WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 15 | 16 || 18 | 19 |   ...   | 35 |

В работах [Chan, Hayya, Ord (1977)], [Nelson, Kang (1981)] было показано, что остационаривание DS рядов путем перехода к очищенному ряду (детрендирование) изменяет спектр ряда, приводя к появлению ложной периодичности (ложные длиннопериодные циклы), которая может быть ошибочно истолкована как проявление некоторого экономического цикла. С другой стороны, дифференцирование TS ряда приводит к “передифференцированному ряду”, который хотя и является стационарным, но обладает некоторыми нежелательными свойствами, связанными с необратимостью его МА-составляющей; при этом возникает паразитная автокоррелированность соседних значений продифференцированного ряда (в спектре доминируют короткие циклы). Более того, в случае необратимости МА-составляющей продифференцированного ряда становится невозможным использование обычных алгоритмов оценивания параметров и прогнозирования ряда. (См., например, [Hamilton (1994), главы 4 и 5].) Итак, построение адекватной модели макроэкономического ряда, которую можно использовать для описания динамики ряда и прогнозирования его будущих значений, и адекватных моделей связей этого ряда с другими макроэкономическими рядами невозможно без выяснения природы этого ряда и природы рядов, с ним связываемых, т.е. без выяснения принадлежности ряда к одному из двух указанных классов (TS или DS). В этом разделе мы займемся проблемой такой классификации.

Как показывает огромное количество работ, подробный обзор которых можно найти, например, в книге [Maddala, Kim (1998)], проблема отнесения ряда к одному из указанных двух классов на основании наблюдения реализации ряда на некотором интервале времени оказалась весьма сложной. Было предложено множество процедур такой классификации, но и по настоящее время предлагаются все новые и новые процедуры, которые либо несколько превосходят старые в статистической эффективности (по крайней мере, теоретически) либо могут составить конкуренцию старым процедурам и служить дополнительным средством подтверждения www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru классификации, произведенной другими методами. Описание многих таких процедур и ссылки на статьи с подробным описанием и теоретическим обоснованием этих процедур можно найти, например, в упоминавшихся выше книгах [Maddala, Kim (1998)], [Enders (1995)], [Hamilton (1994)], [Hatanaka (1996)].

Здесь мы заметим только, что использование различных процедур может приводить к противоположным выводам о принадлежности наблюдаемого ряда классу TS-рядов или классу DS-рядов. В этом отношении весьма показательным является сопоставление выводов, полученных при анализе 14 макроэкономических рядов США (имеющих протяженность от 62 до 111 лет) в работе [Nelson, Plosser (1982)] и в более поздней работе Перрона ([Perron (1989a)]). Если в первой работе лишь один из 14 рассмотренных рядов был отнесен к классу TS, то во второй работе, напротив, к этому классу было отнесено уже 11 из этих рядов. Правда, подобное кардинальное изменение результатов классификации было связано с расширением понятия TS рядов. В класс TS-рядов стали включать и ряды, стационарные относительно трендов, имеющих “излом” в известный момент времени. Отказ от предположения об известной дате излома тренда, в свою очередь, привел к некоторому изменению классификации, полученной Перроном (см. [Zivot, Andrews (1992)]). Допущение еще более гибких форм функции тренда изменило и последнюю классификацию, см. [Bierens (1997)]. Наконец, работа [Nunes, Newbold, Kuan (1997)] “замкнула круг”: изменение предположения о характере процесса порождения данных по сравнению с работой [Zivot, Andrews (1992)] привело к той же самой классификации 14 рядов, которая была получена в работе [Nelson, Plosser (1982)].

В связи с такими результатами, при анализе конкретных макроэкономических рядов теперь обычно применяют несколько разных статистических процедур, что позволяет несколько укрепить выводы, сделанные в пользу одной из двух (TS или DS) конкурирующих гипотез.

www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru 5.3. Различение TS и DS рядов в классе моделей ARMA. Гипотеза единичного корня.

Как уже отмечалось выше, для решения вопроса об отнесении исследуемого ряда Xt к классу TS (стационарных или стационарных относительно тренда) или DS (разностно стационарных) процессов имеется целый ряд различных процедур. Однако все эти процедуры страдают теми или иными недостатками. Процедуры, оформленные в виде формальных статистических критериев, как правило, имеют достаточно низкую мощность, что ведет к весьма частому неотвержению исходной (нулевой гипотезы), когда она в действительности не выполняется. В то же время невыполнение теоретических предпосылок, на которых основывается критерий, при применении его к реальным данным приводит к отличию реально наблюдаемого размера критерия от заявленного уровня значимости. Вследствие последнего обстоятельства теряется контроль над вероятностью ошибки первого рода, и это может приводить к слишком частому отвержению нулевой гипотезы, когда она в действительности верна. В связи с таким положением вещей исследователи обычно используют при анализе рядов на принадлежность их к классу TS или DS не один, а несколько критериев и подкрепляют выводы, полученные с использованием формальных критериев (с установленными уровнями значимости) графическими процедурами. Мы также будем пользоваться в нашем исследовании несколькими процедурами различения TS и DS рядов и в этом разделе кратко опишем эти процедуры. Более подробное их описание можно найти в цитируемой ниже литературе.

