WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 65 | 66 || 68 | 69 |   ...   | 76 |

3. Формулы дифференцирования функций ex, ax, xs. Так как показательную функцию мы определили как обратную по отношению к функции y = ln x, то из правила дифференцирования обратных функций (§ 3) вытекает, что dx 1 E (y) = = = = x = E(y), dy dy x dx т. е.

E (y) = E(y). (11) Производная от «натуральной» показательной функции тождественно равна самой функции. Это есть истинный источник всех свойств показательной функции и основная причина ее роли во всех приложениях, как это станет видно в последующих разделах. Используя дифференциальные обозначения, мы можем записать формулу (11) в следующем виде:

d ex = ex. (11a) dx В более общем случае, дифференцируя сложную функцию f(x) = e x с помощью правила, данного в § 3, мы получим равенство f (x) = e x = f(x).

Таким образом, полагая = ln a, мы найдем, что функция f(x) = ax § 6 ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ (ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНАЯ) ФУНКЦИЯ И ЛОГАРИФМимеет производную f (x) = ax ln a.

Переходя теперь к рассмотрению степенной функции f(x) = xs при любом действительном показателе s и при положительном переменном x, мы можем определить ее по формуле xs = es ln x.

Снова применяя правило дифференцирования сложной функции к случаю, когда f(x) = esz, z = ln x, мы найдем производную 1 f (x) = sesz · = sxs ·, x x так что f (x) = sxs-1, в полном соответствии с прежним правилом дифференцирования степенной функции при рациональном показателе s.

4. Явные выражения числа e и функций ex и ln x в виде пределов. Для того чтобы найти явные формулы, выражающие эти функции, мы используем формулы дифференцирования показательной и логарифмической функции. Так как производная функции ln x равна, то в силу определения производной мы получаем соотношение x 1 ln x1 - ln x = lim при x1 x.

x x1 - x Положим x1 = x + h и допустим, что h стремится к нулю, пробегая 1 1 1 последовательность h =,,,...,,...; тогда, применяя правила 2 3 4 n действий с логарифмами, мы получим 1 n ln x + - ln x x + 1 n n = n ln = ln 1 +.

x nx x n Если вместо мы подставим z и перейдем к пределу, то написанное x выше соотношение примет вид n z z = lim ln 1 + при n.

n Или, в терминах показательной функции, n z ez = lim 1 + при n. (12) n Мы получили общеизвестную формулу, определяющую показательную функцию просто как предел. В частности, при z = 1 эта формула дает n e = lim 1 + при n, (13) n 480 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ гл. VIII а при z = -1 получается n 1 = lim 1 - при n. (13a) e n Эти выражения сразу ведут к разложениям в бесконечные ряды. По биномиальной теореме можно написать n n(n xx x - 1) n(n - 1)(n - 2) x3 xn 1 + = 1 + n + + +... +, n n 2! n2 3! n3 nn или n x x2 x 1 x3 1 1 + = 1 + + 1 - + 1 - 1 - +...

n 1! 2! n 3! n n xn 1 2 n - 2 n -... + 1 - 1 -... 1 - 1 -.

n! n n n n Позволительно догадываться и нетрудно полностью доказать (подробности мы здесь опускаем), что можно перейти к пределу при n путем замены в каждом члене величины на 0. Это дает хорошо известный n бесконечный ряд, который служит для вычисления функции ex:

x x2 xex = 1 + + + +... (14) 1! 2! 3! и, в частности, при x = 1 ряд, сходящийся к пределу e:

1 1 e = 1 + + + +..., 1! 2! 3! чем устанавливается идентичность e с тем числом, определение которого дано на стр. 320. При x = -1 получается ряд 1 1 1 1 = - + - +..., e 2! 3! 4! 5! который дает превосходное приближение уже при очень малом числе членов, так как ошибка, которую мы совершаем, обрывая ряд на n-м члене, меньше величины (n + 1)-го члена.

