WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 62 | 63 || 65 | 66 |   ...   | 76 |

Первой целью, которую поставил себе Ньютон, было нахождение скорости частицы, движущейся неравномерно. Рассмотрим для простоты движение частицы вдоль некоторой прямой линии, заданное функцией x = f(t). Если бы движение было равномерным, т. е. совершалось с постоянной скоростью, то эту скорость можно было бы найти, взяв два момента времени t и t1 и соответствующие им положения частиц f(t) и f(t1) и составив отношение расстояние x1 - x f(t1) - f(t) v = скорость = = =. (3) время t1 - t t1 - t Например, если t измерено в часах, а x в километрах, то при t1 - t = разность x1 - x будет число километров, пройденных за 1 час, а v — скорость (километров в час). Говоря, что скорость есть величина постоянная, имеют в виду лишь то, что разностное отношение f(t1) - f(t) (4) t1 - t не изменяется при любых значениях t и t1. Но если движение неравномерно (что имеет, например, место при свободном падении тела, скорость которого по мере падения возрастает), то отношение (4) не дает значения скорости в момент t, а представляет собой то, что принято называть 454 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ гл. VIII средней скоростью в промежутке времени от t до t1. Чтобы получить скорость в момент t, нужно вычислить предел средней скорости при стремлении t1 к t. Таким образом, вместе с Ньютоном определим скорость так:

f(t1) - f(t) скорость в момент t = lim = f (t). (5) t1t t1 - t Другими словами, скорость есть производная от «пройденного пути» (координаты частицы на прямой) по времени, или «мгновенная скорость изменения» пути по отношению ко времени — в противоположность средней скорости изменения, определяемой по формуле (4).

Скорость изменения самой скорости называется ускорением. Ускорение — это просто производная от производной; она обычно обозначается символом f (t) и называется второй производной от функции f(t).

Галилей заметил, что вертикальное расстояние x, проходимое при свободном падении тела в течение времени t, выражается формулой x = f(t) = gt2, (6) где g есть ускорение силы тяжести. Из формулы (6), путем дифференцирования ее, можно получить скорость v тела в момент времени t; эта скорость выражается формулой v = f (t) = gt, (7) а ускорение, которое постоянно,— формулой = f (t) = g.

Предположим, что нужно найти скорость тела через 2 секунды после начала падения. Найдем сначала среднюю скорость за промежуток времени от t = 2 до t = 2,1:

1 g · (2,1)2 - g · 4,905 · 0,2 = = 20,11 (метров в секунду).

2,1 - 2 0,Подставляя же в формулу (7) значение t = 2, мы найдем, что значение мгновенной скорости в конце второй секунды равно 19,62 (метров в секунду).

Упражнение. Какова средняя скорость тела за промежуток времени от t = 2 до t = 2,01, от t = 2 до t = 2,001 При движении точки на плоскости две производные f (t) и g (t) двух функций x = f(t) и y = g(t) определяют компоненты скорости. При движении вдоль заданной кривой скорость нужно определить как производную от функции s = f(t), где s — длина дуги.

§ 2 ПРОИЗВОДНАЯ 7. Геометрический смысл второй производной. Вторая производная f (x) имеет также важное значение в анализе и в геометрии; в самом деле, представляя собой скорость изменения наклона f (x) кривой y = f(x), вторая производная дает указание на то, как изогнута кривая. Если в некотором промежутке вторая производная больше нуля, то скорость изменения наклона f (x) положительна. Положительный знак скорости изменения некоторой функции указывает на то, что эта функция возрастает с возрастанием аргумента x. Следовательно, неравенство f (x) > 0 указывает на то, что наклон f (x) есть возрастающая функция x и, значит, при увеличении x кривая становится более крутой там, где наклон ее положителен, и более пологой там, где наклон отрицателен. Условимся говорить, что в этом случае кривая вогнута (рис. 270).

