WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 13 | 14 || 16 | 17 |   ...   | 35 |

При a1 > 1 имеем = a1 – 1 > 0, и условное математическое ожидание Xt при фиксированном (наблюдаемом) значении Xt–1 = xt–1, равное E( XtXt–1 = xt–1) = xt–1, имеет знак, совпадающий со знаком xt–1. Таким образом, если xt–1 > 0, то ожидаемое значение следующего наблюдения Xt = xt больше значения xt–1, а если xt–1 < 0, то ожидаемое значение следующего наблюдения Xt = xt меньше значения xt–1. Наличие такого механизма приводит к быстрому и прогрессирующему удалению траектории процесса от начального уровня, что и наблюдалось нами для реализаций AR(1) модели при a1 = 1.05 и a1 = 1.1.

Наконец, при 0 < a1 < 1 имеем = a1 – 1 < 0, и условное математическое ожидание Xt при фиксированном (наблюдаемом) значении Xt–1 = xt–1, равное E( XtXt–1 = xt–1) = xt–1, имеет знак, противоположный знаку xt–1. Таким образом, если xt–1 > 0, то ожидаемое значение следующего наблюдения Xt = xt меньше значения xt–1, а если xt–1 < 0, то ожидаемое значение следующего наблюдения Xt = xt больше значения xt–1. Наличие такого механизма обеспечивает удержание траектории процесса в относительной близости от уровня, равного безусловному математическому ожиданию E(Xt) = µ ряда (в данном случае, µ = 0), и достаточно частое пересечение траекторией ряда этого уровня.

Мы ограничились здесь рассмотрением ситуаций с a1 > 0, поскольку они наиболее типичны для экономических временных рядов. Для полноты приведем также и смоделированные реализации процесса Xt = a1Xt–1 + t при a1 = – 1 и a1 = – 1.1.

6 ----4 -5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 5 10 15 20 25 30 35 40 45 a1= -1 a1= - 1.Обратимся теперь к процессу случайного блуждания Xt = Xt–1 + t, t = 1, …, T, со стартовым значением X0 = x0. Мы можем представить Xt в виде Xt = Xt–1 + t = (Xt–2 + t–1) + t = Xt–2 + t–1 + t = (Xt–3 + t–2) + t–1 + t = = Xt–3 + t–2 + t–1 + t =... = X0 + (1 +...+ t ), t Xt = X +.

0 j j = Отсюда сразу получаем:

www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru E(XtX0 = x0) = x0, D(XtX0 = x0) = D(1 +... + t ) = D(1) +... + D(t ) = tD(1) = t2.

Далее, Cov(Xt, Xt–1X0 = x0) = E[(Xt – x0)(Xt–1 – x0)X0 = x0] = = E[(1 +... + t )(1 +... + t–1 )] = (t – 1) не зависит от значения x0, так что 2 (t -1) (t -1) Corr(X, Xt - 1) = = = t 2 D(Xt ) D(Xt - 1) t (t -1) t -1 = = 1-.

t t Отсюда находим:

t Corr(Xt, Xt–1) 1 2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 0.10 0.т.е. соседние значения Xt и Xt–1 очень сильно коррелированы, притом положительно и тем более сильно, чем больше t. И это приводит к уже наблюдавшемуся нами характеру поведения траекторий случайного блуждания. На первых нескольких шагах траектория как бы “определяется”, где она будет находиться затем в течение довольно длительного периода – выше или ниже начального уровня x0. Так что если после нескольких первых шагов траектория случайного блуждания оказалась ниже уровня x0 ( как это было у смоделированной нами реализации), то она может оставаться там в течение весьма продолжительного времени. Если смоделировать очень длинную реализацию случайного блуждания, то она будет состоять из чередующихся длинных участков, на которых функция находится, соответственно, выше или ниже уровня x0.

При X0 = 0 получаем t Xt =, t = 1, …, T.

j j = www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru Рассматривая последний ряд сам по себе (не связывая его со стартовым значением), имеем:

E(Xt) = 0, D(Xt) = t2, так что этот ряд – нестационарный.