Пользуясь формулой дифференцирования показательной функции, можно получить интересное выражение для логарифма. Имеет место соотношение eh - 1 eh - elim = lim = 1, h0 h h0 h так как указанный предел есть не что иное, как значение производной от функции ey при y = 0, а таковое равно 1. Подставим в эту формулу z вместо h значение, где z — произвольное число, а n пусть пробегает n последовательность целых положительных чисел. Тогда мы получим z n e - n 1, z или n n( ez - 1) z § 6 ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ (ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНАЯ) ФУНКЦИЯ И ЛОГАРИФМпри n. Вводя обозначение z = ln x, или ez = x, можно окончательно написать n ln x = lim n( x - 1) при n. (15) n Поскольку x 1 при n (см. стр. 346), формула (15) представляет логарифм в виде произведения двух множителей, из которых первый стремится к бесконечности, а второй — к нулю.

Примеры и упражнения Введение показательной и логарифмической функций доставляет возможность оперировать с функциями достаточно обширного класса и открывает доступ ко многим приложениям.

Продифференцируйте: 1) x(ln x - 1); 2) ln(ln x); 3) ln(x + 1 + x2);

2 x 4) ln(x + 1 - x2); 5) e-x ; 6) ee (сложная функция ez, где z = ex);

x 7) xx (Указание: xx = ex ln x); 8) ln tg x; 9) ln sin x, ln cos x; 10).

ln x Найдите максимумы и минимумы функций: 11) xe-x; 12) x2e-x; 13) xe-ax.

*14) Найдите геометрическое место максимумов кривой y = xe-ax при переменном параметре a.

15) Покажите, что все последовательные производные от функции e-x имеют вид произведения множителя e-x на многочлены от x последовательно возрастающих степеней.

*16) Покажите, что производные n-го порядка от функции e- xимеют вид произведения множителей e- x· на многочлен степени 2n - 2.

x3n *17) Логарифмическое дифференцирование. Дифференцирование произведений может быть иногда упрощено путем применения основного свойства логарифма. Действительно, имея дело с произведением p(x) = f1(x)f2(x)... fn(x), можно написать d(ln p(x)) d(ln f1(x)) d(ln f2(x)) d(ln fn(x)) = + +... +, dx dx dx dx и дальше, с помощью формулы дифференцирования сложных функций, отсюда следует p (x) f1(x) f2(x) fn(x) = + +... +.

p(x) f1(x) f2(x) fn(x) Воспользуйтесь этим при дифференцировании примеров а) x(x + 1)(x + 2)... (x + n); б) xe-ax.

5. Бесконечный ряд для логарифма. Вычисление логарифмов. Числовые значения логарифмов вычисляются отнюдь не с помощью формулы (15). Гораздо лучше приспособлено для этой цели совершенно иное, более полезное, явное выражение, имеющее, кроме того, большое теоретическое значение. С помощью метода, примененного на стр. 466 при вычислении, мы получим это выражение, опираясь на определение логарифма по формуле (1). Но здесь необходим один 482 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ гл. VIII предварительный шаг: вместо функции ln x рассмотрим функцию y = ln(1 + x), составленную из функций y = ln z и z = 1 + x. Имеем:

dy dy dz 1 = · = · 1 =.

dx dz dx z 1 + x Итак, функция y = ln(1 + x) является первообразной по отношению к функции, и мы заключаем, согласно основной теореме, что инте1 + x грал от функции в пределах от 0 до x равен выражению ln(1 + 1 + u x) - ln 1 = ln(1 + x); или, в символической записи, x ln(1 + x) = du. (16) 1 + u (Эту формулу можно было бы, конечно, получить и интуитивно из геометрической интерпретации логарифма как площади. Сравните с рассуждением на стр. 468.) В формулу (16) подставим вместо (1 + u)-1 сумму геометрической прогрессии, как мы это делали на стр. 466, а именно 1 un = 1 - u + u2 - u3 +... + (-1)n-1un-1 + (-1)n ;

1 + u 1 + u из осторожности мы предпочитаем оперировать не с бесконечным рядом, а с конечной суммой и остаточным членом, который равен un Rn = (-1)n.

