WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 72 | 73 || 75 | 76 |

*97. Даны две прямые, пересекающиеся в точке O. Найдите на каждой из них по точке A и B и затем соедините эти точки кривой линией таким образом, чтобы при заданной площади, ограниченной кривой и обеими прямыми, длина дуги была минимальной. (Ответ: дуга должна быть круговой и перпендикулярной к обеим прямым.) *98. Тот же вопрос со следующим видоизменением: обратить в минимум требуется не длину кривой AB, а весь периметр фигуры, т. е. сумму дуги AB и отрезков OA и OB. (Ответ: дуга — по-прежнему круговая, но выпячивается наружу, касаясь отрезков в их концах.) *99. Обобщите эту проблему на случай нескольких угловых секторов.

*100. Установите, что «почти плоские» поверхности на рис. 240 не являются в точности плоскими, кроме стабилизирующей поверхности в центре куба. (Замечание: определить эти поверхности аналитически представляет заманчивую, еще не решенную проблему. То же относится и к поверхностям на рис. 251. Что касается рис. 258, то здесь в самом деле имеется 12 симметрических плоскостей, образующих по диагоналям углы в 120.) Некоторые дополнительные предложения по поводу опытов с мыльными пленками. Сделайте опыты, указанные на рис. 256 и 257, при числе стержней, большем трех. Изучите, что происходит в предельных случаях, когда объем воздуха становится все меньше. Экспериментируйте с непараллельными плоскостями и другими поверхностями. Раздувайте центральный кубик на рис. 258, пока он не наполнит весь большой куб и не выпятится за пределы граней; потом выдувайте из него воздух, пытаясь обратить процесс.

*101. Найдите два равносторонних треугольника с данной суммой периметров и с минимальной суммой площадей. (Ответ: треугольники должны быть конгруэнтны. Воспользуйтесь методами дифференциального исчисления.) *102. Найдите два треугольника с данной суммой периметров и максимальной суммой площадей. (Ответ: один треугольник вырождается в точку, другой должен быть равносторонним.) ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ *103. Найдите два треугольника с данной суммой площадей и минимальной суммой периметров.

*104. Найдите два равносторонних треугольника с данной суммой площадей и максимальной суммой периметров.

Дифференциальное и интегральное исчисления x + 105. Составьте производные от функций 1 + x, 1 + x2,, x - исходя непосредственно из определения, затем преобразовывая разностное отношение таким образом, чтобы не представило труда вычислить предел при x x1 (см. стр. 442–444).

106. Докажите, что функция y = e- xс дополнительным условием y = 0 при x = 0 имеет производные всех порядков, равные нулю, в точке x = 0.

107. Установите, что функция упражнения 106 не разлагается в ряд Тейлора в точке x = 0 (см. стр. 500).

108. Найдите точки перегиба (f (x) = 0) кривых 2 y = e-x и y = xe-x.

109. Покажите, что если f (x) — полином с n различными корнями x1, x2,..., xn, то n f (x) =.

f(x) x - xi i=*110. Исходя из определения интеграла как предела суммы, докажите, что при n 1 1 n + +... +.

12 + n2 22 + n2 n2 + n2 *111. Таким же образом докажите, что b b 2b nb sin + sin +... + sin cos b - 1.

n n n n 112. Нарисуйте рис. 276 на клетчатой бумаге в крупном масштабе и затем, подсчитывая маленькие квадратики, попадающие в заштрихованную область, найдите приближенное значение.

113. Воспользуйтесь формулой (7) на стр. 465, чтобы вычислить с погрешностью, не превышающей 0,01.

114. Докажите, что e i = -1 (см. стр. 502).

115. Данная замкнутая кривая увеличивается, расширяясь в отношении 1 : x. Пусть L(x) и A(x) обозначают длину расширенной кривой L(x) и ограниченную ею площадь. Покажите, что 0 при x и что A(x) L(x) даже 0 при x, если k >. Проверьте это для окружности, A(x)k 534 ПРИЛОЖЕНИЕ квадрата и *эллипса. (Площадь — более высокого порядка возрастания, чем длина кривой. См. стр. 493 и дальше.) 116. Показательная функция часто встречается в следующих комбинациях:

1 u = sh x = (ex - e-x), v = ch x = (ex + e-x), 2 ex - e-x w = th x =, ex + e-x называемых соответственно гиперболическим синусом, гиперболическим косинусом и гиперболическим тангенсом. Эти функции обладают многими свойствами, напоминающими свойства тригонометрических функций. Они связаны с гиперболой u2 - v2 = 1 так же, как тригонометрические функции u = cos x и v = sin x связаны с окружностью u2 + v2 = 1.

