WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 71 | 72 || 74 | 75 |   ...   | 76 |

526 ПРИЛОЖЕНИЕ 46. Докажите утверждения, касающиеся двойного отношения плоскостей, приведенные на стр. 197.

47. Докажите: если точки P и P взаимно обратны относительно окружности и диаметр AB коллинеарен с точками P и P, то четверка точек A, B, P, P гармоническая.

48. Найдите координату четвертой гармонической точки относительно данных точек P1, P2, P3. Что случится, если P3 станет приближаться к середине отрезка P1P2 (См. стр. 205.) *49. Попробуйте развить теорию конических сечений, исходя из сфер Данделена. В частности, докажите, что все они, за исключением окружностей, являются геометрическим местом точек, для которых расстояния от данной точки и от данной прямой находятся в постоянном отношении k. При k > 1 получается гипербола, при k = 1 — парабола, при k < 1 — эллипс. Прямая l получается как пересечение плоскости конического сечения с плоскостью того круга, по которому сфера Данделена соприкасается с конусом. (Именно по той причине, что круг приходится особо оговаривать как предельный случай, не совсем удобно принимать указанное свойство в качестве определения конических сечений, что, впрочем, делается довольно часто.) 50. Обсудите следующее положение: «коническое сечение, рассматриваемое одновременно как множество точек и как множество касательных прямых, само себе двойственно» (см. стр. 228).

*51. Попробуйте доказать теорему Дезарга, выполняя предельный переход от пространственной конфигурации, изображенной на рис. (см. стр. 192).

*52. Сколько можно провести в пространстве прямых, пересекающихся с данными четырьмя прямыми Как их можно характеризовать (Указание: через три данные прямые проведите гиперболоид; см.

стр. 233.) *53. Возьмем в качестве круга Пуанкаре единичный круг в комплексной плоскости. Пусть z1 и z2 — какие-то две точки внутри этого круга, а w1 и w2 — точки пересечения с окружностью «прямой линии», z1 - w1 z2 - wпроходящей через z1 и z2. Тогда двойное отношение :, в z1 - w2 z2 - wсоответствии с упражнением 8 на стр. 118, имеет действительное значение; докажите это. По определению, его логарифм есть гиперболическое расстояние между z1 и z2.

*54. С помощью инверсии преобразуйте круг Пуанкаре в верхнюю полуплоскость. Исследуйте эту полуплоскость как модель Пуанкаре и непосредственно, исходя из преобразования инверсии.

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ Топология 55. Проверьте формулу Эйлера на пяти правильных многогранниках и на других многогранниках. Сделайте схемы соответствующих разверток.

56. При доказательстве формулы Эйлера (стр. 256) нам приходится путем последовательного выполнения двух основных операций редуцировать произвольную сетку треугольников к сетке, состоящей только из одного треугольника, и тогда получаем V - E + F = 3 - 3 + 1 = 1.

Почему мы можем быть уверены, что в конечном результате не окажется двух треугольников без общих вершин, и тогда было бы V - E + F = 6 - 6 + 2 = 2 (Указание: можно с самого начала исходить из предположения, что сетка треугольников связная, т. е. что по ребрам (сторонам) можно пройти от любой вершины к любой. Докажите, что это свойство не теряется при выполнении каждой из основных операций.) 57. Мы допустили при редукции сетки треугольников только две основные операции. Но не могло ли бы случиться на какой-то стадии редукции, что у нас окажется треугольник, имеющий только одну общую вершину с прочими треугольниками сетки (Постройте пример.) В таком случае потребовалась бы еще третья операция: удаление двух вершин, трех ребер и одной грани. Как это отразилось бы на доказательстве 58. Можно ли вокруг палки обернуть три раза широкую резиновую ленту так, чтобы она всюду лежала плотно, т. е. не делала бы складок (Конечно, лента должна где-то сама себя пересекать.) 59. Установите, что после удаления центральной точки круговой диск допускает непрерывное преобразование в самого себя без неподвижных точек.

