WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 61 | 62 || 64 | 65 |   ...   | 76 |

2. Производная как предел. Рассмотрение кривой y = f(x) только в одной ее точке P (x, y) не позволяет вычислить наклон кривой в этой точке. Необходимо прибегнуть к предельному процессу, сходному с процессом вычисления площади. Этот предельный процесс является основой дифференциального исчисления. Рассмотрим на данной кривой другую точку P1, близкую к P, с координатами x1, y1; обозначим прямую, проходящую через точки P и P1, буквой t1; эта прямая по отношению к нашей кривой является секущей, которая мало отличается от касательной к точке P, если только точка P1 близка к точке P.

Обозначим угол между осью x и прямой t1 буквой. Заставим теперь xстремиться к x; тогда точка P1 будет двигаться по кривой к точке P и секущая t1 будет приближаться к некоторому предельному положению, которое и есть не что иное, как касательная t к нашей кривой в точке x. Если буквой обозначить угол между осью x и касательной t, то при x1 x будем иметь y1 y, P1 P, t1 t и.

Касательная есть предел секущей, а наклон касательной есть предел наклона секущей1.

Наши обозначения здесь слегка отличаются от обозначений главы VI, поскольку 446 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ гл. VIII Хотя мы и не имеем явного выражения для наклона самой касательной t, зато наклон секущей t1 дается формулой y1 - y f(x1) - f(x) наклон t1 = = ;

x1 - x x1 - x обозначая, как раньше, операцию образования разности символом, мы получим y f(x) наклон t1 = =.

x x Наклон секущей t1 есть «разностное отношение» — разность y значений функции, деленная на разность x значений независимого переменноf(x1) - f(x) го. Сверх того, имеем наклон t = предел наклона t1 = lim = x1 - x y = lim, где пределы вычисляются при x1 x, т. е. при x = x1 - x x 0.

Касательная t к данной кривой имеет наклон, равный предеy y лу разностного отношения при x стремлении x = x1 - x к нулю.

Первоначальная функция f(x) давала значение «высоты» различных точек кривой y = f(x). Предположим теперь, что точка P движется по кривой y = f(x). Тогда рассматриваемый наклон в точке P будет представлять некоторую новую x O функцию от x, которую мы обозначим через f (x) и назовем производРис. 268. Производная как предел ной от функции f(x).

Предельный процесс, с помощью которого получена производная, называется дифференцированием функции f(x). Этот процесс есть такая операция, которая по определенному правилу сопоставляет данной функции f(x) некоторую другую функцию f (x). Подобным же образом при определении самой функции f(x) было установлено правило, которое сопоставляло каждому значению переменного x некоторое значение функции f(x).

Итак, f(x) есть высота кривой y = f(x) в точке x, f (x) есть наклон кривой y = f(x) в точке x.

Слово «дифференцирование» объясняется тем обстоятельством, что f (x) есть предел разности (differentia) f(x1) - f(x), деленной на разтам мы имели x x1, где x1 постоянно. Никакой путаницы от этого изменения обозначений не произойдет.

§ 2 ПРОИЗВОДНАЯ ность x1 - x:

f(x1) - f(x) f (x) = lim при x1 x. (1) x1 - x Другим часто употребляемым обозначением является f (x) = Df(x), где символ D есть первая буква слова differentia, что значит «разность»;

кроме того, для производной от функции y = f(x) существуют еще обозначения Лейбница dy df(x), или, dx dx которые мы подвергнем обсуждению в § 4, и намекающие на то, что проy f(x) изводная получается как предел разностного отношения или.

x x y f (x) x O Рис. 269. Знак производной Условившись в том, что движение по кривой совершается в направлении возрастающих значений x, мы можем теперь заключить: то обстоятельство, что производная в некоторой точке положительна, f (x) > 0, обозначает подъем кривой (значения y возрастают). Напротив, то обстоятельство, что производная отрицательна, f (x) < 0, означает падение кривой (значения y убывают); наконец, если производная обращается в нуль, f (x) = 0, то это обозначает горизонтальное направление кривой для соответствующего значения x. В точках максимума и минимума наклон должен быть равен нулю (рис. 269). Таким образом, решая уравнение f (x) = относительно x, мы можем найти положение максимумов и минимумов, как это и было впервые сделано Ферма.

В русском издании в дальнейшем используются именно эти, общепринятые у нас обозначения. — Прим. ред.

448 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ гл. VIII 3. Примеры. Может показаться, что рассуждения, приведшие к определению (1), лишены всякого практического смысла. В самом деле, одна проблема подменена другой: вместо того чтобы искать наклон касательной к кривой y = f(x) в некоторой точке, мы должны вычислять предел (1), что с первого взгляда кажется одинаково трудным. Но как только мы откажемся от рассмотрении в общем виде и перейдем к отдельным функциям, мы получим весьма реальные результаты.

Простейшей из функций является функция f(x) = c, где c постоянно.

График этой функции y = f(x) = c есть горизонтальная прямая, совпадающая со всеми своими касательными; очевидно, для всех значений x имеет место соотношение f (x) = 0.