Читателю предлагается проверить следующие формулы и сопоставить их с тригонометрическими формулами:

d(sh x) d(ch x) d(th x) = ch x, = sh x, =, dx dx dx ch2 x sh(x + x ) = sh x · ch x + ch x · sh x, ch(x + x ) = ch x · ch x + sh x · sh x.

Обратные функции таковы:

x = Arsh u = ln(u + u2 + 1), x = Arch v = ln(v + v2 - 1) (v 1), 1 1 + w x = Arth w = ln (|w| < 1).

2 1 - w Их производные имеют вид d(Arsh u) 1 d(Arch v) =, =, dx 1 + u2 dx v2 - d(Arth w) = (|w| < 1).

dx 1 - w117. Уясните себе аналогию между гиперболическими и тригонометрическими функциями на основе формулы Эйлера.

*118. Выведите простые формулы для сумм sh x + sh 2x +... + sh nx и + ch x + ch 2x +... + ch nx аналогично формулам, выведенным в упражнении 14 в случае тригонометрических функций.

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ Техника интегрирования Теорема, доказанная на стр. 462, сводит проблему интегрирования функции f(x) в пределах от a до b к нахождению функции G(x), первообразной по отношению к функции f(x). Интеграл тогда просто равен разности G(b) - G(a).

Для таких первообразных функций (определяемых с точностью до постоянного слагаемого) употребительно наименование «неопределенный интеграл» и чрезвычайно удобное обозначение G(x) = f(x)dx, без обозначения пределов интегрирования. (Это обозначение может несколько дезориентировать начинающего: см. замечания на стр. 462.) Из каждой формулы дифференцирования легко получить, путем ее обращения, некоторую формулу неопределенного интегрирования.

К этой, несколько эмпирической, процедуре мы здесь добавим два важных правила, которые по существу представляют собой не что иное, как обращение правил дифференцирования сложной функции и произведения двух функций. В их интегральной форме их называют правилами интегрирования посредством подстановки и интегрирования «по частям».

A) Первое правило вытекает из формулы дифференцирования сложной функции H(u) = G(x), где функции x = (u) и u = (x) предполагаются взаимно обратными в рассматриваемой области.

В таком случае мы имеем H (u) = G (x) (u).

Полагая G (x) = f(x), мы можем написать G(x) = f(x)dx и также G (x) (u) = f(x) (u), а это вследствие предыдущей формулы для H (u) равносильно H(u) = f[ (u)] (u)du.

Итак, принимая во внимание, что H(u) = G(x), мы получаем f(x)dx = f[ (u)] (u)du. (I) 536 ПРИЛОЖЕНИЕ Будучи записано в обозначениях Лейбница (см. стр. 457), это правило принимает практически очень удобный вид dx f(x)dx = f(x) du;

du оказывается, что мы не сделаем ошибки, если символ dx заменим симdx dx волом du — так, как будто бы dx и du были числами, а — их du du отношением.

Проиллюстрируем полезность формулы (I) несколькими примерами.

a) J = du. Станем читать формулу (I) справа налево, полагая u ln u 1 в ней x = ln u = (u). Тогда получим (u) =, f(x) =, так что u x dx J = = ln x, x или du = ln ln u.

u ln u Результат можно проверить посредством дифференцирования; мы получаем 1 d = (ln ln u).

u ln u du cos u б) J = ctg u du = du. Полагая x = sin u = (u), мы имеем sin u (u) = cos u, f(x) = x, откуда следует dx J = ln x, x или ctg u du = ln sin u.

И этот результат проверяется дифференцированием.

