WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 18 | 19 || 21 | 22 |   ...   | 35 |

Неправильный выбор оцениваемой статистической модели может существенно отразиться на мощности критерия Дики – Фуллера. Например, если наблюдаемый ряд порождается моделью случайного блуждания со сносом, а статистические выводы производятся на основании результатов оценивания статистической модели без включения в ее правую часть трендовой составляющей, то тогда мощность критерия, основанная на статистике t, стремится к нулю с возрастанием количества наблюдений www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru (см. [Perron (1988)]). С другой стороны, оцениваемая статистическая модель не должна быть и избыточной, поскольку это также ведет к уменьшению мощности критерия.

Формализованная процедура использования критериев Дики – Фуллера с последовательной проверкой возможности редукции статистической модели приведена в работе [Dolado, Jenkinson, Sosvilla – Rivero (1990)]; см. также [Enders (1995)]. Эта процедура будет рассмотрена ниже в разделе 6.6.

Если наблюдаемый ряд описывается моделью авторегрессии a(L) xt = t более высокого (но конечного) порядка p, уравнение a(z) = 0 имеет не более одного единичного корня и не имеет корней внутри единичного круга, то тогда можно воспользоваться расширенным (augmented) критерием Дики – Фуллера. В каждой из трех рассмотренных выше ситуаций достаточно дополнить правые части оцениваемых статистических моделей запаздывающими разностями xt-j, j = 1, …, p - 1, так что оцениваются расширенные статистические модели p-(1) SM: xt = + t + xt-1 + xt- j +, t = p +1, …,T, j t j=p-(2) SM: xt = + xt-1 + xt- j +, t = p +1, …,T, j t j=p-(3) SM: xt = xt-1 + xt- j +, t = p +1, …,T.

j t j=Полученные при оценивании расширенных статистических моделей значения tстатистик t для проверки гипотезы H0 : = 0 сравниваются с теми же критическими значениями tcrit, что и для нерасширенных моделей. DS-гипотеза отвергается, если t < tcrit.

Расширенный критерий Дики – Фуллера может применяться и тогда, когда ряд xt описывается смешанной моделью авторегрессии – скользящего среднего. Как было указано в работе [Said, Dickey (1984)], если ряд наблюдений x1,…, xT порождается моделью ARIMA(p, 1, q) c q > 0, то его можно аппроксимировать моделью ARI(p*, 1) = ARIMA(p*, 1, 0) с p*< T и применять процедуру Дики – Фуллера к этой модели.

Однако даже если ряд наблюдений x1,…, xT действительно порождается моделью авторегрессии AR(p) конечного порядка p, то значение p обычно не известно, и его приходится оценивать на основании имеющихся наблюдений, а такое предварительное оценивание влияет на характеристики критерия. Поэтому при анализе данных приходится сначала выбирать значение p=pmax достаточно большим, так чтобы оно было не меньше истинного порядка p0 авторегрессионной модели, описывающей ряд, или порядка р* аппроксимирующей авторегрессионной модели, а затем пытаться понизить используемое значение р, апеллируя к наблюдениям.

Такое понижение может осуществляться, например, путем последовательной редукции расширенной модели за счет исключения из нее незначимых (на 10% уровне) запаздывающих разностей (GS-стратегия перехода от общего к частному) или путем сравнения (оцененных) полной и редуцированных моделей с различными р pmax по информационному критерию Шварца (SIC). В работах [Hall (1994)] и [Ng, Perron (1995)] показано, что если pmax p0, то тогда в пределе (при Т ) SIC выбирает правильный порядок модели, а стратегия GS выбирает модель с р р0 ; при этом факт определения порядка модели на основании имеющихся данных не влияет на асимптотическое распределение статистики Дики -– Фуллера. Таблицы критических www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru значений для конечных значений T, учитывающие порядок модели, приведены в работе [Cheung, Lay (1995)].

При практической реализации указанных двух подходов (GS и SIC), когда мы имеем лишь ограниченное количество наблюдений, эти две процедуры могут приводить к совершенно различным выводам относительно необходимого количества запаздываний в правой части статистической модели, оцениваемой в рамках расширенного критерия Дики – Фуллера. Так, при анализе динамики валового внутреннего продукта (GDP) США по годовым данным на периоде с 1870 по 1994 гг. (см. [Murray, Nelson (2000)]), выбрав pmax = 8, авторы получили при использовании GS-стратегии значение р = 6, тогда как по SIC было выбрано значение р = 1. В подобных конфликтных ситуациях можно для контроля ориентироваться также на достижение некоррелированности по LM-критерию остатков от оцененной модели (см. [Holden, Perman (1994)]). Заметим, однако, что в недавней статье [Taylor (2000)] автор приходит в выводам, отличающимся от выводов Ng и Perron: при конечных выборках расширенные критерии Дики – Фуллера очень чувствительны и к форме детерминистских переменных и к принятой структуре запаздываний. Это, в свою очередь, ведет к отклонениям от номинальных уровней значимости критериев Дики – Фуллера.

