WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 8 | 9 || 11 | 12 |   ...   | 35 |

C 0.567821 0.158600 3.580215 0.Y(-1) 0.692523 0.066673 10.38690 0.X(-1) 0.305939 0.100582 3.041698 0.R-squared 0.632818 Mean dependent var 1.Adjusted R-squared 0.625169 S.D. dependent var 1.S.E. of regression 1.046627 Akaike info criterion 2.Sum squared resid 105.1611 Schwarz criterion 3.Log likelihood -143.4634 F-statistic 82.Durbin-Watson stat 2.221594 Prob(F-statistic) 0.www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru По критерию Шварца чуть более предпочтительной выглядит модель с исключенной xt–1, так что на ней можно и остановиться. Посмотрим, к какому долговременному соотношению приводит такая модель.

Итак, мы останавливаемся на оцененной модели (1 – 0.720 L) yt = 0.518 + 0.310 xt + et.

Полагая L = 1 и et 0, получаем: 0.28 yt = 0.518 + 0.310 xt, так что долговременное соотношение оценивается как y = 1.839 + 1.107x.

Это соотношение, конечно, несколько отличается от теоретического. Посмотрим, однако, что дало бы оценивание динамической модели ADL(3, 2; 1). Оценивая такую модель, получаем:

Dependent Variable: Y Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

C 0.539617 0.174057 3.100239 0.Y(-1) 0.590293 0.105583 5.590795 0.Y(-2) 0.153936 0.120517 1.277303 0.Y(-3) -0.031297 0.099814 -0.313555 0.X 0.205570 0.129483 1.587626 0.X(-1) 0.191959 0.153608 1.249666 0.X(-2) -0.024779 0.138389 -0.179053 0.R-squared 0.643818 Mean dependent var 1.Adjusted R-squared 0.620072 S.D. dependent var 1.S.E. of regression 1.051648 Akaike info criterion 3.Sum squared resid 99.53667 Schwarz criterion 3.Log likelihood -138.8891 F-statistic 27.Durbin-Watson stat 1.999213 Prob(F-statistic) 0.Если найти долговременное соотношение между y и x на основе такого оцененного уравнения по той же схеме, что и прежде, то получаем:

y = 1.882 +1.300 x, и это соотношение отнюдь не ближе к теоретическому, чем то, которое мы получили по редуцированному уравнению. Впрочем, и по критерию Шварца полная оцененная модель хуже редуцированной.

4.3. Векторная авторегрессия Полулярной моделью связи между временными рядами является векторная авторегрессия (VAR – vector autoregression).

В своей простейшей форме такая модель связывает два ряда y1t и y2t следующим образом:

y1t = µ1 + 11.1 y1, t – 1 + 12.1 y2, t – 1 + 1t, y2t = µ2 + 21.1 y1, t – 1 + 22.1 y2, t – 1 + 2t, т.е., в отличие от простого процесса авторегрессии, значение y1t связывается не только с запаздыванием y1,t–1, но и с запаздыванием y2,t–1 второй переменной y2t.

Случайные величины 1t и 2t являются инновациями :

• Cov(jt, ls) = 0 для t s при любых j, l = 1, 2 ;

• Cov(jt, yl, t – r) = 0 для r 1 при любых j, l = 1, 2.

www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru В то же время, для совпадающих моментов времени случайные величины 1t и 2t могут быть коррелированными.

Модель векторной авторегрессии для двух рядов допускает включение в правые части уравнений для y1t и y2t и большего количества запаздываний этих переменных.

Наибольший порядок запаздываний, включаемых в правую часть, называется порядком векторной авторегрессии. Если этот порядок равен p, то для такой модели используют обозначение VAR(p).