В большинстве критериев, предложенных для различения DS и TS гипотез, эта задача решается в классе моделей ARMA (стационарных и нестационарных).

Если ряд Xt имеет тип ARIMA(p, k, q), то в результате его k-кратного дифференцирования мы получаем ряд стационарный ряд kXt типа ARMA(p, q), скажем, a*(L) kXt = b(L) t, где a*(L) и b(L) – полиномы от оператора обратного сдвига L, имеющие степени p и q, соответственно. Заметим, что Xt = (1 – L) Xt, так что kXt = (1 – L)kXt, и a*(L) (1 – L)k Xt = b(L) t, или a(L) Xt = b(L) t, где a(L) = a*(L) (1 – L)k – полином степени (p + k). Поскольку ряд kXt стационарный, все p корней полинома a*(z) находятся за пределами единичного круга, так что полином a(z) имеет p корней за пределами единичного круга и k корней на границе этого круга, точнее, корень z = 1 кратности k.

Таким образом, ряд Xt представляется нестационарной моделью ARMA(p+ k, q), в которой авторегрессионный полином a(L) имеет ровно k корней, равных 1, а все остальные корни по модулю больше 1. Поэтому проверка нулевой гипотезы H0 о том, www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru что некоторый ARMA ряд Xt является DS-рядом (а не стационарным рядом), может быть сведена к проверке гипотезы о том, что авторегрессионный полином a(L) имеет хотя бы один корень, равный 1. Это оправданно, если исходить из предположения, что a(z) не имеет корней внутри единичного круга, т.е. исключить из рассмотрения “взрывные” модели. При этом о гипотезе H0 кратко говорят как о гипотезе единичного корня (UR – unit root hypothesis), хотя точнее было бы говорить о гипотезе авторегрессионного единичного корня. В качестве альтернативной тогда выступает TS гипотеза о том, что рассматриваемый ARMA ряд – стационарный.

Критерии, в которых за исходную (нулевую) гипотезу берется гипотеза TS, служат скорее для подтверждения результатов проверки DS-гипотезы. В этом случае вместо проверки гипотезы единичного корня у полинома a(z) проверяется гипотеза о наличии единичного корня z = 1 у уравнения b*(z) = 0, где b*(L) – полином от оператора обратного сдвига L в представлении в виде процесса скользящего среднего Xt = b*(z) ряда разностей Xt = Xt – Xt–1 исходного процесса Xt.

t www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru Глава 6. Процедуры для различения TS и DS рядов В этой и в последующих главах мы будем обозначать и случайные величины и их реализации строчными буквами.

6.1. Предварительные замечания Прежде, чем двигаться дальше, следует обратить внимание на одно важное обстоятельство, которое является иногда причиной недоразумений при практическом истолковании полученных результатов.

Рассмотрим TS ряд xt = + t + a1 xt – 1 + t, | a1| < 1.

Относительно какого именно линейного тренда этот ряд является стационарным Пусть yt – детрендированный ряд, так что yt = xt – – t и yt = a1 yt – 1 + t.

Подставляя выражения для yt и yt – 1 в последнее соотношение, находим:

xt – – t = a1(xt – 1 – – (t – 1)) + t, xt = ( – a1 + a1)+ (1– a1) t + a1xt – 1 + t, так что = – a1 + a1 и = (1– a1), откуда получаем = (1 – a1), = ( – a1( + )) (1 – a1)2.

Таким образом, ряд xt является стационарным относительно линейного тренда - a1( + ) + t.

(1- a1)2 (1- a1) В частности, при = 0 и 0 процесс стационарен и имеет математическое ожидание µ =.

(1- a1) Если a1 = 1, то последнее представление невозможно, и надо исходить непосредственно из определения ряда xt. В этом случае xt = + t + xt – 1 + t = = ( + t + t) + ( + ( t – 1) + t–1) + … + ( + + 1) + x0 = = x0 + ( + /2) t + (/2) t2 + (1 + 2 + … + t).

При = = 0 имеем простое случайное блуждание xt = xt–1 + t, xt = x0 + (1 + 2 + … + t).

При 0, = 0 имеем xt = + xt–1 + t, xt = x0 + t + (1 + 2 + … + t), т.е. случайное блуждание вокруг детерминированного линейного тренда x0 + t.

Наконец, при 0, xt = + t + xt–1 + t, xt = x0 + ( + /2) t + (/2) t2 + (1 + 2 + … + t), так что исходный ряд xt представляет случайное блуждание вокруг детерминированного квадратичного тренда x0 + ( + /2) t + (/2) t2.

Таким образом, в модели xt = + t + a1 xt–1 + t если 0, = 0, то • при | a1| < 1 у ряда xt тренда нет;

www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru t • при a1 = 1 ряд xt имеет стохастический тренд и линейный тренд j j = x0 + t ;

если 0, то • при | a1| < 1 ряд xt имеет линейный тренд - a1( + ) t ;

+ (1- a1)2 (1- a1) t • при a1 = 1 ряд xt имеет стохастический тренд и квадратичный j j = тренд x0 + ( + /2) t + (/2) t2.