6.5. Некоторые другие сочетания DGP и SM Рассмотрим теперь следующий естественный вопрос: что будет, если мы оцениваем SM: xt = + a1 xt–1 + t, а процесс порождения данных DGP: xt = + xt–1 + t, 0 (случайное блуждание со сносом).

В этом случае при больших t возникающий в DGP детерминированный тренд t “забивает” стохастическую составляющую, и поведение переменной xt–1 в SM i i = похоже “в целом” на поведение детерминированной переменной (t – 1). Как результат – распределения оценок для и a1 оказываются асимптотически нормальными; но тогда, в принципе, можно было бы в качестве приближения использовать стандартную технику статистического анализа, т.е. использовать критические значения t-отношения, взятые из таблиц распределения Стьюдента.

Однако если 0 близко к нулю, то при конечных T распределение t-отношения ближе к распределению, указанному Фуллером для случая = 0, чем к нормальному распределению.

Пример Для смоделированной реализации WALK_2 случайного блуждания со сносом 0.оценивание статистической модели SM: xt = + a1 xt–1 + t дает Dependent Variable: WALK_Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

C 0.173019 0.160495 1.078031 0.WALK_2(-1) 0.991851 0.045395 21.84958 0.так что интересующая нас t-статистика принимает значение t = (0.991851 – 1)/0.= – 0.180. 5% критическое значение t-распределения Стьюдента с (n – p) = (49 – 2) = 47 степенями свободы равно – 1.68, тогда как 5% критическое значение по Фуллеру, предназначенное для случая DGP: xt = xt–1 + t ( = 0), равно – 2.92, что приводит к более редкому отвержению гипотезы единичного корня. Впрочем, гипотеза о наличии www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru единичного корня здесь не отвергается при использовании любого из двух критических значений – 1.68 и – 2.92.

Оценивание смоделированной реализации ST_2 процесса xt = 0.2 + 0.8 xt–1 + t (стационарный процесс с математическим ожиданием, равным 1) при T = 50 дает Dependent Variable: ST_Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

C 0.166899 0.159693 1.045128 0.ST_2(-1) 0.793680 0.091904 8.635959 0.так что интересующая нас t-статистика принимает значение t = (0.793680 – 1)/0.= – 2.245. Использование критического значения – 1.68 приводит к отвержению гипотезы единичного корня, тогда как использование критического значения – 2.92 не дает возможности отвергнуть эту гипотезу.

Отметим еще одно важное обстоятельство.

Опять рассмотрим смоделированную реализацию ST_1 ряда ряда xt = 0.8 xt–1 + t.

Если мы будем проверять для ряда xt гипотезу единичного корня, то, как теперь ясно, можем исходить либо из SM: xt = a1 xt–1 + t (подозревая, что DGP – простое случайное блуждание) либо из SM: xt = + a1 xt–1 + t (подозревая, что DGP – случайное блуждание со сносом).

В первом случае 5% критическое значение t-статистики (при T = 50) находим по таблицам Фуллера: оно равно – 1.95. Во втором случае критические значения определяются либо в соответствии с нормальной теорией, так что tкрит = – 1.68 (в предположении, что снос – ненулевой), либо по Фуллеру – тогда tкрит = – 2.92.

Оценивание SM в первом случае дает t = – 2.314. Гипотеза единичного корня отвергается.

Оценивание SM во втором случае дает t = – 2.298. Если исходить из предположения, что в DGP снос ненулевой, то t < tкрит = – 1.68, и гипотеза единичного корня отвергается. Если же исходить из предположения, что в DGP сноса нет, то t > tкрит = – 2.92, и гипотеза единичного корня не отвергается.

Такой неожиданный результат объясняется тем, что пополнение статистической модели (SM) дополнительными регрессорами требует их оценивания, что снижает, в конечном счете, мощность критерия. Поэтому желательно при проверке гипотезы единичного корня оценивать SM, выбираемую “без запаса”. Однако при отсутствии информации о том, равен нулю снос в DGP или нет, при отклонении гипотезы единичного корня следует опираться на консервативное значение, даваемое таблицами Фуллера. Иначе мы можем ошибочно отвергать эту гипотезу более, чем в 5% случаев, если в действительности снос в DGP отсутствует.

6.6. Ряды с квадратичным трендом.

Надо рассмотреть еще и случай, когда по поведению траектории ряда можно подозревать наличие у него детерминированного квадратичного тренда..

Здесь наличие единственного1 единичного корня может осуществляться уже в форме трех различных DGP:

(а) xt = xt–1 + t, Квадратичный тренд может возникать и в моделях с двумя единичными корнями. Эта ситуация рассматривается далее в разд. 6.8.4.

www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru (б) xt = + xt–1 + t, 0, (в) xt = + t + xt–1 + t, 0.