1 + u Подставив эту сумму в формулу (16), можно применить правило почленного интегрирования конечной суммы. Интеграл от степени us в предеxs+лах от 0 до x равен ; таким образом, мы получим немедленно s + x2 x3 x4 xn ln(1 + x) = x - + - +... + (-1)n-1 + Tn, 2 3 4 n где остаточный член Tn выражается интегралом x un Tn = (-1)n du.

1 + u Покажем теперь, что Tn стремится к нулю при возрастании n, предварительно условившись, что переменное x может быть лишь больше -и не превышать +1, т. е., другими словами, что выполнено неравенство -1 < x (заметим, что x = +1 включается, в то время как x = -1 не включается). Согласно нашему предположению, в промежутке интегрирования переменное u больше, чем некоторое число -, которое может быть § 6 ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ (ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНАЯ) ФУНКЦИЯ И ЛОГАРИФМблизко к -1, но во всяком случае больше, чем -1, так что -1 < - < u.

Отсюда следует 0 < 1 - < 1 + u. Поэтому при условии, что u заключено в промежутке от 0 до x, имеет место неравенство |u|n un, 1 + u 1 - и следовательно, x |Tn| un du, 1 - или 1 |x|n+1 1 |Tn|.

1 - n + 1 1 - n + Поскольку число 1 - является постоянным, мы видим, что выражение, стоящее справа, а следовательно, и стоящее слева |Tn|, при возрастании n стремится к нулю; значит, из неравенства xn 1 ln(1 + x) - x - x2 x+ -... + (-1)n (17) 2 3 n 1 - n + вытекает, что при -1 < x 1 справедливо равенство x2 x3 xln(1 + x) = x - + - +... (18) 2 3 Подставляя, в частности, x = 1, получаем любопытную формулу 1 1 ln 2 = 1 - + - +... (19) 2 3 Эта формула по своей структуре похожа на выведенную раньше формулу, представляющую в виде ряда число.

Ряд (18) не имеет большого практического значения для вычисления логарифмов, потому что область изменения величины 1 + x ограничена промежутком от 0 до 2, а также по той причине, что сходимость ряда очень медленная: пришлось бы брать много членов, чтобы получить сколько-нибудь точный результат. При помощи следующего приема мы получим выражение, практически более удобное. Вместо x в формулу (18) подставим -x:

x2 x3 xln(1 - x) = -x - - - -... (20) 2 3 Вычитая, далее, формулу (20) из формулы (18) и применяя преобразо1 a вание ln a - ln b = ln a + ln = ln, мы получим b b 1 + x x3 xln = 2 x + + +.... (21) 1 - x 3 Этот ряд сходится быстрее, и, кроме того, левая часть формулы может теперь выразить логарифм любого положительного числа z, так как 484 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ гл. VIII 1 + x уравнение = z имеет при любом положительном z решение x, за1 - x ключенное между -1 и +1. Например, если нам нужно вычислить ln 3, то мы положим x = и тогда получим 1 + 1 1 ln 3 = ln = 2 + + +....

1 · 2 3 · 23 5 · 1 2 Взяв всего лишь 6 членов, вплоть до члена =, мы находим 11 · 211 значение ln 3 = 1,с пятью значащими цифрами.

§ 7. Дифференциальные уравнения 1. Определения. Главенствующая роль, которую показательные и тригонометрические функции играют в математическом анализе и его применениях к задачам физики, основывается на том, что эти функции являются решениями простейших «дифференциальных уравнений».