Это вытекает также и из определения (1); в самом деле, y f(x1) - f(x) - c c = = = = 0.

x x1 - x x1 - x x1 - x Таким образом, получаем тривиальный результат:

f(x1) - f(x) lim = 0 при x1 x.

x1 - x Вслед за этим рассмотрим простую функцию y = f(x) = x, графиком которой является биссектриса угла первого квадранта. Геометрически ясно, что для всех значений x f (x) = 1, а аналитическое определение (1) снова дает f(x1) - f(x) - x x= = 1, x1 - x x1 - x так что f(x1) - f(x) lim = 1 при x1 x.

x1 - x Простейшим нетривиальным примером является дифференцирование функции y = f(x) = x2, что в сущности является нахождением наклона параболы. Это — простейший случай, на котором мы можем учиться совершать переход к пределу, когда результат с первого взгляда не очевиден. Мы имеем y f(x1) - f(x) x2 - x= =.

x x1 - x x1 - x Если бы мы попытались перейти к пределу непосредственно в числителе и в знаменателе, то получили бы не имеющее смысла выражение. Но этого затруднения можно избежать, сократив дробь на мешающий нам множитель x1 - x до перехода к пределу. (Такое сокращение законно, § 2 ПРОИЗВОДНАЯ так как при вычислении предела разностного отношения мы считаем, что x1 = x, см. стр. 326.) Таким образом мы получаем результат x2 - x2 (x1 - x)(x1 + x) = = x1 + x.

x1 - x x1 - x После сокращения нахождение предела при x1 x не представляет уже никаких трудностей. Этот предел получается путем простой «подстановки», так как разностное отношение в своем новом виде x1 + x непрерывно, а предел непрерывной функции при x1 x есть просто значение этой функции при x1 = x; в нашем примере мы получаем непосредственно x + x = 2x и, следовательно, если f(x) = x2, то f (x) = 2x.

Совершенно аналогично мы можем доказать, что в случае функции f(x) = x3 мы будем иметь f (x) = 3x2. В самом деле, отношение y f(x1) - f(x) x3 - x= = x x1 - x x1 - x может быть упрощено по формуле x3 - x3 = (x1 - x)(x2 + x1x + x2);

1 знаменатель x = x1 - x сокращается, и мы получаем непрерывное выражение y = x2 + x1x + x2.

x При стремлении x1 к x это выражение стремится к сумме x2 + x2 + x2;

в качестве предела получается выражение f (x) = 3x2.

И вообще, для функции f(x) = xn, где n — целое положительное, производная будет иметь вид f (x) = nxn-1.

Упражнение. Докажите этот результат. (Указание: примените алгебраическую формулу xn - xn = (x1 - x)(xn-1 + xn-2x + xn-3x2 +... + x1xn-2 + xn-1).) 1 1 1 В качестве следующего примера, позволяющего непосредственно определить производную, рассмотрим функцию y = f(x) =.

x Мы имеем y y1 - y 1 1 1 x - x1 = = - · = ·.

x x1 - x x1 x x1 - x x1x x1 - x 450 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ гл. VIII Сократим опять дробь и тогда получим y = x x1x — выражение, опять-таки непрерывное в точке x1 = x; в качестве предела мы, следовательно, будем иметь f (x) = -.

xСамо собой разумеется, что в данном случае ни производная, ни сама функция не определены в точке x = 0.

Упражнение. Докажите аналогичным способом, что функция f(x) = 1 2 имеет производную f (x) = - ; функция f(x) = имеет производxn x2 xn ную f (x) = - ; функция f(x) = (1 + x)n имеет производную f (x) = xn+n(1 + x)n-1.

Продифференцируем теперь функцию y = f(x) = x.

В качестве разностного отношения мы получаем y y1 - y x1 - x = =.

x x1 - x x1 - x Воспользовавшись формулой x1 - x = ( x1 - x)( x1 + x), можно сократить знаменатель с первым из множителей и получить выражение, непрерывное в точке x1 = x, y =.

x x1 + x Переход к пределу дает f (x) =.

2 x Упражнения. Докажите, что функция f(x) = имеет производx ную f (x) = - ; докажите далее:

2( x) а) что функция f(x) = x имеет производную f (x) = ;

3 x x б) » » f(x) = 1 - x2 » » f (x) = - ;

1 - x n в) » » f(x) = x » » f (x) =.

n n xn-4. Производные от тригонометрических функций. Теперь мы приступим к чрезвычайно важному вопросу — к дифференцированию тригонометрических функций. Предварительно условимся, что измерение углов будем производить исключительно в радианах.

§ 2 ПРОИЗВОДНАЯ Чтобы продифференцировать функцию y = f(x) = sin x, положим x1 - x = h, так что x1 = x + h и f(x1) = sin x1 = sin(x + h). Воспользовавшись тригонометрической формулой для синуса суммы двух углов, sin(A + B), мы получим f(x1) = sin(x + h) = sin x cos h + cos x sin h.