Ниже приводятся смоделированные реализации, порожденные моделью xt = + t + a1 xt – 1 + t при различных наборах значений параметров,, a1 :

• ST_1 : a1 = 0.8, = 0, = 0.

• ST_2 : a1 = 0.8, = 0.2, = 0.

• ST_3 : a1 = 0.8, = 0.16, = 0.04.

• WALK_1 : a1 = 1, = 0, = 0.

• WALK_2 : a1 = 1, = 0.2, = 0.

• WALK_3 : a1 = 1, = 0.2, = 0.1.

Кроме того, приводится смоделированная реализация, порожденная моделью xt = + t + t2 + a1 xt – 1 + t :

• ST_4 : a1 = 0.8, = 0.12, = 0.13, = 0.01.

---10 20 30 40 50 60 70 80 90 ST_6 -------10 20 30 40 50 60 70 80 90 10 20 30 40 50 60 70 80 90 ST_WALK_www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru 25 --5 -10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 10 20 30 40 50 60 70 80 90 ST_3 WALK_600 500 400 300 200 100 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 10 20 30 40 50 60 70 80 90 ST_4 WALK_Сравнение первых трех графиков ST_1, ST_2, WALK_1 между собой и сравнение графиков в парах ST_3 – WALK_2, ST_4 – WALK_3 показывает, сколь трудно различить визуально реализации процессов с единичным корнем от реализаций, соответствующих стационарным или стационарным относительно детерминированного тренда процессов.

Перейдем теперь к формальным статистическим критериям наличия (или отсутствия) единичного корня.

6.2. Критерии Дики – Фуллера Мы уже говорили во Введении о том, что при оценивании по статистическим данным статистической модели в форме процесса авторегрессии SM: xt = a1 xt – 1 + t, t = 1, …, T, в случае, когда истинная модель, порождающая данные (процесс порождения данных, DGP – data generating process), имеет вид DGP: xt = xt – 1 + t, где t – гауссовский белый шум, т.е. a1 = 1, оценка наименьших квадратов 1 коэффициента a1 не имеет нормального распределения даже асимптотически. В действительности имеет место следующий факт. При T и a1 = (1/ 2) { [W (1)]2 -1}, n(1 -1) [W (r)]2 dr где W(r) – стандартное броуновское движение с непрерывным временем и сходимость понимается как сходимость распределения случайной величины, стоящей слева, к распределению случайной величины, стоящей справа.

Процесс W(r) является непрерывным аналогом дискретного случайного блуждания xt = xt – 1 + t.

Это процесс, для которого www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru • W(0) = 0;

• Приращения (W(r2) – W(r1)),…, (W(rk) – W(r k–1)) независимы в совокупности, если 0 r1 < r2 < …< rk ; W(s) – W(r) ~ N(0, s – r) при s > r ;

• Реализации W(r) непрерывны с вероятностью 1.

Из определения, в частности, следует, что W(1) = W(1) – W(0) ~ N(0, 1), так что [W(1)]~ 2(1). Отсюда вытекает, что при больших T P{1 <1}= P{1 -1< 0} P{ [W (1)]2 -1< 0}= P{ (1) <1}= 0.68, так что если DGP – простое случайное блуждание (без сноса), DGP: xt = xt – 1 + t, то оценивание SM: xt = a1 xt – 1 + t дает значение 1 <1 примерно в 2/3 случаев.

Критические значения распределения статистики T( 1 – 1) при гипотезе a1 = 1 для конечных T находятся методом статистических испытаний (Монте – Карло); впервые это было сделано Фуллером [Fuller (1976)]. Соответствующие таблицы построены в предположении, что t ~ N(0, 2), 1, …, T – независимые случайные величины и x= 0. Однако следует заметить, что хотя значение x0 не влияет на асимптотическое распределение T( 1 – 1), оно влияет на распределение T( 1 – 1) при малых выборках.

Критерий, основанный на статистике T( 1 – 1), отвергает гипотезу H0: a1 = 1 в пользу альтернативной гипотезы HA: a1 < 1 на 5% уровне значимости при значениях T( 1 – 1), меньших T( 1 – 1)крит, или при значениях 1, меньших 1 крит, где T T( 1 – 1)крит 1 крит 25 – 7.3 0.50 – 7.7 0.100 – 7.9 0.250 – 8.0 0.500 – 8.0 0. – 8.Как видно из этой таблицы, при небольших значениях T гипотеза H0 отвергается лишь для значений 1, намного меньших 1. Чувствительность критерия возрастает только при весьма большом количестве наблюдений. Это приводит к тому, что при небольших T отвергнуть гипотезу H0: a1 = 1 в пользу альтернативной гипотезы HA: a1 < довольно трудно, даже если 1 существенно меньше 1.

Pages:     | 1 |   ...   | 15 | 16 || 18 | 19 |   ...   | 35 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.