в) Допустим, что задан интеграл более общего вида (u) J = du;

(u) положив x = (u), f(x) = x, мы найдем:

dx J = = ln x = ln (u).

x du г) J = sin x cos xdx. Полагаем sin x = u, cos x =. Тогда dx du u2 J = u dx = udu = = sin2 x.

dx 2 ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ln u 1 dx д) J = du. Полагаем ln u = x, =. Тогда u u du dx x2 J = x du = xdx = = (ln u)2.

du 2 В следующих примерах мы используем формулу (I), считая ее слева направо.

dx dx е) J =. Полагаем x = u. Тогда x = u2 и = 2u. Поэтому x du J = · 2u du = 2u = 2 x.

u ж) С помощью подстановки x = au, где a — постоянная, получаем dx dx 1 1 1 du 1 x = · · du = = · arctg.

a2 + x2 du a2 1 + u2 a 1 + u2 a a dx з) J = 1 - x2 dx. Полагаем x = cos u, = - sin u. В таком случае du 1 - cos 2u u sin 2u J = - sin2 u du = - du = - +.

2 2 Принимая во внимание, что sin 2u = 2 sin u cos u = 2 cos u 1 - cos2 u, приходим к формуле 1 J = - arccos x + x 1 - x2.

2 Вычислите следующие интегралы и проверьте результаты посредством дифференцирования:

udu dx 119.. 124..

u2 - u + 1 x2 + 2ax + b 120. ueu du. 125. t2 1 + t3 dt.

du t + 121.. 126. dt.

u(ln u)n 1 - t 8x t122. dx. 127. dt.

3 + 4x 1 - t dx 123.. 128. cosn t sin t dt.

x2 + x + 129. Докажите, что dx 1 x dx x = Arth, = Arsh.

a2 - x2 a a a a2 - x(Сравните с примерами ж), з).) 538 ПРИЛОЖЕНИЕ Б) Правило дифференцирования произведения (стр. 451) (p(x) · q(x)) = p(x) · q (x) + p (x) · q(x) в интегральной форме записывается следующим образом:

p(x) · q(x) = p(x) · q (x)dx + p (x) · q(x)dx, или же p(x) · q (x)dx = p(x)q(x) - p (x) · q(x)dx. (II) В этой форме оно называется правилом интегрирования по частям.

Это правило бывает полезно в тех случаях, когда функция, стоящая под интегралом, имеет вид p(x)q (x), причем неопределенный интеграл q(x) от функции q (x) известен. Формула (II) сводит проблему неопределенного интегрирования функции p(x)q (x) к проблеме интегрирования функции p (x)q(x), что часто оказывается более простым.

а) J = ln x dx. Положим p(x) = ln x, q (x) = 1, так что q(x) = x.

Тогда формула (II) нам дает x ln x dx = x ln x - dx = x ln x - x.

x б) J = x ln x dx. Положим p(x) = ln x, q (x) = x. Тогда x2 x2 x2 xJ = ln x - dx = ln x -.

2 2x 2 в) J = x sin x dx. На этот раз положим p(x) = x, q(x) = - cos x и получим x sin x dx = -x cos x + sin x.

Вычислите по частям следующие интегралы:

130. xex dx. 131. x2 cos x dx.

(Указание: примените (II) дважды.) 132. xa ln x dx (a = -1). 133. x2ex dx.

(Указание: воспользуйтесь упражнением 130.) Интегрируя по частям sinm x dx, мы получаем замечательную формулу для числа в виде бесконечного произведения. Напишем функцию sinm x в виде sinm-1 x · sin x и проинтегрируем по частям в пределах ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ от 0 до. Тогда получим 2 sinm x dx = (m - 1) sinm-2 x cos3 x dx = 0 2 = -(m - 1) sinm x dx + (m - 1) sinm-2 x dx, 0 или же 2 m - sinm x dx = sinm-2 x dx m 0 так как первый член в правой части (II), pq, обращается в нуль при x = 0 и x =. Применяя повторно последнюю формулу, найдем следующие значения интегралов Im = sinm x dx (формулы различаются в зависимости от четности n):

2n - 1 2n - 3 I2n = · ·... · ·, 2n 2n - 2 2 2n 2n - 2 I2n+1 = · ·... ·.