В общем случае рассматривается k временных рядов y1t, y2t, …, ykt. Модель векторной авторегрессии порядка p предполагает, что связь между этими рядами имеет вид y1t = µ1 + 11.1 y1, t – 1 + 11.2 y1, t – 2 + … + 11.p y1, t – p + + 12.1 y2, t – 1 + 12.2 y2, t – 2 + … + 12.p y2, t – p + + … + + 1k. 1 yk, t – 1 + 1k. 2 yk, t – 2 + … + 1k.p yk, t – p + 1t, y2t = µ2 + 21.1 y1, t – 1 + 21.2 y1, t – 2 + … + 21.p y1, t – p + + 22.1 y2, t – 1 + 22.2 y2, t – 2 + … + 22.p y2, t – p + + … + + 2k.1 yk, t – 1 + 2k.2 yk, t – 2 + … + 2k.p yk, t – p + 2t,...

yk t = µk + k1.1 y1, t – 1 + k1.2 y1, t – 2 + … + k1.p y1, t – p + + k2.1 y2, t – 1 + k2.2 y2, t – 2 + … + k2.p y2, t – p + + … + + kk. 1 yk, t – 1 + kk. 2 yk, t – 2 + … + kk.p yk, t – p + kt, где ij.r - коэффициент при yj, t – r в уравнении для yi t.

Здесь 1t, 2t, …, kt – случайные величины, для которых • Cov(jt, ls) = 0 для t s при любых j, l = 1, …, k ;

• Cov(jt, yl, t – r) = 0 для r 1 при любых j, l = 1, …, k ;

• Cov(jt, lt) могут отличаться от нуля.

Cлучайные величины 1t, 2t, …, kt образуют случайный вектор t = (1t, 2t, …, kt)T, компоненты которого некоррелированы по времени и не коррелированы с запаздывающими значениями переменных y1t, y2t, …, ykt. Этот вектор называют вектором инноваций (обновлений) относительно информационного множества Yt – 1 = ( y1, t – 1, y1, t – 2, …, y1, t – p, …, yk, t – 1, yk, t – 2, …, yk, t – p).

Пример Рассмотрим следующую модель VAR(1) для двух рядов (k = 2, p = 1):

y1t = 0.6 + 0.7 y1, t – 1 + 0.2 y2, t – 1 + 1t, y2t = 0.4 + 0.2 y1, t – 1 + 0.7 y2, t – 1 + 2t.

Приводимый ниже график иллюстрирует поведение смоделированной пары y1t, y2t порождаемой этой моделью для t = 2, 3, …, 100. В качестве начальных значений www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru были взяты y11 = y21 = 0; 1t и 2t моделировались как независимые случайные величины, имеющие одинаковое нормальное распределение N(0, 0.12).

10 20 30 40 50 60 70 80 90 Y1 YСледующий график представляет поведение разности (y1t – y2t).

0.0.0.0.0.10 20 30 40 50 60 70 80 90 Y1-YМы видим, что с течением времени поведение рядов стабилизируется: они осциллируют вокруг установившихся уровней. Второй график показывает, что установившийся уровень для ряда y1t превышает установившийся уровень для ряда y2t приблизительно на 0.4 (среднее арифметическое разности y1t – y2t равно 0.403). Такой характер поведения пары y1t, y2t указывает на стабильность данной модели VAR.

Предсказать стабильный характер поведения реализаций рядов, связанных VAR моделью, можно, анализируя коэффициенты модели. Для этого удобно записать VAR(p) модель для k рядов в более компактной форме yt = µ + 1 yt – 1 + 2 yt – 2 + … + p yt – p + t.

Здесь yt = (y1t, y2t, …, ykt )T, µ = (µ 1, µ 2, …, µ k )T, t = (1t, 2t, …, kt)T, r = ( ij.r ) – матрица размера k k коэффициентов при y1, t – r, y2, t – r, …, yk, t – r в k уравнениях.

Последнее представление можно записать как yt – 1 yt – 1 – 2 yt – 2 – … – p yt – p = µ + t, (Ik – 1 L – 2 L2 – … – p Lp) yt = µ + t, или A(L) yt = µ + t, где A(L) = Ik – 1 L – 2 L2 – … – p Lp.

www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru Условие стабильности такой VAR модели состоит в следующем:

• Все k корней уравнения det(Ik – z 1 – z2 2 – … – zp p) = 0 (т.е. det A(z) = 0) лежат за пределами единичного круга на комплексной плоскости (т.е.

модули всех k корней больше единицы).

Если это условие выполняется, то при продвижении вперед по оси времени система постепенно “забывает” о том, при каких начальных значениях y 1, y2, …, y p она начала реализовываться. Стабильное состояние системы находится путем приравнивания L = 1 и t = 0. При этом получаем A(1) yt = µ, так что стабильное состояние определяется как yt = A– 1(1) µ.