Отсюда f(x1) - f(x) sin(x + h) - sin x sin h cos h - = = cos x · + sin x. (2) x1 - x h h h Если x1 стремится к x, то h стремится к 0, sin h стремится к 0, а cos h стремится к 1.

Далее, применяя результаты стр. 329–330, мы получим sin h cos h - lim = 1 и lim = 0.

h0 h h0 h Правая часть соотношения (2) стремится, следовательно, к cos x, и мы получаем окончательный результат: функция f(x) = sin x имеет своей производной функцию f (x) = cos x или, короче, d(sin x) = cos x.

dx d(cos x) Упражнение. Докажите, что = - sin x.

dx Чтобы продифференцировать функцию f(x) = tg x, мы напишем sin x tg x = и получим, далее, cos x f(x + h) - f(x) sin(x + h) sin x = - · = h cos(x + h) cos x h sin(x + h) cos x - cos(x + h) sin x 1 sin h = · = ·.

h cos(x + h) cos x h cos(x + h) cos x (Последнее равенство получается с помощью формулы sin(A - B) = = sin A cos B - cos A sin B, где A = x + h, B = x.) Если h стремится к 0, sin h то стремится к 1, cos(x + h) стремится к cos x, и отсюда мы делаем h заключение:

Производная функции f(x) = tg x есть функция f (x) =, или cos2 x d(tg x) =.

dx cos2 x d(ctg x) Упражнение. Докажите, что = -.

dx sin2 x 452 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ гл. VIII *5. Дифференцируемость и непрерывность. Необходимым условием дифференцируемости некоторой функции является ее непрерывность. В самом деле, если существует предел дифференциального y отношения при стремлении x к нулю, то ясно, что приращение y x функции f(x) должно становиться неограниченно малым при стремлении x к нулю. Каждая дифференцируемая функция неизбежно является в то же время и непрерывной; поэтому, встречаясь в этой главе не раз с дифференцируемыми функциями, мы воздерживаемся от того, чтобы без особой необходимости постоянно упоминать, что они предполагаются непрерывными, или доказывать их непрерывность.

6. Производная и скорость. Вторая производная и ускорение. До сих пор понятие производной мы связывали с геометрическим представлением графика функции. Однако было бы грубой ошибкой ограничивать роль понятия производной одной лишь задачей об определении наклона касательной к данной кривой. Еще более важной с научной точки зрения задачей является вычисление скорости изменения какой бы то ни было величины f(t), меняющейся с течением времени. Именно с этой стороны Ньютон и подошел к дифференциальному исчислению. В частности, Ньютон стремился проанализировать явление скорости, рассматривая время и положение движущейся частицы как переменные величины (по выражению Ньютона, «флюэнты»). Когда некоторая частица движется вдоль оси x, то ее движение вполне определено, раз задана функция x = f(t), указывающая положение частицы x в любой момент времени t. «Равномерное движение» с постоянной скоростью b по оси x определяется линейной функцией x = = a + bt, где a есть положение частицы в начальный момент (при t = 0).

Движение частицы на плоскости описывается уже двумя функциями x = f(t), y = g(t), которые определяют ее координаты как функции времени. В частности, равномерному движению соответствуют две линейные функции x = a + bt, y = c + dt, где b и d — две «компоненты» постоянной скорости, а a и c — координаты начального положения частицы (при t = 0); траекторией частицы является прямая линия, уравнение которой (x - a)d - (y - c)b = получается путем исключения t из двух стоящих выше соотношений.

Если частица движется в вертикальной плоскости x, y под действием одной лишь силы тяжести, то движение ее (это доказывается в элементарной физике) определено двумя уравнениями x = a + bt, y = c + dt - gt2, § 2 ПРОИЗВОДНАЯ где a, b, c, d — постоянные величины, зависящие от состояния частицы в начальный момент, а g — ускорение силы тяжести, равное приблизительно 9,81, если время измеряется в секундах, а расстояние — в метрах.

Траектория движения, получаемая путем исключения t из двух данных уравнений, есть парабола (x d 1 - a)y = c + (x - a) - g, b 2 bесли только b = 0; в противном случае траекторией является отрезок вертикальной оси.

Если частица вынуждена двигаться по некоторой данной кривой (подобно тому как поезд движется по рельсам), то движение ее может быть определено функцией s(t) (функцией времени t), равной длине дуги s, вычисляемой вдоль данной кривой от некоторой начальной точки P0 до положения частицы в точке P в момент времени t. Например, если речь идет о единичном круге x2 + y2 = 1, то функция s = ct определяет на этом круге равномерное вращательное движение со скоростью c.

* Упражнение. Начертите траектории плоских движений, заданных уравнениями: 1) x = sin t, y = cos t; 2) x = sin 2t, y = cos 3t; 3) x = sin 2t, y = = 2 sin 3t; 4) в описанном выше параболическом движении предположите начальное положение частицы (при t = 0) в начале координат и считайте b > 0, d > 0. Найдите координаты самой высокой точки траектории. Найдите время t и значение x, соответствующие вторичному пересечению траектории с осью x.

Pages:     | 1 |   ...   | 61 | 62 || 64 | 65 |   ...   | 76 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.