WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 60 | 61 || 63 | 64 |   ...   | 76 |

j=1 j=1 j=в самом деле, n x = (x1 - x0) + (x2 - x1) +... + (xn - xn-1) = xn - x0 = b - a.

j=б) Почти так же просто проинтегрировать функцию f(x) = x. В этом b примере интеграл xdx является площадью трапеции (рис. 263), следоa вательно, согласно элементарной геометрии выразится формулой b + a b2 - a(b - a) =.

2 Этот же результат получается и из определения интеграла (6), в чем можно убедиться фактическим переходом к пределу без обращения к геометрическому представлению: если мы в формуле (5) положим f(x) = x, то сумма Sn примет вид n n Sn = xj x = (a + jx)x = j=1 j== (na + x + 2x + 3x +... + nx)x = = nax + (x)2(1 + 2 + 3 +... + n).

Применяя формулу для суммы арифметической прогрессии 1 + 2 + 3 +... + n, выведенную на стр. 31, формула (1), мы получим n(n + 1) Sn = nax + (x)2.

И так как b - a x =, n то отсюда следует 1 Sn = a(b - a) + (b - a)2 + (b - a)2.

2 2n § 1 ИНТЕГРАЛ Пусть теперь n стремится к бесконечности; тогда переход к пределу даст результат b 1 lim Sn = xdx = a(b - a) + (b - a)2 = (b2 - a2), n 2 a в полном соответствии с геометрической интерпретацией интеграла как площади.

y y (b, b) (a, a) x x O a b O b Рис. 263. Площадь трапеции Рис. 264. Площадь под параболой в) Менее тривиальным является интегрирование функции f(x) = x2.

Архимед употребил геометрический метод при решении эквивалентной задачи — нахождении площади сегмента параболы y = x2. Здесь мы будем действовать аналитически, базируясь на определении (6a). Чтобы упростить формальные выкладки, в качестве «нижнего предела» интеb грала a выберем 0; тогда x =. Так как xj = j · x и f(xj) = j2(x)2, n то для суммы Sn мы получим выражение n Sn = (jx)2x = [12 · (x)2 + 22 · (x)2 +... + n2 · (x)2] · x = j== (12 + 22 +... + n2) · (x)3.

Теперь можно фактически вычислить предел. Применяя формулу n(n + 1)(2n + 1) 12 + 22 +... + n2 =, b установленную на стр. 33, и заменяя x через, мы получим n n(n + 1)(2n + 1) b3 b3 1 Sn = · = 1 + 2 +.

6 n3 6 n n Это предварительное преобразование облегчает предельный переход:

при неограниченном возрастании n обратная величина стремится к n 438 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ гл. VIII b3 bнулю, и потому в качестве предела получается просто · 1 · 2 = ;

6 следовательно, окончательный результат имеет вид b bx2 dx =.

Применяя этот результат к площади от 0 до a, получим a ax2 dx = ;

наконец, вычитание площадей дает b b3 - ax2 dx =.

a Упражнение. Тем же способом, употребляя формулу (5) со стр. 33, докажите, что b b4 - ax3 dx =.

a Применяя общие формулы для сумм 1k + 2k +... + nk k-х степеней целых чисел от 1 до n, можно было бы получить результат b bk+1 - ak+xk dx = (7) k + a при любом целом положительном значении k.

* Вместо того чтобы действовать этим путем, мы можем получить несколько проще даже более общий результат, воспользовавшись сделанным раньше замечанием о возможности вычислить интеграл и при неравноотстоящих точках деления. Мы выведем формулу (7) не только для любого целого положительного k, но и для любого положительного или отрицательного рационального числа u k =, v где u — целое положительное, а v — целое положительное или отрицательное число. Исключается только значение k = -1, при котором формула (7) теряет смысл. Предположим также, что 0 < a < b.

Чтобы получить формулу (7), построим сумму Sn, выбирая точки деления b n x0 = a, x1, x2,..., xn = b в геометрической прогрессии. Положим = q, a bn так что = qn, и определим: x0 = a, x1 = aq, x2 = aq2,..., xn = aqn = b. При an таком выборе значений xj, как мы увидим, предельный переход совершается особенно просто. Поскольку f(xj) = xk = akqjk и xj = xj+1 - xj = aqj+1 j aqj, мы будем иметь выражение Sn = ak(aq - a) + akqk(aq2 - aq) + akq2k(aq3 - aq2) + akq(n-1)k(aqn - aqn-1).