Пример Продолжим рассмотрение модели VAR(1) для двух рядов y1t = 0.6 + 0.7 y1, t – 1 + 0.2 y2, t – 1 + 1t, y2t = 0.4 + 0.2 y1, t – 1 + 0.7 y2, t – 1 + 2t.

В компактной форме эта система имеет вид yt = µ + 1 yt – 1 + t, где y1 t 0.6 0.7 0.2 1 t yt =, µ =, 1 = 0.4 0.2 0.7, t =, y2 t 2 t или A(L) yt = µ + t, где 1 0 0.7L 0.2L 1- 0.7L - 0.2L A(L) = I2 - 1L = - 0 1 0.2L 0.7L = 0.2L 1- 0.7L, так что 0.3 - 0.2 6 A(1) =, A-1(1) =.

4 - 0.2 0.3 Уравнение det A(z) = 0 принимает здесь вид 1- 0.7z - 0.2 z det A(z) = = 0, - 0.2 z 1- 0.7z т.е. (1 – 0.7 z)2 – (0.2 z)2 = 0, или (1 – 0.9 z)(1 – 0.5 z) = 0. Оба корня z = 1/0.9 и z = 1/0.5 больше 1, т.е. условие стабильности выполняется.

Долгосрочное (стабильное) поведение системы находим по формуле 6 4 0.6 5. yt = A- 1(1)µ = =.

4 60.4 4. Таким образом, стабильное состояние системы определяется здесь как y1t = 5.2, y2t = 4.8, www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru так что стабильное состояние разности y1t – y2t есть y1 – y2 = 0.4.

Соответственно, с течением времени, независимо от начальных условий, ряд y1t начинает осциллировать вокруг уровня 5.2, а ряд y2t начинает осциллировать вокруг уровня 4.8; разность (y1t – y2t) осциллирует вокруг уровня 0.4. Именно такое поведение смоделированных реализаций рассматриваемой VAR(1) мы и наблюдали ранее.

Векторные авторегрессии, определенные так, как было указано выше, называют также замкнутыми VAR, отличая тем самым эти модели от открытых VAR, в правые части которых наряду с запаздывающими значениями переменных, находящихся в левых частях уравнений (эндогенные переменные), входят и некоторые другие переменные и их запаздывания (экзогенные переменные). Проводя различие между эндогенными и экзогенными переменными, по-существу предполагают, что значения экзогенных переменных формируются вне рассматриваемой системы, а значения эндогенных переменных порождаются в рамках этой системы. Фактически, система в этом случае рассматривается как условная по отношению к экзогенным переменным.

Заметим, что в замкнутой VAR экзогенные переменные отсутствуют.

Открытую VAR можно представить в виде A(L) yt = µ + B(L) xt + t, где A(L) = I – 1 L – 2 L2 – … – p Lp и B(L) – матричные полиномы.

Если все решения уравнения detA(z) = 0 лежат за пределами единичного круга на комплексной плоскости, что необходимо для обеспечения стабильности системы, то тогда справедливо также представление yt = A – 1(L) µ + С(L) xt + A – 1(L) t, где С(L) = A – 1(L)B(L) – передаточная функция (transfer function). Функция С(L) – матричная функция; она устанавливает влияние единичных изменений в экзогенных переменных на эндогенные переменные.

Долговременную (долгосрочную, стабильную, long-run ) связь между экзогенными и эндогенными переменными можно найти, полагая в последнем представлении L = и t 0. При этом получаем:

yt = A – 1(1) µ + С(1) xt.

Матрица С(1) называется матрицей долгосрочных мультипликаторов. Ее ( i, j)-й элемент cij(1) представляет влияние единичного изменения xjt на yit в долговременном плане (см. интерпретацию долгосрочных мультипликаторов в разд.

4.2).

Пример На базе рассмотренной выше замкнутой модели VAR(1) для двух рядов построим открытую VAR y1t = 0.6 + 0.7 y1, t – 1 + 0.2 y2, t – 1 + 0.1 x1, t – 1 + 0.2 x2, t + 1t, y2t = 0.4 + 0.2 y1, t – 1 + 0.7 y2, t – 1 + 0.2 x1, t + 0.4 x2, t – 1 + 2t.