Этот ряд является моделью стохастического тренда, который обнаруживается во многих экономических временных рядах и должен обязательно приниматься во внимание при построении регрессионных моделей связи между двумя или несколькими рядами, имеющими стохастический тренд.

Поясним фундаментальное различие между временными рядами, имеющими только детерминированный тренд, и рядами, которые (возможно, наряду с детерминированным) имеют стохастический тренд.

Для этого рассмотрим следующие две простые модели нестационарных рядов. В первой пусть Xt = + t + t, t = 1, …, T, т.е. на детерминированный линейный тренд накладываются случайные ошибки в виде белого шума. А вторая пусть представляет случайное блуждание со сносом, т.е.

процесс Xt = + Xt–1+ t, t = 1, …, T, X0 = x0, приращения которого имеют ненулевое математическое ожидание E( Xt) = 0.

Процесс Xt во второй модели можно представить в виде Xt = + Xt–1 + t = + (+ Xt–2 + t–1) + t = 2a+ Xt–2 + t–1 + t = = 3a + Xt–3 + t–2 + t–1 + t = … = x0 + a t + (1 +...+ t ), t Xt = x0 + at +, j j = так что ряд Xt имеет и детерминированный и стохастический тренды.

Детрендирование первого ряда приводит к ряду Xt0 = Xt – (+ t) = t, который является стационарным. Детрендирование второго ряда приводит к ряду t Xt0 = Xt - (x0 + at) =, j j = который не является стационарным.

Пытаться остационарить ряд можно и другим способом. Именно, можно перейти от ряда уровней Xt к ряду разностей Xt = Xt – Xt–1, www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru (такой переход в теории временных рядов называют дифференцированием).

При таком переходе получаем для первого ряда Xt = Xt – Xt–1 = (+ t + t ) – (+ (t – 1)+ t–1 ) = + t – t–1, а для второго ряда Xt = Xt – Xt–1 = + t.

Оба продифференцированных ряда Xt стационарны. Первый продифференцированный ряд относится к классу MA(1) и имеет математическое ожидание. Второй продифференцированный ряд относится к классу MA(0) и имеет математическое ожидание.

Таким образом, в отличие от детрендирования, операция дифференцирования приводит к стационарному ряду в обоих случаях. Однако в результате дифференцирования первого ряда получается процесс скользящего среднего, который не является обратимым. И это имеет некоторые нежелательные последствия при подборе модели по статистическим данным и использовании подобранной модели для целей прогнозирования будущих значений ряда. (См., например, [Hamilton (1994), главы 4 и 5].) В случае необратимости МА-составляющей продифференцированного ряда становится невозможным использование обычных алгоритмов идентификации модели, оценивания модели и диагностики оцененной модели, рассмотренных ранее в главе 3.

Обобщая рассмотренную ситуацию, рассмотрим ряды Xt = 0 + 1 t + 2 t2 + t и Yt = + t + t2 + Zt, где Zt - процесс, определяемый соотношениями Zt = t + 2t – 1 + 3t – 2 + … + t 1, t = 1, …, T.

Детрендирование первого ряда приводит к стационарному ряду Xt0 = Xt – (0+ 1 t + 2 t2) = t.

Детрендирование второго ряда приводит к ряду Yt0 = Yt – ( + t + t2) = Zt, у которого D(Zt) = D(t + 2t – 1 + 3t – 2 + … + t 1) = 2(1 + 2 + …+ t) = 2 t (t + 1)/2, так что детрендированный ряд не является стационарным.

Если вместо вычитания линейного тренда произвести дифференцирование рядов, то для ряда Xt это приводит к ряду Xt = 1 – 2 + 22 t + t – t – 1, www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru стационарному относительно линейного тренда: ряд Xt – (1 – 2 + 22 t) = t – t – является стационарным, но необратимым MA(1) рядом. Если же продифференцировать ряд Yt, то в этом случае продифференцированный ряд Yt = ( – + 2 t) + Zt – Zt – 1 = = – + 2 t + (t + 2t – 1 + 3t – 2 + … + t 1) – (t– 1 + 2t – 2 + 3t – 3 + … + (t – 1)1) = = – + 2 t + (1 + 2 + … + t – 1 + t) уже не является стационарным относительно линейного тренда: ряд Yt – ( – + 2 t) = (1 + 2 + … + t – 1 + t) Нестационарен и представляет собой стохастический тренд.