Последний случай гарантирует наличие квадратичного тренда; в двух других случаях возможна имитация такого тренда на не очень продолжительном периоде наблюдений.

Если строить проверку гипотезы единичного корня в рамках статистической модели SM: xt = + t + a1 xt–1 + t, 0, то распределение t-статистики при гипотезе H0: a1 = 1 будет различным, в зависимости от того, каким в действительности является DGP.

Как уже отмечалось в разд. 6.2, распределение этой t-статистики одно и то же для случаев (а) и (б), т.е. не зависит от того, = 0 или 0.

Если DGP имеет форму (в) с 0, то указанная t-статистика имеет распределение, близкое к t-распределению (точнее, асимптотически нормальное N(0, 1)). Для конечных T можно обратиться к таблицам [Kwiatkowski, Schmidt (1990)].

Пример Рассмотрим смоделированную реализацию WALK_3 случайного блуждания вокруг квадратичного тренда:

DGP: xt = 0.2 + 0.1 t + xt–1 + t.

В качестве статистической модели берем SM: xt = + t + a1 xt–1 + t ; ее оценивание дает значение = 0.989 и t = – 0.775. Использование t-распределения Стьюдента приводит к tкрит = – 1.68, так что гипотеза единичного корня не отвергается.

Использование критического значения Фуллера, соответствующее DGP с = 0, дает tкрит = – 3.50, так что гипотеза единичного корня не отвергается тем более.

При анализе смоделированной траектории ST_4 процесса DGP: xt = 0.12 + 0.13 t + 0.01 t2 + 0.8 xt–1 + t, стационарного относительно того же самого квадратичного тренда, получаем = 0.990 и t = – 0.577. Гипотеза единичного корня не отвергается как при использовании распределения Стьюдента, так и при использовании таблиц Фуллера.

6.7. Многовариантная процедура проверки гипотезы единичного корня Доладо и др.( [Dolado, Jenkinson, Sosvilla-Rivero (1990)]) предложили многовариантную процедуру проверки гипотезы единичного корня с использованием критерия Дики – Фуллера, последовательно перебирающую различные комбинации оцениваемой статистической модели (SM) и процесса порождения данных (DGP). Ниже мы объясняем суть этой процедуры, считая для простоты, что рассматриваемый ряд порождается моделью AR(1), быть может, с поправкой на линейный тренд.

На шаге 1 процедуры Доладо оценивается статистическая модель, допускающая наличие тренда, содержащая в правой части уравнения константу и трендовую составляющую:

SM: xt = + t + xt-1 +, t = 2,…,T, t и при использовании таблицы критических значений предполагается, что данные порождаются моделью DGP: xt = +, t = 2,…,T.

t Это естественная пара: реализация с видимым трендом (сносом). Критерий принадлежности ряда классу DS формулируется как критерий единичного корня (UR – Unit Root) в авторегрессионном представлении ряда. Проверяемой в рамках данной www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru статистической модели является гипотеза H0 : = 0; альтернативная гипотеза HA :

< 0. Получаемое в результате оценивания такой расширенной модели значение tстатистики критерия Дики - Фуллера сравнивается с критическим значением, соответствующим предположению, что данные порождаются моделью случайного блуждания со сносом. Это критическое значение не зависит от того, = 0 или 0.

Если гипотеза H0 : = 0 отвергается этим критерием, то гипотеза о наличии единичного корня тем самым отвергается окончательно. Дело в том, что если H0 : = отвергнута при DGP: xt = + t ( c = 0 или 0), то она тем более будет отвергнута при DGP: xt = + t + t, 0, т.к. в последнем случае значение tкрит выше (используется нормальное приближение).

Шаг 2.

Если на шаге 1 гипотеза H0 : = 0 не была отвергнута, то возможны две причины:

• действительно, = 0 ;

• 0, но гипотеза H0 : = 0 не была отвергнута из-за того, что исходили из DGP с = 0, тогда как в действительности имел место DGP: xt = + t + t, 0.

В связи с последней возможностью, на шаге 2 производится проверка гипотезы H0: = в рамках SM: xt = + t + xt–1 + t, но с DGP: xt = + t + t, 0.

Критические значения соответствующей t-статистики ( – в обозначениях Дики – Фуллера) указаны в статье [Dickey, Fuller (1981)]. В следующей таблице приведены 5% критические значения для t в случае двухстороннего критерия и для t в случае одностороннего критерия.

n Двухсторонн Односторонн ий ий критерий критерий (против > 0) 2 3.25 2.5 3.18 2.1 3.14 2.2 3.12 2.www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru 5 3.11 2. 3.11 2.Если гипотеза H0: = 0 здесь не отвергнута, то это означает для нас, что на первом шаге гипотеза = 0 не была отвергнута не из-за использования критических значений, соответствующих DGP с = 0.

Pages:     | 1 |   ...   | 18 | 19 || 21 | 22 |   ...   | 35 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.