Аналогично, если f (x) < 0, то будем говорить, что кривая y = f(x) выпукла (рис. 271).

y y f (x) 0 f (x) x x O O Рис. 270–271. Вогнутость и выпуклость кривой Парабола y = f(x) = x2 всюду вогнута, так как ее вторая производная (f (x) = 2) всегда положительна. Кривая y = f(x) = x3 вогнута при x > и выпукла при x < 0 (рис. 153); это видно по ее второй производной, f (x) = 6x, в чем читатель может легко убедиться сам. Между прочим, при x = 0 имеем f (x) = 3x2 = 0 (но нет ни минимума, ни максимума!), а также f (x) = 0 при x = 0. Эта точка называется точкой перегиба. В точках, которые так называются, касательная (в данном случае ось x) пересекает кривую.

Если буква s обозначает длину дуги кривой, а буква — угол наклона, то функция = h(s) есть функция переменного s. При передвижении точки по кривой функция = h(s) будет меняться. Скорость этого изменения h (s) принято называть кривизной кривой в точке, для которой длина дуги равна s. Без доказательства отметим, что кривизна k может быть выражена с помощью первой и второй производных от функ456 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ гл. VIII ции y = f(x), определяющей кривую, согласно следующей формуле:

f (x) k =.

(1 + (f (x))2)3/8. Максимумы и минимумы. Чтобы найти наибольшие и наименьшие значения заданной функции f(x), мы прежде всего должны составить ее производную f (x), найти затем те значения x, при которых эта производная обращается в нуль, и наконец, исследовать, в каких точках из числа найденных функция имеет максимум и в каких — минимум. Последний из этих вопросов может быть решен с помощью второй производной f (x), знак которой указывает на выпуклость или вогнутость графика кривой; если же вторая производная обращается в нуль, то обыкновенно это указывает на то, что мы имеем дело с точкой перегиба, и тогда экстремума нет. Принимая во внимание знаки первой и второй производных, можно не только найти экстремумы функции, но и определить вид ее графика. Указанный способ позволяет нам выделить те значения x, при которых функция имеет экстремум; для того чтобы найти соответствующие значения самой функции y = f(x), нужно сделать подстановку найденных значений x в выражение f(x).

В качестве примера рассмотрим многочлен f(x) = 2x3 - 9x2 + 12x + 1;

его производные выражаются формулами f (x) = 6x2 - 18x + 12, f (x) = 12x - 18.

Квадратное уравнение f (x) = 0 имеет корни x1 = 1, x2 = 2, и в этих точках значения второй производной равны f (x1) = -6 < 0, f (x2) = 6 > 0.

Следовательно, функция f(x) имеет максимум f(x1) = 6 и минимум f(x2) = 5.

Упражнения. 1) Наметьте график рассмотренной функции.

2) Исследуйте и наметьте график функции f(x) = (x2 - 1)(x2 - 4).

x + 1 a2 q 3) Найдите минимум функций, x +, px +, считая значения p x x x и q положительными. Имеют ли максимум эти функции 4) Найдите максимум и минимум функций sin x и sin(x2).

§ 3. Техника дифференцирования До сих пор наши усилия были направлены на то, чтобы продифференцировать целый ряд отдельных функций, причем мы предварительно придавали надлежащий вид разностному отношению. Важным шагом вперед в работах Ньютона, Лейбница и их последователей была замена этих разрозненных индивидуальных приемов мощными общими § 3 ТЕХНИКА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ методами. С помощью этих методов можно почти автоматически дифференцировать любую функцию из числа тех, с которыми обыкновенно приходится иметь дело в математике; нужно только запастись небольшим числом простых правил и уметь их применять. Совокупность этих приемов приобрела характер вычислительного «алгоритма».

Мы не можем вникать в подробности этой техники. Укажем только немногие наиболее простые правила.

а) Дифференцирование суммы. Если a и b — постоянные, и функция k(x) задана формулой k(x) = af(x) + bg(x), то, как это легко докажет сам читатель, справедливо следующее:

k (x) = af (x) + bg (x).

Аналогичное правило имеет место при любом числе слагаемых.

б) Дифференцирование произведения. Производная произведения p(x) = f(x)g(x) выражается формулой p (x) = f(x)g (x) + f (x)g(x).