2n + 1 2n - 1 Так как 0 < sin x < 1 при 0 < x <, то sin2n-1 x > sin2n x > sin2n+1 x, и следовательно, I2n-1 > I2n > I2n+(см. стр. 437), или I2n-1 I2n > > 1.

I2n+1 I2n+Подставляя в эти неравенства вычисленные значения интегралов, мы получаем 2n + 1 1 · 3 · 3 · 5 · 5 · 7 ·... · (2n - 1)(2n - 1)(2n + 1)(2n + 1) > · > 1.

2n 2 · 2 · 4 · 4 · 6 ·... · (2n)(2n) Остается положить n ; тогда, убедившись, что средняя часть неравенства стремится к 1, мы получаем следующее принадлежащее Уоллису представление для числа :

2 · 2 · 4 · 4 · 6 · 6 ·... · 2n · 2n...

= = 2 1 · 3 · 3 · 5 · 5 · 7 ·... · (2n - 1)(2n - 1)(2n + 1)...

24n(n!)= lim при n.

[(2n)!]2(2n + 1) ДОБАВЛЕНИЕ Вклейка «От издательства» в первое издание книги на русском языке* Существует большой разрыв между математикой, которая преподается в средней школе, и наиболее живыми и важными для естествознания и техники разделами современной математической науки. Наиболее существенной стороной этого разрыва является отсутствие в курсе средней школы элементов математического анализа, которые совершенно необходимы для понимания основных идей физики и многих разделов техники.

Курсы высшей математики для техников, химиков, биологов и специалистов по сельскому хозяйству в наших вузах содержат достаточно солидное изложение элементов классического анализа, но оставляют совершенно в стороне ряд более общих и новых идей математики, относящихся, например, к проективной геометрии, топологии, более высоким разделам вариационного исчисления и т. п. Между тем, эти идеи становятся все более существенными для всей совокупности точных и технических наук.

Наконец, молодежь, избирающая своей специальностью математику или те разделы естественных наук (механику, астрономию, физику), изучение которых в высшей школе связано с прохождением вполне современного большого курса математики, часто нуждается в том, чтобы еще на стадии перехода из средней школы в высшую в более легкой и наглядной форме познакомиться с различными разделами математики вплоть до наиболее высоких и современных.

Выпускаемая в русском переводе книга Р. Куранта и Г. Роббинса может в некоторой мере заполнить указанные выше разрывы между систематическими учебными курсами математики и естественными запросами различных категорий читателей в направлении общего ознакомления с более высокими разделами математики.

Отдельные главы этой книги в значительной мере независимы друг от друга (см. указания автора «Как пользоваться книгой») и могут пред* О причинах, вызвавших появление этой вклейки, см. предисловие В. М. Тихомирова, с. 5. — Прим. ред. наст. изд.

ВКЛЕЙКА В ПЕРВОЕ ИЗДАНИЕ КНИГИ НА РУССКОМ ЯЗЫКЕ ставить интерес в первую очередь для следующих категорий читателей.

1. Главы VI–VIII позволяют читателям с подготовкой в размере курса средней школы в сравнительно легкой форме познакомиться с основными идеями высшей математики (дифференциальное и интегральное исчисления, дифференциальные уравнения, вариационное исчисление).

2. Читателям, прошедшим краткий курс высшей математики, — инженерам, химикам, многим преподавателям математики в средней школе — будут по преимуществу интересны главы I–V, вводящие их в менее знакомые им разделы математики, и некоторый дополнительный материал в последних главах. Главы I–V будут интересны также тем выпускникам средней школы, которые пожелают, в связи с выбором специальности, познакомиться с современной математикой.

3. Наконец, многие разделы книги могут быть использованы в школьных кружках любителей математики и в кружках и семинарах для студентов младших курсов физико-математических факультетов университетов, педагогических и учительских институтов.

Наша отечественная литература, обслуживающая перечисленные потребности, еще недостаточна. Поэтому Издательству представлялось весьма желательным ее пополнение хорошо написанной переводной книгой, хотя бы и содержащей некоторые недостатки и ошибки.

Pages:     | 1 |   ...   | 72 | 73 || 75 | 76 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.