Дифференциальным уравнением относительно неизвестной функции u = f(x) с производной u = f (x) (обозначение u очень удачно сокращает обозначение f (x), поскольку величина u и ее формальная зависимость от x как функции f(x) не нуждаются в особенном подчеркивании) называется уравнение, содержащее функцию u, производную u и, может быть, независимое переменное x, как, например, u = u + sin(xu) § 7 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ или u + 3u = x2.

В более общем случае дифференциальное уравнение может содержать вторую производную u = f (x) или производные более высокого порядка, как, например, уравнение u + 2u - 3u = 0.

Во всех подобных случаях задачей является нахождение функции u = f(x), удовлетворяющей данному уравнению.

Решение дифференциальных уравнений есть широкое обобщение задачи интегрирования, понимаемой как нахождение первообразной функции по заданной функции g(x): последнее сводится к решению простейшего дифференциального уравнения u = g(x).

Например, решениями дифференциального уравнения u = xxявляются функции u = + c, где c — произвольное постоянное.

2. Дифференциальное уравнение экспоненциальной функции. Радиоактивный распад. Закон роста. Сложные проценты.

Показательная функция u = ex является решением дифференциального уравнения u = u, (1) так как производная от показательной функции равна самой показательной функции. И вообще, функция u = cex, где c — произвольное постоянное, есть решение уравнения (1). Аналогично, функция u = cekx, (2) где c и k — две какие-нибудь постоянные, есть решение дифференциального уравнения u = ku. (3) Обратно, всякая функция u = f(x), удовлетворяющая уравнению (3), имеет вид (2). В самом деле, пусть функции x = h(u) и u = f(x) взаимно обратные; в таком случае, следуя правилам дифференцирования обратной функции, найдем 1 h = =.

u ku Функцией, первообразной по отношению к найденной производной, ku ln u ln u является функция ; итак, x = h(u) = + b, где b — некоторое поk k стоянное. Отсюда ln u = kx - bk 486 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ гл. VIII и u = ekx · e-bk.

Полагая постоянную величину e-bk равной c, получим u = cekx, как и нужно было предвидеть.

Большое значение уравнения (3) заключается в том, что оно «регулирует» физические процессы, в которых количество u какого-нибудь вещества представляет собой функцию времени u = f(t) и притом изменяется таким образом, что скорость изменения в каждый момент пропорциональна количеству u вещества, имеющегося налицо.

В этом случае скорость изменения в момент t, т. е.

f(t1) - f(t) u = f (t) = lim, t1 - t равна ku, где k — постоянный коэффициент пропорциональности, положительный, если u возрастает, и отрицательный, если u убывает. В обоих случаях функция u удовлетворяет дифференциальному уравнению (3);

следовательно, она имеет вид u = cekt.

Постоянная c определена, если известно количество вещества u0, имевшееся налицо в начальный момент, т. е. при t = 0. Величину u0 мы должны получить при подстановке t = 0 в уравнение (2):

u0 = ce0 = c;

отсюда и получается u = u0ekt. (4) Следует обратить внимание на то, что мы исходим из предположения, что задана скорость изменения величины u, и выводим закон (4), который позволяет вычислить фактическое количество вещества u в любой момент времени t. Эта задача как раз противоположна задаче нахождения производной от какой-нибудь функции.

Типичным примером явления указанного типа можно считать распад некоторого радиоактивного вещества. Пусть u = f(t) есть количество вещества в момент времени t; если принять гипотезу, что каждая индивидуальная частица вещества имеет некоторую определенную вероятность распада и что эта вероятность не зависит от присутствия других частиц, то скорость, с которой количество u будет распадаться в данный момент § 7 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ времени t, будет пропорциональ- u на общему количеству вещества u, имеющемуся налицо. Таким образом, функция u должна удо влетворять уравнению (3) при отрицательной постоянной k, коu торая измеряет быстроту про цесса распада; итак, вид функ- ции следующий:

O 1 2 3 4 5 t u = u0ekt.

Pages:     | 1 |   ...   | 65 | 66 || 68 | 69 |   ...   | 76 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.