Это легко доказывается следующим приемом: прибавим и отнимем от p(x + h) - p(x) одно и то же выражение, а именно f(x + h)g(x):

p(x + h) - p(x) = f(x + h)g(x + h) - f(x)g(x) = = f(x + h)g(x + h) - f(x + h)g(x) + f(x + h)g(x) - f(x)g(x).

Объединяя первые два и последние два члена, мы получим p(x + h) - p(x) g(x + h) - g(x) f(x + h) - f(x) = f(x + h) + g(x).

h h h Заставим теперь h стремиться к нулю; поскольку f(x + h) при этом стремится к f(x), наше утверждение доказывается немедленно.

Упражнение. Пользуясь этим правилом, докажите, что производная функции p(x) = xn есть p (x) = nxn-1. (Указание: примите во внимание, что xn = x · xn-1, и примените математическую индукцию.) С помощью правил а) и б) можно дифференцировать любой полином f(x) = a0 + a1x +... + anxn:

его производная равна выражению f (x) = a1 + 2a2x + 3a3x2 +... + nanxn-1.

В качестве одного из применений можно доказать биномиальную теорему (см. стр. 35). Согласно этой теореме, степень бинома (1 + x)n разлагается в полином следующего вида:

f(x) = (1 + x)n = 1 + a1x + a2x2 + a3x3 +... + anxn, (1) 458 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ гл. VIII где коэффициент ak дается формулой n(n - 1)... (n - k + 1) ak =. (2) k! Мы уже видели (упражнение на стр. 444), что дифференцирование левой части формулы (1) дает n(1 + x)n-1. На основании предыдущего пункта n(1 + x)n-1 = a1 + 2a2x + 3a3x2 +... + nanxn-1. (3) Если теперь в этой формуле положить x = 0, то получим n = a1, что соответствует формуле (2) при k = 1. Снова продифференцируем формулу (3) и тогда будем иметь n(n - 1)(1 + x)n-2 = 2a2 + 3 · 2a3x +... + n(n - 1)anxn-2.

Подстановка в эту формулу нуля вместо x дает n(n - 1) = 2a2, в соответствии с формулой (2) при k = 2.

Упражнение. Докажите формулу (2) при k = 3 и при любом k (с помощью математической индукции).

в) Дифференцирование частного. Если f(x) q(x) =, g(x) то g(x)f (x) - f(x)g (x) q (x) =.

(g(x))Доказательство предоставляется в виде упражнения читателю. Очевидно, нужно предполагать, что g(x) = 0.

Упражнение. С помощью последнего правила выведите производные от tg x и ctg x, зная производные от sin x и cos x. Докажите, что производными 1 1 sin x cos x от sec x = и cosec x = являются соответственно и -.

cos x sin x cos2 x sin2 x Мы умеем теперь дифференцировать любую функцию, являющуюся отношением двух многочленов. Например, 1 - x f(x) = 1 + x имеет производную -(1 + x) - (1 - x) f (x) = = -.

(1 + x)2 (1 + x)Упражнение. Продифференцируйте функцию f(x) = = x-m, xm предполагая m целым положительным. Результат:

f (x) = -mx-m-1.

§ 3 ТЕХНИКА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ г) Дифференцирование обратных функций. Если функции y = f(x) и x = g(y) взаимно обратны (например, y = x2 и x = y), то производная одной из них является обратной величиной по отношению к производной другой.

Именно, g (y) =.

f (x) Это утверждение легко доказать, если обратиться ко взаимно обратy x ным разностным отношениям и ; это видно ясно также из геометx y рической интерпретации обратных функций, приведенной на стр. 302, если отнести наклон касательной к оси y, а не к оси x.

В качестве примера продифференцируем функцию m y = f(x) = x = x1/m, обратную по отношению к функции x = ym (см. также более полное рассуждение, относящееся к случаю m =, на стр. 444). Поскольку функция x = ym имеет своей производной выражение mym-1, то мы имеем 1 1 y f (x) = = · = yy-m, mym-1 m ym m откуда, делая подстановки y = x1/m и y-m = x-1, получим:

f (x) = x1/m-1.

m В качестве следующего примера продифференцируем обратную тригонометрическую функцию (см. стр. 302) y = arctg x (что равносильно x = tg y).