Здесь µ и матричный полином A(L) – те же, что и ранее, а www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru 0 0.2 0.1 0 0.1 L 0. B(L) = B0 + B1L = L 0.2 0 + 0 0.4 = 0.2 0.4 L, так что 0.1 0. B(1) = B0 + B1 =.

0.2 0. Матрица долгосрочных мультипликаторов равна 6 4 0.1 0.2 1.4 2. C(1) = A-1(1)B(1) = 4 60.2 0.4 = 3.2, 1. так что стабильное решение есть y1 5.2 1.4 2.8 x + = 1.6 3.2 x2, y2 4. т.е.

y1 = 5.2 +1.4x1 + 2.8x2, y2 = 4.8 +1.6x1 + 3.2x2.

Ниже приведены графики смоделированных реализаций этой открытой системы в случае, когда x1, t и x2, t – независимые друг от друга AR(1) ряды, x1, t = 0.7 x1, t – 1 + 1t, x2, t = 0.5 x2, t – 1 + 2t ; 1t и 2t ~ i.i.d. N(0, 1).

В качестве начальных значений при моделировании взяты • x11 = x21 = 0, y11 = y21 = 0 (вариант 1) • x11 = x21 = 0, y11 = 5.2, y21 = 4.8 (вариант 2).

В результате получаем:

Variant 1 Variant 8 4 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 10 20 30 40 50 60 70 80 90 Y1 Y2 Y1 YВ первом случае, из-за несоответствия начальных значений переменных стабильным соотношениям, системе требуется некоторое время, чтобы выйти на стабильный режим. Во втором случае начальные значения переменных согласованы с долговременными соотношениями между переменными.

Рассмотрим следующую замкнутую VAR(1) для двух переменных:

y1t = 0.8 y1, t – 1 + 0.2 y2, t – 1 + 1t, y2t = 0.2 y1, t – 1 + 0.8 y2, t – 1 + 2t.

Для этой системы y1t 0.8L 0.2L y1t 1t = 0.2L 0.8L y2t +, y2t 2t www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru так что 1- 0.8L - 0.2L A(L) =.

- 0.2L 1- 0.8L При этом 0.2 0. A(1) = 0.2 0.2, определитель этой матрицы равен нулю, и матрица A– 1(1) не определена.

Уравнение det A(z) = 0 имеет здесь вид (1 – 0.8 z)2 – (0.2 z)2 = 0, т.е.

(1 – z)(1 – 0.6 z) = 0.

Корни этого уравнения равны (1/0.6) и 1. Наличие корня, равного 1, нарушает условие стабильности системы. Как ведут себя в этом случае реализации системы Ниже приводится соответствующий график.

----10 20 30 40 50 60 70 80 90 Y1 YЗдесь стабилизации системы не наблюдается. Можно предположить, что это происходит из-за неудачного выбора начальных значений y11 = y21 = 0.

Перемоделируем реализации, полагая начальные значения приблизительно равными наблюдаемому “конечному” уровню: y11 = y21 = 5. Новые реализации -10 20 30 40 50 60 70 80 90 Y1 Yпо-прежнему не стабилизируются, и это отражает фундаментальное отличие рассматриваемой нестабильной модели VAR от стабильной.

4.4. Некоторые частные случаи динамических моделей www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru Чтобы не загромождать изложение, мы ограничимся здесь рассмотрением моделей, входящих в качестве частных случаев в модель ADL(1,1;1) yt = µ + a1 yt – 1 + 0 xt + 1 x t – 1 + t.

Эти частные случаи, несмотря на свою простоту, дают схематические представления девяти широко используемых типов моделей.

Различные типы моделей соответствуют различным ограничениям на вектор коэффициентов = (a1, 0,1). При наличии двух ограничений мы говорим об однопараметрической модели, а при наличии одного ограничения – о двухпараметрической модели. Полная модель ADL(1,1;1) является трехпараметрической. Ниже мы рассматриваем 9 различных типов моделей.

(1) Статическая регрессия (a1 = 1 = 0): yt = µ + 0 xt + t.

Здесь на значение yt влияет только значение xt в тот же момент времени;

предшествующие значения yt – 1 и x t – 1 не влияют на yt.

Pages:     | 1 |   ...   | 8 | 9 || 11 | 12 |   ...   | 35 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.