WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 66 | 67 || 69 | 70 |   ...   | 76 |

Отсюда вытекает, что в равРис. 279. Убывание по экспоненциальные промежутки времени подному закону u = u0ekt, k < вергается распаду одна и та же доля имеющегося налицо вещества; действительно, если u1 есть количество вещества, имеющегося в момент времени t1, а u2 — в некоторый последующий момент времени t2, то u2 u0ekt2-t1) = = ek(t, u1 u0ektи последнее выражение зависит только от разности t2 - t1. Вычислим, например, сколько времени потребуется для того, чтобы в процессе распада осталась ровно половина вещества: нам нужно определить s = t2 - t1 из уравнения u2 = = eks, u1 и мы получаем 1 - ln ks = ln, s =. (5) 2 k Напротив, зная s, можно определить k:

ln k = -.

s Для каждого радиоактивного вещества значение s носит название «пе риода полураспада». Число s или некоторое аналогичное например u2 такое, как значение r, при котором = может быть найдено u1 экспериментальным путем. Для радия «период полураспада» равен приблизительно 1550 годам, следовательно, ln k = = -0,0000447.

Отсюда мы находим, что u = u0e-0,0000447t.

488 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ гл. VIII Примером закона, близкого к рассмотренному только что закону показательной функции, может служить явление так называемых сложных процентов. Пусть некоторый капитал u0 (долларов) отдан в рост из расчета 3% (сложных) в год. По истечении одного года капитал станет равным u1 = u0(1 + 0,03);

по истечении двух лет он будет u2 = u1(1 + 0,03) = u0(1 + 0,03)2;

наконец, по истечении t лет он выразится числом ut = u0(1 + 0,03)t. (6) Теперь, если начисление процентов происходило бы не один раз в год, а один раз в месяц, или, вообще, один раз в n-ю часть года, то по истечении t лет наращенный капитал выразился бы формулой nt n t 0,03 0,u0 1 + = u0 1 +.

n n Если предположить, что число n очень велико, так что проценты присчитываются ежедневно или даже ежечасно, то, воображая, что n стремится к бесконечности, мы заметим, что величина, стоящая в скобках, стремится к e0,03 согласно сказанному в § 6, и в пределе капитал по истечении t лет выразится формулой u0e0,03t, (7) что соответствует процессу непрерывного присчитывания сложных процентов. Можно также вычислить время s, нужное для того, чтобы удвоить основной капитал, отданный в рост по 3 сложных непрерывно наu0e0,03s числяемых процента. Мы имеем = 2, откуда s = ln 2 = 23,10.

u0 Итак, капитал удвоился бы по истечении приблизительно 23 лет.

Вместо того чтобы шаг за шагом проделывать описанную выше процедуру и затем переходить к пределу, мы могли бы получить формулу (7), просто сказав, что скорость u возрастания капитала u пропорциональна этому капиталу, с коэффициентом пропорциональности k = 0,03, согласно дифференциальному уравнению u = ku, где k = 0,03.

Тогда формула (7) вытекала бы непосредственно из общей формулы (4).

§ 7 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 3. Другие примеры. Простые колебания. Показательная функция встречается часто в более сложных комбинациях. Например, функция u = e-kx, (8) где k — положительная константа, является решением дифференциального уравнения u = -2kxu.

Функция (8) играет большую роль в теории вероятностей и в статистике, выражая, как говорят, «нормальный» закон распределения.

Тригонометрические функции u = cos t и v = sin t также удовлетворяют простому дифференциальному уравнению. Прежде всего обратим внимание на соотношения u = - sin t = -v, v = cos t = u, образующие «систему двух дифференциальных уравнений с двумя неизвестными функциями». Дифференцируя вторично, мы находим u = -v = -u, v = u = -v;

таким образом, обе функции u и v временного переменного t могут рассматриваться как решение одного и того же дифференциального уравнения z + z = 0. (9) Это — очень простое дифференциальное уравнение «второго порядка», т. е. уравнение, содержащее вторую производную от функции z. Оно, или, лучше сказать, его обобщение, содержащее положительную постоянную k2, z + k2z = 0 (10) (решениями которого являются функции z = cos kt и z = sin kt), постоянно встречается при изучении теории колебаний, и потому «синусоидальные» кривые u = sin kt и u = cos kt (рис. 280) в высшей степени интересуют всех, кто занимается конструкцией механизмов, совершающих или порождающих колебательные движения.

Следует заметить, что дифференциальное уравнение (10) представляет «идеальный» случай, когда трение или сопротивление предполагаются отсутствующими.