С другой стороны, осуществляя двукратное дифференцирование ряда Yt, т.е.

переходя к ряду 2Yt, где 2 = (1 – L)2 = 1 – 2L + L2, получаем стационарный MA(0) ряд 2Yt = 2 + 2 Zt = 2 + Zt – 2Zt – 1 + Zt – 2 = = 2 + (t + 2t – 1 + 3t – 2 + … + t 1) – 2(t– 1 + 2t – 2 + 3t – 3 + … + (t – 1)1) + + (t– 2 + 2t – 3 + 3t – 4 + … + (t – 2)1) = 2 + t.

При двукратном дифференцировании ряда Xt, приходим к ряду 2Xt = ( Xt ) = (Xt – Xt–1) = (Xt – Xt–1) – (Xt – 1 – Xt – 2 ) = = Xt – 2Xt – 1+ Xt – 2 = 2 2 + t – 2t – 1 + t – 2, который представляет собой стационарный процесс скользящего среднего MA(2) с математическим ожиданием 22, не удовлетворяющий условию обратимости. Действительно, уравнение b(z) = 0 здесь принимает вид 1 – 2z + z2 = и имеет двойной корень z = 1.

Таким образом, двукратное дифференцирование “остационаривает” и ряд Xt и ряд Yt, но в случае ряда Xt результирующий ряд не обладает свойством обратимости.

Обобщение подобных примеров приводит к следующим понятиям.

Временной ряд Xt называется стационарным относительно детерминированного тренда f(t), если ряд Xt – f(t) стационарный. Если ряд Xt стационарен относительно некоторого детерминированного тренда, то говорят, что этот ряд принадлежит классу рядов, стационарных относительно детерминированного тренда, или что он является TS рядом (TS – time stationary).

www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru В класс TS рядов включаются также стационарные ряды, не имеющие детерминированного тренда.

Временной ряд Xt называется интегрированным порядка k, k = 1, 2, …, если • ряд Xt не является стационарным или стационарным относительно детерминированного тренда, т.е. не является TS рядом;

• ряд k Xt, полученный в результате k-кратного дифференцирования ряда Xt, является стационарным рядом;

• ряд k – 1Xt, полученный в результате (k – 1)-кратного дифференцирования ряда Xt, не является TS рядом.

Если полагать 0Xt = Xt, то при k = 1 третье условие дублирует первое.

Для интегрированного ряда порядка k используют обозначение I(k). Если ряд Xt является интегрированным порядка k, то мы будем обозначать это для краткости как Xt ~ I(k). В этой системе обозначений соотношение Xt ~ I(0) соответствует ряду, который является стационарным и при этом не является результатом дифференцирования TS ряда.

Пусть TS ряд имеет вид Xt = + t + Yt, где Yt – стационарный ряд, имеющий нулевое математическое ожидание. Тогда Xt можно представить в виде X = + t + t - j, = 1, <, t j 0 j j = 0 j = где t – процесс белого шума. (Мы не затрагиваем здесь теоретическую возможность наличия в правой части еще и так называемой линейно детерминированной стохастической компоненты.) Переходя к ряду разностей, получаем:

Xt = f (t) + (t - j -t - 1 - j ) = j j = = + t - j = + b(L), bj t j = где b(L) = Lj, b0 =1, bj = -, j =1, 2, K, bj j j - j = Отсюда вытекает, что b(1) = = 0, bj j = т.е. уравнение b(z) = 0 имеет единичный корень.

Таким образом, если для некоторого стационарного ряда Zt, www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru Zt = µ + b(L) t, где b(L) = Lj, b0 =1, bj j = выполнено соотношение b(1) = 0, то последнее указывает на “передифференцированность” ряда Zt : этот TS ряд получен в результате дифференцирования некоторого TS ряда.