*60. Преобразование, переводящее каждую точку диска на единицу в определенном, одном и том же, направлении, очевидно, не обладает неподвижными точками. Конечно, это не есть преобразование в себя, так как некоторые точки диска после преобразования окажутся вне диска.

Почему в этом случае рассуждение, приведенное на стр. 272 (основанное на преобразовании P P ), уже не годится 61. Допустим, что внутренняя сторона тора выкрашена в белую краску, а внешняя — в черную. Можно ли, сделав маленькую дырочку в поверхности, деформировав ее и затем запечатав дырочку опять, вывернуть тор «наизнанку» — так, чтобы внутренняя сторона была черная, а внешняя — белая *62. Установите, что в трехмерном пространстве не существует «проблемы четырех красок»: каково бы ни было число n, всегда можно n тел расположить так, чтобы каждое из них имело общую поверхность с каждым.

*63. На торе или на плоскости с граничной идентификацией (рис. 143) 528 ПРИЛОЖЕНИЕ сделайте карту из семи областей, из которых каждая имела бы общую границу с каждой (см. стр. 267).

64. Четырехмерный тетраэдр, изображенный на рис. 118, состоит из пяти точек a, b, c, d, e, причем каждая связана отрезком с каждой. Даже если бы было позволено искривлять эти отрезки, всю фигуру нельзя было бы уместить в плоскости таким образом, чтобы соединяющие линии не пересекались. Другая конфигурация, содержащая девять соединяющих линий, которые нельзя провести без пересечения, составляется из шести точек a, b, c, a, b, c, причем каждая из точек a, b, c должна быть соединена с каждой из точек a, b, c. Проверьте эти утверждения экспериментально и затем попробуйте найти доказательство, основанное на теореме Жордана. (Доказано, что любая конфигурация точек и линий, которую нельзя уместить в плоскости без пересечений, непременно содержит как часть одну из двух указанных здесь конфигураций.) 65. Рассмотрите конфигурацию, составленную из 6 ребер трехмерного тетраэдра с добавлением отрезка, связывающего середины двух противоположных ребер. (Два ребра тетраэдра считаются противоположными, если у них нет общей вершины.) Установите, что эта конфигурация эквивалентна одной из описанных в предыдущем упражнении.

*66. Пусть p, q, r обозначают три горизонтальные черты в букве E.

Эта буква после перемещения дает другое E с горизонтальными чертами p, q, r. Можно ли связать p с p, q с q, r с r линиями, которые не пересекались бы взаимно и не пересекали бы ни одного из двух E 67. Если мы обходим вокруг квадрата, то меняем направление четыре раза, всякий раз на 90, а всего — на = 360. Если обходим вокруг треугольника, то, как известно из элементарной геометрии, и в этом случае общее изменение направления составляет = 360.

Докажите, что в случае любого простого замкнутого многоугольника C получается = 360. (Указание: разбейте внутренность C на треугольники, затем удаляйте граничные отрезки, как на стр. 259. Обозначим последовательно образующиеся границы через B1, B2, B3,..., Bn.

Тогда B1 = C, а Bn есть треугольник. Предполагая, что изменение i соответствует границе Bi, докажите, что i = i-1.) *68. Пусть C — простой замкнутый контур, обладающий во всех точках касательным вектором с непрерывно меняющимся направлением, и пусть есть общее изменение направления при обходе контура. Докажите, что и в этом случае = 360. (Указание: пусть p0, p1, p2,..., pn, p0 — точки на контуре C, разбивающие C на маленькие, почти прямолинейные отрезки. Пусть контур C составлен из прямолинейных отрезков p0p1, p1p2,..., pi-1pi и из первоначальных дуг pipi+1,..., pnp0. Тогда C0 = C, а Cn есть многоугольник. Докажите, что i = i+1, и воспользуйтесь результатом предыдущего упражнения.) Справедливо ли это утверждение для гипоциклоиды, изображенной на рис. 55 ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ 69. Покажите, что если на диаграмме бутылки Клейна (см. стр. 282) все четыре стрелки направить одинаково (по часовой стрелке), то получится поверхность, эквивалентная сфере, у которой односвязный кусок поверхности заменен кросс-кэпом. (Эта поверхность топологически эквивалентна также расширенной проективной плоскости.) 70. Бутылка Клейна, изображенная на рис. 142, может быть разрезана плоскостью на две симметрически расположенные части. Покажите, что каждая из этих частей есть лента Мёбиуса.

