a1 xt–1 + t.

Для статистик этих критериев используем обозначения DF и PP(l), соответственно, где l – ширина окна, используемая при построении статистики Филлипса – Перрона и выбираемая в соответствии с рекомендациями [Newey, West (1994)].

Pages:     | 1 |   ...   | 19 | 20 || 22 | 23 |   ...   | 35 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.