В дифференциальном уравнении колебательного движения сопротивление выражается лишним членом, а именно rz, так что уравнение имеет вид z + rz + k2z = 0; (11) 490 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ гл. VIII его решениями являются «затухающие» колебания, выражающиеся математически с помощью формулы rt rt r 2 e- cos t или e- sin t; = k2 -, что графически представлено на рис. 281. (В качестве упражнения читатель пусть проверит правильность этих решений путем дифференцирования.) Затухающие колебания того же самого типа, что и обыкновенные синусоиды или косинусоиды, но с течением времени их размах уменьшается вследствие присутствия показательного множителя, убывающего более или менее быстро, в зависимости от величины коэффициента трения r.

z O t z Рис. 280. Гармонические колебания 4. Закон движения Ньютона. Хотя более подробный анализ подобных явлений нами не предусмотрен, мы все же хотим включить их в общую схему, на основе которой Ньютон произвел подлинную революцию в механике и физике.

Рассмотрим вместе с Ньютоном движение некоторой частицы, имеющей массу m; обозначим ее пространственные координаты, являющиеся функциями времени t, через x(t), y(t), z(t); таким образом, компоненты ускорения равны вторым производным x (t), y (t), z (t). В истории науки фактом решающего значения оказалось осознание Ньютоном того, что величины mx, my, mz могут быть рассматриваемы как компоненты силы, действующей на частицу. С первого взгляда может показаться, что в этой формулировке содержится всего лишь формальное определение понятия «силы». Но большой успех Ньютона заключается в том, что он первый привел это определение в соответствие с действительными явлениями природы: дело обстоит так, как будто бы сама природа предоставляла силовое «поле», которое мы можем считать известным, тогда как нам ничего не известно заранее об интересующем § 7 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ z z O t Рис. 281. Затухающее колебание нас движении частицы в этом поле. Величайший триумф ньютоновской динамики — обоснование законов Кеплера о движении планет — ясно показывает полную гармонию между математическими концепциями Ньютона и явлениями природы. Прежде всего Ньютон предположил, что сила тяготения обратно пропорциональна квадрату расстояния. Если мы допустим, что Солнце находится в начале координатной системы, и примем величины x, y, z за координаты данной планеты, то компоненты силы по направлениям трех координатных осей будут равны соответственно x y z -k ·, -k ·, -k ·, r3 r3 r где r = x2 + y2 + z2 есть расстояние от Солнца до планеты, а k — постоянная тяготения, не зависящая от времени. Эти выражения определяют силовое поле независимо от движения в нем частицы. Известные нам данные, характеризующие это поле, нужно связать с общим ньютоновым законом движения (т. е. связать кинематические и динамические элементы); приравнивая два различных выражения вектора, мы получим 492 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ гл. VIII систему трех дифференциальных уравнений -kx mx =, (x2 + y2 + z2)3/-ky my =, (x2 + y2 + z2)3/-kz mz = (x2 + y2 + z2)3/с тремя неизвестными функциями x(t), y(t), z(t). Эту систему можно решить, и тогда обнаружится, что в полном согласии с кеплеровскими эмпирическими наблюдениями орбита планеты есть коническое сечение с Солнцем в одном из фокусов, что площади, описываемые в равные промежутки времени радиусом-вектором, проведенным от Солнца к планете, равны между собой и что квадраты периодов полного обращения двух планет вокруг Солнца пропорциональны кубам их расстояний от Солнца. Доказательство этих утверждений мы вынуждены опустить.

Задача о колебательном движении предоставляет более элементарную иллюстрацию метода Ньютона. Предположим, что мы имеем частицу, движущуюся по прямой линии, по оси x, и связанную с началом координат силой упругости, что можно, например, осуществить с помощью пружины или резинки.

Если частица выведена из положения равновесия (в начале координат) и помещена в некоторую точку с координатой x, то сила потянет ее назад. Мы предположим, что эта сила пропорциональна растяжению x; так как она направлена к началу координат, то представится в виде -k2x, где -k2 — отрицательный множитель пропорциональности, выражающий силу упругости пружины или резинки.

Мы предположим, далее, что налицо имеется трение, замедляющее движение, и что это трение пропорционально скорости x частицы с коэффициентом пропорциональности, равным -r. Тогда результирующая сила в любой момент времени выразится через -k2x - rx, и, пользуясь общим принципом Ньютона, мы приходим к уравнению mx = -k2x rx, или mx + rx + k2x = 0.

А это — не что иное, как рассмотренное выше дифференциальное уравнение (11) затухающих колебаний. Предыдущий простой пример имеет большое значение, так как многие колебания механических или электрических систем могут быть математически записаны с помощью именно этого дифференциального уравнения. Здесь мы имеем типичный пример того, как отвлеченная математическая формулировка одним ударом обнажает внутреннюю структуру многих, казалось бы, совершенно различных и не связанных между собой отдельных явлений. Подобного рода абстрагирование от частного характера данного явления и пере§ 1 ВОПРОСЫ ПРИНЦИПИАЛЬНОГО ПОРЯДКА ход к общему закону, регулирующему обширный класс явлений, есть характерная черта математической трактовки физических проблем.