§ 1 ИНТЕГРАЛ Так как каждый член содержит множители ak(aq - a), то можно написать Sn = ak+1(q - 1){1 + qk+1 + q2(k+1) +... + q(n-1)(k+1)}.

Подставляя t вместо qk+1, видим, что выражение в скобках является геометрической прогрессией 1 + t + t2 +... + tn-1, сумма которой, как показано на tn - стр. 32, равна. Но t - k+1 bk+b tn = qn(k+1) = =.

a ak+Таким образом, bk+1 - ak+1 bk+1 - ak+Sn = (q - 1) =, (8) N qk+1 - где qk+1 - N =.

q - До сих пор n было фиксированным числом. Пусть теперь n возрастает; опреде b n лим тогда предел, к которому стремится N. При возрастании n корень = a q стремится к 1 (см. стр. 346); поэтому и числитель и знаменатель выражения N стремятся к нулю, что побуждает к осторожности. Предположим сначала, что k — целое положительное число, тогда можно осуществить деление на q - 1, и мы получим (см. стр. 120): N = qk + qk-1 +... + q + 1. Если теперь n возрастает, так что q стремится к 1, а следовательно, и q2, q3,..., qk также стремятся к 1, то N стремится к k + 1. Но из этого вытекает, что Sn bk+1 - ak+стремится к, что и требовалось доказать.

k + Упражнение. Докажите, что при любом рациональном k = -1 остается в силе та же самая предельная формула N k + 1, а следовательно, сохраняется и результат (7). Сначала дайте доказательство, следуя нашему образцу, в u v предположении, что k целое отрицательное. Затем, если k =, положите q = v s, откуда следует s(k+1)v - 1 su+v - 1 su+v - 1 sv - N = = = :.

sv - 1 sv - 1 s - 1 s - Если n возрастает, так что q и s стремятся к 1, то отношения в последней части равенства стремятся соответственно к u + v и к v, что в качестве предела u + v для N снова дает = k + 1.

v В § 5 мы увидим, каким образом с помощью мощных методов анализа можно упростить это длинное и несколько искусственное рассуждение.

Упражнения. 1) Проверьте предшествующее интегрирование xk для 1 случаев k =, -, 2, -2, 3, -3.

2 2) Вычислите значения интегралов:

-1 +1 -2 n 2 а) xdx, б) xdx, в) x2 dx, г) x3 dx, д) xdx.

-2 -1 1 1 3) Найдите значения интегралов:

440 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ гл. VIII +1 +1 + 2 а) x3 dx, б) x3 cos xdx, в) x4 cos2 x sin5 xdx, г) tg xdx.

-1 -2 -1 -(Указание: рассмотрите графики функций под знаком интеграла, принимая во внимание их симметрию по отношению к оси x = 0, и интерпретируйте интегралы как площади.) *4) Проинтегрируйте sin x и cos x в пределах от 0 до b, подставляя h вместо x и применяя формулы со стр. 512.

5) Проинтегрируйте f(x) = x и f(x) = x2 в пределах от 0 до b, производя раздробление на равные части и в формуле (6a) выбирая значения vj = xj + xj+.

*6) Пользуясь результатом (7) и определением интеграла с равными значениями для x, докажите предельное соотношение 1k + 2k +... + nk при n.

k + nk+ Указание: положите = x и покажите, что рассматриваемый предел равен n интегралу xk dx.

*7) Докажите, что при n справедливо следующее предельное соотношение:

1 1 1 + +... + 2( 2 - 1).

n 1 + n 2 + n n + n (Указание: напишите эту сумму так, чтобы ее предел являлся некоторым интегралом.) 8) Вычислите площадь параболического сегмента, ограниченного дугой P1P2 и хордой P1P2 параболы y = ax2, выражая результат через координаты точек P1 и P2.

5. Правила «интегрального исчисления». Важной ступенью в развитии интегрального исчисления явилось формулирование некоторых общих правил, с помощью которых более сложные задачи могут сводиться к более простым, а тем самым могут быть решены почти механически. Алгоритмический характер этих правил особенно ярко подчеркивается обозначениями Лейбница. Однако слишком сосредоточивать внимание на механизме решения задач при изучении анализа значило бы снижать содержание предмета и могло бы привести к пустой долбежке.

Некоторые простые правила интегрирования следуют сразу или из определения (6), или из геометрической интерпретации интегралов как площадей.

§ 1 ИНТЕГРАЛ Интеграл от суммы двух функций равен сумме интегралов от этих двух функций. