WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 64 | 65 || 67 | 68 |   ...   | 76 |

a 0 = G(a) + c, так что c = -G(a). Тогда определенный интеграл в пределах от a до x тождественно удовлетворяет равенству x F (x) = f(u)du = G(x) - G(a);

a замена x через b приводит к формуле b f(u)du = G(b) - G(a), (3) a независимо от того, какая именно из первообразных функций была «пущена в ход». Другими словами: чтобы вычислить определенный ин b теграл f(x)dx, достаточно найти такую функцию G(x), для котоa рой G (x) = f(x), и затем составить разность G(b) - G(a).

2. Первые применения. Интегрирование функций xr, cos x, sin x. Функция arctg x. Здесь невозможно дать исчерпывающее представление о роли основной теоремы, и мы ограничимся тем, что приведем несколько выразительных примеров. В задачах, встречающихся в механике и физике или в самой математике, очень часто приходится подсчитывать числовое значение некоторого определенного интеграла.

Прямая попытка найти интеграл как предел может быть непреодолимо трудной. С другой же стороны, как мы это видели в § 3, любое дифференцирование выполняется сравнительно легко, и без труда возможно накопить очень большое количество формул дифференцирования. Каждая такая формула G (x) = f(x), обратно, может быть рассматриваема как формула, определяющая первообразную функцию G(x) от функции f(x).

Формула (3) позволяет использовать известную первообразную функцию для вычисления интеграла от функции f(x) в некотором данном промежутке.

Если мы, например, хотим найти интегралы от степеней x2, x3, или в общем виде xn, то самое простое — это действовать, как указано в § 1. По формуле дифференцирования степени производная от xn равна nxn-1, 470 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ гл. VIII так что производная от функции xn+G(x) = (n = -1) n + есть функция n + G (x) = xn = xn.

n + xn+В таком случае функция является первообразной функцией n + по отношению к функции f(x) = xn, а следовательно, мы немедленно получаем формулу b bn+1 - an+xn dx = G(b) - G(a) =.

n + a Это рассуждение несравненно проще громоздкой процедуры непосредственного вычисления интеграла как предела суммы.

Как более общий случай, мы нашли в § 3, что при любом рациональном s, как положительном, так и отрицательном, производная функции xs равна sxs-1, а потому при s = r + 1 функция xr+G(x) = r + имеет производную f(x) = G (x) = xr (мы предполагаем, что r = -1, xr+т. е. что s = 0). Итак, функция есть первообразная функция, или r + «неопределенный интеграл» от xr, и мы получаем (при положительных a и b и при r = -1) формулу b br+1 - ar+xr dx =. (4) r + a В формуле (4) приходится предполагать, что стоящая под интегралом функция xr определена и непрерывна в промежутке интегрирования, так что нужно исключить точку x = 0, если r < 0. Вот потому мы и вынуждены допустить, что в этом случае a и b положительны.

Если положим G(x) = - cos x, то получим G (x) = sin x, и отсюда возникает соотношение a sin xdx = -(cos a - cos 0) = 1 - cos a.

Аналогично, если G(x) = sin x, то G (x) = cos x, и значит, a cos xdx = sin a - sin 0 = sin a.

§ 5 ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА АНАЛИЗА Особенно интересный результат получается из формулы дифференцирования функции arctg x:

d(arctg x) =.

dx 1 + xРаз функция arctg x есть первообразная по отношению к функции, 1 + xто на основании формулы (3) можно написать b arctg b - arctg 0 = dx.

1 + xНо arctg 0 = 0 (нулевому значению тангенса соответствует нулевое значение угла). Итак, мы имеем b arctg b = dx. (5) 1 + x В частности, если b = 1, то arctg b равно значению тангенса, равному 1, соответствует угол в 45, что в радианной мере со y ставляет. Таким образом, мы получаем замечательную формулу = dx. (6) 4 1 + xЭто показывает, что площадь под графиком функции y = x O в пределах от x = 0 до x = 1 + x1 равна четверти площади едиРис. 276. Площадь под криничного круга.

вой y = в пределах от 0 до 1 + x3. Формула Лейбница равна для. Последний результат приводит к одной из красивейших математических формул, открытых в XVII в., — к знакопеременному ряду Лейбница, позволяющему вычислять :

1 1 1 1 1 = - + - + - +... (7) 4 1 3 5 7 9 Символ +... следует понимать в том смысле, что последовательность конечных «частных сумм», получающихся, когда в правой части равенств берется лишь n членов суммы, стремится к пределу при неограниченном возрастании n.

472 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ гл. VIII Чтобы доказать эту замечательную формулу, нам достаточно вспомнить формулу суммы конечной геометрической прогрессии 1 - qn = 1 + q + q2 +... + qn-1, 1 - q или 1 qn = 1 + q + q2 +... + qn-1 +.

1 - q 1 - q Если в последнее алгебраическое тождество подставим q = -x2, то получим = 1 - x2 + x4 - x6 +... + (-1)n-1x2n-2 + Rn, (8) 1 + xгде «остаточный член» Rn выражается формулой x2n Rn = (-1)n.

1 + xРавенство (8) можно проинтегрировать в пределах от 0 до 1. Следуя правилу a) из § 3, мы должны взять в правой части сумму интегралов от отдельных слагаемых. На основании (4) мы знаем, что b bm+1 - am+xm dx =, m + a откуда, в частности, получим xm dx =, а следовательно, m + dx 1 1 = 1 - + - +... + (-1)n-1 1 + Tn, (9) 1 + x2 3 5 7 2n - x2n где Tn = (-1)n · dx. Согласно формуле (5), левая часть форму1 + xлы (9) равна. Разность между и частной суммой 4 1 1 (-1)n-Sn = 1 - + -... + 3 5 2n - равна - Sn = Tn. Остается доказать, что Tn стремится к нулю при возрастании n. Мы имеем неравенство x2n x2n.

1 + xВспомнив формулу (13) § 1, устанавливающую неравенство b b f(x)dx g(x)dx при f(x) g(x) и a < b, a a § 6 ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ (ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНАЯ) ФУНКЦИЯ И ЛОГАРИФМмы видим, что 1 x2n |Tn| = dx x2n dx.

1 + x0 Правая часть в этом неравенстве, согласно формуле (4), равна ;

2n + поэтому |Tn| <. Окончательно имеем неравенство 2n + - Sn <.

4 2n + Так как стремится к нулю, то это и показывает, что Sn стремится 2n + к при возрастании n. Таким образом, формула Лейбница доказана.

§ 6. Показательная (экспоненциальная) функция и логарифм Концепции анализа предоставляют возможность построить гораздо более полную теорию логарифма и показательной функции, чем это делает та элементарная процедура, которая лежит в основе обычного преподавания в школе. Там обычно отправляются от целых степеней an m положительного числа a, а затем определяют корень a1/m = a, получая, таким образом, значения ar при любом рациональном показатеn ле r =. Затем значение степени ax при иррациональном x определяетm ся так, что ax должна быть непрерывной функцией от x,— деликатный вопрос, обыкновенно опускаемый в элементарном изложении. Наконец, логарифмом числа y при основании a называется функция, обратная по отношению к показательной функции y = ax.

В последующем изложении теории этих функций, построенном на основах анализа, ход мыслей противоположный. Мы начнем с логарифма, а затем придем к показательной функции.

1. Определение и свойства логарифма. Эйлерово число e.

Определим логарифм, или, точнее говоря, «натуральный логарифм» F (x) = ln x (его связь с обычным десятичным логарифмом будет установлена в пункте 2), как площадь под кривой y = в пределах от u = 1 до u = x, u или, что сводится к тому же, как следующий интеграл:

x F (x) = ln x = du (1) u (см. рис. 5, стр. 47). Здесь переменная x может быть любым положительным числом. Нуль исключается потому, что при стремлении u к нулю функция, стоящая под интегралом, стремится к бесконечности.

474 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ гл. VIII Естественно заняться изучением функции F (x). Мы знаем, что первообразная функция по отношению к любой степени xn представляет соxn+бой функцию того же типа, так как равна ; исключением является n + степень n = -1. В этом последнем случае знаменатель n + 1 превратился бы в нуль, и формула (4) на стр. 464 потеряла бы смысл. Таким образом, 1 можно ожидать, что изучение интеграла от функции или приведет x u к новому (и интересному) типу функции.

Хотя мы и принимаем формулу (1) за определение функции ln x, однако мы не «знаем» самой функции, пока мы не установим ее свойств и не найдем способов находить ее числовые значения. Нужно заметить, что для современных методов в анализе очень характерно то, что мы отправляемся от общих понятий — таких как площадь или интеграл, и уже на основе этих понятий устанавливаем определения, подобные (1);

затем выводим свойства определяемых объектов и лишь в самом конце приходим к явным выражениям, позволяющим вычислять их числовые значения.

Первое важное свойство функции ln x непосредственно следует из основной теоремы § 5. Согласно этой теореме, справедливо равенство F (x) =. (2) x Из формулы (2) следует, что производная F (x) всегда положительна, а это указывает, очевидно, на то, что функция ln x монотонно возрастает при возрастании x.

Главное свойство логарифма выражается формулой ln a + ln b = ln(ab). (3) Значение этой формулы в практических применениях логарифмов к числовым выкладкам хорошо известно. Формулу (3) можно было бы получить интуитивно, воспользовавшись площадями, определяющими три величины, а именно: ln a, ln b и ln(ab). Но мы предпочтем развернуть доказательство, типичное для анализа: наряду с функцией F (x) = ln x рассмотрим другую функцию k(x) = ln(ax) = ln w = F (w), полагая w = f(x) = ax, где a — произвольная положительная постоянная.

Функцию k(x) можно легко продифференцировать с помощью правила д) из § 3: k (x) = f (w) · f (x). Вследствие формулы (2) и поскольку f (x) = a, это выражение принимает вид a a k (x) = = =.

w ax x Итак, функция k(x) имеет ту же производную, что и функция F (x); раз так, то, согласно сказанному на стр. 462, мы имеем тождество ln(ax) = k(x) = F (x) + c, § 6 ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ (ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНАЯ) ФУНКЦИЯ И ЛОГАРИФМгде c есть постоянная, не зависящая от значения переменной x. Константа c определяется с помощью простой подстановки x = 1 в последнем равенстве. Из определения (1) следует, что F (1) = ln 1 = (так как интеграл, взятый в качестве определения, при значении x = имеет равные верхний и нижний пределы). Теперь мы можем написать k(1) = ln(a · 1) = ln a = ln 1 + c = c, т. е. c = ln a, а потому при любом x справедливо тождество ln(ax) = ln a + ln x. (3a) Полагая x = b, мы получим, наконец, искомую формулу (3).

В частности, при a = x мы найдем последовательно, что ln(x2) = 2 ln x, ln(x3) = 3 ln x, (4).........

ln(xn) = n ln x.

Из равенств (4) можно заключить, что при неограниченном возрастании x значения функции ln x также возрастают неограниченно. Достаточно заметить, например, что ln(2n) = n ln 2, причем правая часть, очевидно, неограниченно возрастает вместе с n, и вспомнить, что было установлено свойство монотонного возрастания функции ln x. Далее, мы имеем:

1 0 = ln 1 = ln x · = ln x + ln, x x так что ln = - ln x. (5) x Наконец, справедливо равенство ln xr = r ln x (6) m при любом рациональном показателе r =. В самом деле, полагая xr = n u, мы получаем:

m ·n n n ln u = ln un = ln x = ln xm = m ln x, откуда следует m m n ln x = ln x.

n Поскольку ln x есть монотонная и непрерывная функция от x, принимающая значение 0 при x = 1 и стремящаяся к бесконечности при 476 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ гл. VIII y x y e x O x y O Рис. 277. y = ln x Рис. 278. x = E(y) неограниченном возрастании x, должно существовать некоторое число x, большее чем единица и такое, что для него будет иметь место равенство ln x = 1. Следуя Эйлеру, обозначим это число буквой e. (Тождественность этого определения с определением, данным на стр. 320, будет доказана позднее.) Итак, число e определено уравнением ln e = 1. (7) Мы ввели число e, опираясь на свойство непрерывных функций, обеспечивающее существование корня этого уравнения. Теперь мы продолжим наше изыскание, чтобы как следствие получить явные формулы, позволяющие вычислить e с какой угодно точностью.

2. Показательная (экспоненциальная) функция. Суммируя наши предыдущее результаты, мы можем сказать, что функция F (x) = ln x равна нулю при x = 1; монотонно возрастает до бесконечности при x но при этом график имеет убывающий наклон, равный величине ; при значениях x, меньших единицы, выражается при x помощи функции - ln, так что ln x стремится к отрицательной x бесконечности при x 0.

Монотонный характер возрастания функции y = ln x позволяет рассматривать обратную ей функцию x = E(y), график которой (рис. 278) получается обычным путем из графика функции y = ln x (рис. 277); эта обратная функция определена при всех значениях y от - до +. При y - функция E(y) стремится к нулю;

при y, с другой стороны, E(y). Рассматриваемая функция E § 6 ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ (ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНАЯ) ФУНКЦИЯ И ЛОГАРИФМобладает следующим основным свойством:

E(a) · E(b) = E(a + b) (8) при любой паре значений a и b. Последнее тождество есть просто видоизменение формулы (3), выражающей свойство логарифма. Действительно, если мы придадим формуле (3) вид ln x + ln z = ln(xz) и затем положим E(a) = x, E(b) = z (т. е. a = ln x, b = ln z), то будем иметь ln(xz) = ln x + ln z = a + b, а отсюда вытекает E(a + b) = xz = E(a) · E(b), что и требовалось доказать.

Так как, по определению, ln e = 1, то имеет место соотношение E(1) = e;

присоединяя к этому формулу (8), получим равенство e2 = E(1) · E(1) = = E(2), и т. д. Вообще, E(n) = en n при любом целом n. Аналогично можно получить E = e, так что n p 1 q E = E ·... · E = (e )p;

q q q p полагая затем = r, заключаем, что q E(r) = er при любом рациональном r. Поэтому вполне естественно определить иррациональную степень числа e по формуле ey = E(y), справедливой при любом действительном y, поскольку функция E непрерывна при всех значениях y и тождественна с функцией ey при рациональных значениях y. Формулу (8), выражающую основное свойство функции E, или, по общепринятой терминологии, экспоненциальной (показательной) функции, теперь можно выразить при помощи равенства eaeb = ea+b, (9) которое тем самым установлено для произвольных рациональных или иррациональных значений a и b.

Во всех этих рассуждениях мы относили логарифм и показательную функцию к числу e как к «основанию», точнее, к «натуральному 478 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ гл. VIII основанию» логарифмов. Перейти от основания e к некоторому другому положительному основанию не представляет труда. Начнем с рассмотрения натурального логарифма = ln a (что равносильно a = a = eln a). Показательную функцию ax мы станем определять посредством следующего сложного выражения:

z = ax = e x = ex ln a. (10) Например, 10x = ex ln 10.

Назовем функцию, обратную по отношению к функции ax, логарифмом при основании a; нетрудно понять, что натуральный логарифм от z есть произведение x на : другими словами, логарифм числа z при основании a получается путем деления натурального логарифма числа z на постоянный натуральный логарифм числа a. Если a = 10, то это число (с четырьмя значащими цифрами) выражается следующим образом:

ln 10 2,303.

Pages:     | 1 |   ...   | 64 | 65 || 67 | 68 |   ...   | 76 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.