Для того чтобы обеспечить однозначное определение функции y, предположим, что переменная y, обозначающая меру угла в радианах, ограничена промежутком - < y <.

2 d(tg y) Мы знаем (см. стр. 445), что =, и так как dy cos2 y 1 sin2 y + cos2 y = = 1 + tg2 y = 1 + x2, cos2 y cos2 y то можно заключить, что d(arctg x) =.

dx 1 + xТаким же точно путем читатель сможет вывести следующие формулы:

d(arcctg x) = -, dx 1 + xd(arcsin x) =, dx 1 - xd(arccos x) = -.

dx 1 - x460 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ гл. VIII Наконец, мы приходим к следующему важному правилу:

д) Дифференцирование сложных функций. Сложные функции составляются из двух (или нескольких) простых (см. стр. 303). Например функция z = sin x составлена из функций z = sin y и y = x; функция z = x + x5 составлена из функций z = y + y5 и y = x; функция z = sin(x2) — из функций z = sin y и y = x2; функция z = sin — из x функций z = sin y и y =.

x Если из двух данных функций z = g(y) и y = f(x) вторую подставить в первую, то получается сложная функция z = k(x) = g[f(x)].

Докажем справедливость формулы k (x) = g (y)f (x). (4) С этой целью составим разностное отношение k(x1) - k(x) - z y1 - y z= ·, x1 - x y1 - y x1 - x где y1 = f(x1) и z1 = g(y1) = k(x1); при стремлении x1 к x левая часть стремится к k (x), а два множителя в правой части стремятся соответственно к g (y) и к f (x), чем и доказывается формула (4).

В этом доказательстве было необходимо условие y1 - y = 0. В са мом деле, мы делили на y = y1 - y; поэтому нужно было считать исключенными те значения x1, при которых y1 - y = 0. Однако формула (4) остается в силе даже в том случае, если y равно нулю в промежутке, окружающем точy ку x. При этом предположении y остается постоянным, так что f (x) = 0; с другой стороны, и k(x) = g(y) остается постоянным отноx O сительно x (поскольку y не меняется при изменении x) и, следовательно, k (x) = 0;

итак, формула (4) справед Рис. 272. y = sin x лива также и в рассматриваемом случае.

§ 3 ТЕХНИКА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ y x O Рис. 273. y = sin(x2) Читатель должен проверить следующие примеры:

k(x) = sin x, k (x) = (cos x) · ;

2 x k(x) = x + x5, k (x) = (1 + 5x2) · ;

2 x k(x) = sin(x2), k (x) = cos(x2) · 2x;

1 1 k(x) = sin, k (x) = - cos · ;

x x x -1 -x k(x) = 1 - x2, k (x) = · 2x =.

2 1 - x2 1 - xУпражнение. Сопоставляя результаты стр. 451 и стр. 453, докажите, что функция m f(x) = xs имеет производную s f (x) = xs/m-1.

m Теперь можно уже отметить, что все наши формулы, касающиеся степеней x, могут быть объединены в одну общую:

При любом положительном или отрицательном рациональном r функция f(x) = xr имеет производную f (x) = rxr-1.

Упражнения. 1) Произведите дифференцирования в упражнениях на стр. 444, пользуясь только что выведенными правилами.

sin nx 2) Продифференцируйте следующие функции: x sin x,, (x3 - 3x2 1 + x 1 1 + x 1 + x x + 1)3, 1 + sin2 x, x2 sin, arcsin(cos nx), tg, arctg, 1 - x2,.

1 - x 1 - x x2 1 + x3) Найдите вторые производные от некоторых из вышеприведенных функций и от следующих функций:

1 - x, arctg x, sin2 x, tg x.

Pages:     | 1 |   ...   | 62 | 63 || 65 | 66 |   ...   | 76 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.