ДОПОЛНЕНИЕ К ГЛАВЕ VIII § 1. Вопросы принципиального порядка 1. Дифференцируемость. Понятие производной от некоторой функции y = f(x) мы связывали с интуитивным представлением о касательной к графику этой функции. Но так как общая концепция функции чрезвычайно широка, то в интересах логической законченности необходимо уничтожить эту зависимость от геометрической интуиции.

В самом деле, мы ведь не гарантированы от того, что интуитивные свойства, бросающиеся в глаза при рассмотрении простых кривых, подобных кругу или эллипсу, не исчезнут для графиков более сложных функций. Рассмотрим, например, функцию, изображенную на рис. 282, график которой имеет угловую точку.

Эта функция определяется уравнением y = x + |x|, где символом |x| обозначается абсолютная величина x; иными словами, y = x + x = 2x при x 0, y = x - x = 0 при x < 0.

Другим примером такого рода может служить функция y = |x|, а также функция y = x + |x| + (x - 1) + |x - 1|. Графики этих функций в некоторых точках перестают иметь определенную касательную, т. е. определенное направление; это значит, что функция в соответствующих точках x не имеет производной.

Упражнения. 1) Постройте (т. е. запишите с помощью конкретных аналитических выражений) функцию f(x), график которой есть половина правильного шестиугольника.

y y x x O O Рис. 282. y = x + |x| Рис. 283. y = |x| Рис. 284. y = x + |x| + + (x - 1) + |x - 1| 494 ДОПОЛНЕНИЕ гл. VIII 2) Где расположены угловые точки графика 1 1 x 1 + 1 1 x - 1 f(x) = (x + |x|) + x - + - x - + 2 2 2 4 4 Каковы точки разрыва производной f (x) В качестве простого примера недифференцируемости уже иного типа приведем функцию y = f(x) = x sin, x получаемую посредством умножения функции sin (см. стр. 304) на x множитель x; положим, по определению, что f(x) = 0 при x = 0. Эта функция, график которой для положительных значений переменного x изображен на рис. 285, непрерывна в каждой точке. График колеблется бесконечно часто в окрестности точки x = 0, причем «волны» становятся бесконечно малыми, если мы приближаемся к нулю. Наклон этих волн дается формулой 1 1 f (x) = sin - cos x x x (пусть читатель проверит это в качестве упражнения); при стремлении x к нулю этот наклон колеблется между все возрастающими положительной и отрицательной границами. Мы можем сделать попытку найти производную в точке x = 0, переходя к пределу при h 0 в разностном отношении h sin f(0 + h) - f(0) h = = sin.

h h h Но при h 0 это разностное отношение колеблется между -1 и +1 и не стремится ни к какому пределу, следовательно, функция не может быть продифференцирована в точке x = 0.

Эти примеры указывают на трудности, внутренне присущие самому вопросу. Вейерштрасс удивительно ярко проиллюстрировал положение вещей, построив непрерывную функцию, график которой не имеет производной ни в одной точке. В то время как дифференцируемость влечет за собой непрерывность, непрерывность, как показывает этот пример, отнюдь не влечет за собой дифференцируемости; в самом деле, функция Вейерштрасса всюду непрерывна, а вместе с тем нигде не дифференцируема. На практике трудности такого рода не встретятся.

Обычно встречающиеся кривые являются «гладкими» (за исключением разве только отдельных изолированных точек), т. е. дифференцирование не только возможно, но даже сама производная является непрерывной. Что же в таком случае может нам помешать просто сделать оговорку, что никакие «патологические» явления не будут фигурировать в задачах, подлежащих нашему рассмотрению Именно так и поступают в анализе те, кому приходится иметь дело только с § 1 ВОПРОСЫ ПРИНЦИПИАЛЬНОГО ПОРЯДКА дифференцируемыми функциями. В главе VIII мы провели дифференцирование обширного класса функций и тем самым доказали их дифференцируемость.

Поскольку дифференцируе- y мость функции не есть логическая неизбежность, она — с математической точки зрения — должна быть или постулирована, или доказана.

В таком случае само понятие касательной или направления кривой (первоначальный источник идеи производной) ставится в зависимость от чисто аналитического определения производной: если x O функция y = f(x) дифференцируема, т. е. если разностное отношение f(x + h) - f(x) имеет единственный h Рис. 285. y = x sin предел f (x) при стремлении h к x нулю с обеих сторон, то принято говорить, что соответствующая кривая имеет касательную с наклоном f (x). Таким образом, наивная позиция Ферма, Лейбница и Ньютона в современном анализе вывернута наоборот — в интересах логической стройности.

Упражнения. 1) Покажите, что непрерывная функция, определенная формулой f(x) = x2 sin и добавочным условием f(0) = 0, дифференцируема x в точке x = 0.

Pages:     | 1 |   ...   | 66 | 67 || 69 | 70 |   ...   | 76 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.