*71. В ленте Мёбиуса (см. рис. 139) отождествляются два конца каждого поперечного отрезка. Убедитесь, что результат топологически эквивалентен бутылке Клейна.

Все возможные пары точек на прямолинейном отрезке, взятых в определенном порядке (две точки могут и совпадать), образуют квадрат в следующем смысле. Если точки фиксируются их расстояниями x, y от одного из концов A, то пара чисел (x, y) может быть рассматриваема как прямоугольные координаты некоторой точки квадрата.

Все возможные пары точек на прямолинейном отрезке, взятых независимо от порядка (т. е. пара (x, y) и пара (y, x) рассматриваются как одинаковые), образуют поверхность S, топологически эквивалентную квадрату. Чтобы убедиться в этом, будем считать первой ту точку, которая ближе к концу A, если x = y. Тогда S состоит из всех пар (x, y), где или x < y или x = y. В плоскости прямоугольных координат получается треугольник с вершинами (0, 0), (0, 1), (1, 1).

*72. Какая поверхность получается из множества пар точек, взятых в определенном порядке: первая — на прямолинейном отрезке, вторая — на окружности (Ответ: цилиндр).

73. Какая поверхность получается из множества пар точек, взятых в определенном порядке, причем обе точки берутся на окружности (Ответ: тор).

*74. Какая поверхность получается из множества пар точек, взятых независимо от порядка на окружности (Ответ: лента Мёбиуса).

75. Вот правила игры с монетами (одинаковых размеров) на большом круглом столе. A и B кладут монеты на стол по очереди. Монеты не должны касаться друг друга; их можно класть на столе как угодно, лишь бы они не перекрывались и не выступали за край стола. Раз монета положена, двигать ее уже нельзя. Рано или поздно стол покроется монетами таким образом, что для новой монеты места уже не найдется.

Выигрывает тот, кто положит монету последним. Докажите, что, как бы ни играл B, если только A начинает игру, он может быть уверен в выигрыше — лишь бы играл правильно.

76. Убедитесь, что в случае, если стол в предыдущем упражнении имеет форму, показанную на рис. 125, б, то B всегда имеет возможность выиграть.

530 ПРИЛОЖЕНИЕ Функции, пределы, непрерывность 77. Разложите в непрерывную дробь отношение OB : AB со 143.

стр.

78. Докажите, что последовательность a0 = 2, an+1 = 2 + an, монотонно возрастает, ограничена числом B = 2 и, значит, имеет предел.

Докажите, что этот предел не может быть отличен от 2 (см. стр. и 347).

*79. Попробуйте доказать посредством рассуждений, подобных тем, какие были приведены на стр. 339 и далее, что, какова бы ни была гладкая замкнутая кривая, всегда можно начертить квадрат, стороны которого будут касаться кривой.

80. Функция u = f(x) называется вогнутой, если середина отрезка, соединяющего две любые точки соответствующего графика, лежит выше самого графика. Например, функция u = ex вогнутая (рис. 278), тогда как функция u = log x (рис. 277) — не вогнутая.

Докажите, что функция u = f(x) вогнута в том и только том случае, если f(x1) + f(x2) x1 + x f, 2 причем равенство допускается только при x1 = x2.