Совокупность интегрированных рядов различных порядков k = 1, 2, … образует класс разностно стационарных, или DS рядов (DS – difference stationary). Если некоторый ряд Xt принадлежит этому классу, то мы говорим о нем как о DS ряде.

Пусть ряд Xt – интегрированный порядка k. Подвергнем этот ряд k-кратному дифференцированию. Если в результате получается стационарный ряд типа ARMA(p, q), то говорят,что исходный ряд Xt является рядом типа ARIMA(p, k, q), или k раз проинтегрированным ARMA(p, q) рядом (ARIMA – autoregressive integrated moving average). Если при этом p = 0 или q = 0, то тогда употребляются и более короткие обозначения:

ARIMA(p, k, 0) = ARI (p, k), ARIMA(0, k, q) = IMA( k, q), ARIMA(0, k, 0) = ARI (0, k) = IMA( k, 0).

Возвращаясь к только что рассмотренным примерам, получаем:

Xt = + t + t ~ I(0);

Xt = + Xt–1+ t ~ I(1), Xt – ряд типа ARIMA(0, 1, 0);

Xt = 0 + 1 t + 2 t2 + t ~ I(0);

Xt = + t + t2 + t + 2t – 1 + 3t – 2 + … + t 1 ~ I(2), Xt – ряд типа ARIMA(0, 2, 0).

Первый и третий из этих рядов являются TS рядами, а второй и четвертый – DS рядами.

Используя ту же самую имитацию белого шума, что и в предыдущих примерах, получаем смоделированные реализации для двух первых процессов TREND_1 t = 1 + 0.5 t + t, t ~ N(0, 1), WALKt = 0.5+ WALKt–1 + t, t ~ N(0, 0.52), WALK0 = 0:

www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru 10 20 30 40 50 60 70 80 90 10 20 30 40 50 60 70 80 90 TREND_1 WALK Оценим для каждой из этих реализаций модель прямолинейной зависимости:

Dependent Variable: TREND_Variable Coef. Std. Error t-Statistic Prob.

C 0.796390 0.208085 3.827226 0.T 0.501522 0.003577 140.1946 0.Dependent Variable: WALK Variable Coef. Std. Error t-Statistic Prob.

C -0.930832 0.249804 -3.726248 0.T 0.437818 0.004295 101.9477 0.Полученные при этом детрендированные ряды ведут себя следующим образом:

3 2 1 0 -1 --2 --3 -10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 10 20 30 40 50 60 70 80 90 X_DETRENDED WALK_DETRENDED Поведение первого графика характерно для стационарного ряда, а поведение второго графика – для стохастического тренда. Отметим наличие видимой цикличности с длинным периодом у второго графика. На эту особенность было указано в работах [Chan, Hayya, Ord (1977)] и [Nelson, Kang (1981)]: в результате очистки ряда от детерминированного тренда могут возникать систематические колебания – длиннопериодные циклы, которых не было у исходного ряда (ложная периодичность) и которые могут быть ошибочно истолкованы как проявление некоторого экономического цикла.

В то же время, первые разности реализаций исходных рядов ведут себя следующим образом:

www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru 2.1.1.0.0.--0.--1.10 20 30 40 50 60 70 80 90 10 20 30 40 50 60 70 80 90 X_TREND_DIF WALK_DIF Коррелограммы рядов первых разностей имеют следующий вид.

Для первого ряда (X_TREND_DIF) ACF PACF AC PAC Q-Stat Prob 1 -0.449 -0.449 20.527 0. ***|. ***|.

2 -0.045 -0.308 20.736 0.. |. **|.

3 -0.006 -0.236 20.740 0.. |. **|.

4 -0.052 -0.266 21.021 0.. |. **|.

5 0.078 -0.157 21.676 0.. |*.*|.

6 -0.074 -0.221 22.258 0.*|. **|.

7 0.194 0.073 26.358 0.. |*. |* 8 -0.216 -0.120 31.473 0.**|. *|.

9 0.079 -0.047 32.159 0.. |*. |.

10 -0.056 -0.143 32.513 0.. |. *|.

Pages:     | 1 |   ...   | 13 | 14 || 16 | 17 |   ...   | 35 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.