*81. Докажите, что в случае вогнутой функции оправдывается и более общее неравенство f(x1) + f(x2) f( x1 + x2), 1 2 1 где, — две постоянные, подчиненные ограничениям + = 1, 1 2 1 0, 0. Это равносильно утверждению, что ни одна из точек 1 отрезка, соединяющего две произвольные точки графика, не лежит ниже кривой.

82. Пользуясь условием упражнения 80, докажите, что функции u = = 1 + x2 и u = (при x > 0) вогнутые, т. е. что при положительных x значениях x1 и x 1 + x2 + 1 + xx1 + x1 1 +, 2 1 1 1 +.

2 x1 x2 x1 + x83. Докажите то же для u = x2, u = xn при x > для u = sin x при 0;

x 2 ; для u = tg x при 0 x < и для u = - 1 - x2 при |x| 1.

Максимумы и минимумы 84. Найдите кратчайший путь от точки P к точке Q на рис. 178, если требуется подойти по очереди n раз к каждой из двух данных прямых (см. стр. 353).

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ 85. Найдите кратчайший путь от точки P к точке Q внутри остроугольного треугольника, если требуется подойти к каждой стороне в данном порядке (см. стр. 353).

86. Наметьте линии уровня и удостоверьтесь в существовании по меньшей мере двух седловых точек на поверхности, расположенной над трехсвязной областью, границы которой находятся на одном и том же уровне (см. стр. 367). И здесь нужно сделать исключение для случая, когда касательная плоскость к поверхности горизонтальна вдоль некоторой кривой.

87. Исходя из двух произвольных положительных рациональных чисел a0, b0, одну за другой постройте пары an+1 = anbn, bn+1 = (an + bn). Докажите, что они образуют последовательность вложенных интервалов. (Предел этой последовательности при n есть так называемое арифметико-геометрическое среднее чисел a0, b0, игравшее большую роль в ранних исследованиях Гаусса.) 88. Найдите длину всего графика на рис. 219 и сравните с суммой длин двух диагоналей квадрата.

*89. Исследуйте, при каких условиях, наложенных на точки A1, A2, A3, A4 получается схема рис. 216 и при каких — схема рис. 218.

*90. Найдите такие расположения пяти точек, для которых существовали бы различные минимальные системы путей, удовлетворяющие угловым условиям. Некоторые из этих систем будут соответствовать относительным минимумам (см. стр. 364).

91. Докажите неравенство Шварца (a1b1 +... + anbn)2 (a2 +... + a2 )(b2 +... + b2 ), 1 n 1 n справедливое для каких угодно ai и bi; докажите, что знак равенства возможен только при условии пропорциональности между числами ai и bi.

(Указание: обобщите алгебраическую формулу, приведенную в упражнении 8.) *92. Исходя из n положительных чисел x1,..., xn, построим выражения sk, определяемые формулами x1x2... xk +...

sk =, k Cn причем в числителе стоит сумма всевозможных произведений, составленных из всех сочетаний n чисел по k. Докажите, что k+1 k sk+1 sk и что знак равенства возможен только в случае равенства всех чисел xi.

93. При n = 3 эти неравенства сводятся к следующим:

3 ab + bc + ca a + b + c abc.

3 532 ПРИЛОЖЕНИЕ Какие отсюда вытекают экстремальные свойства куба *94. Найдите дугу кривой минимальной длины, соединяющую две точки A, B и вместе с прямолинейным отрезком AB ограничивающую наперед заданную площадь. (Ответ: дуга должна быть круговая.) *95. Даны два отрезка AB и A B. Найдите дуги кривых, соединяющие A с B и A с B, ограничивающие вместе с отрезками данную площадь и обладающие наименьшей суммой длин. (Ответ: дуги должны быть круговыми, с одинаковыми радиусами.) *96. Тот же вопрос — при каком угодно числе отрезков AB, A B и т. д.

Pages:     | 1 |   ...   | 71 | 72 || 74 | 75 |   ...   | 76 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.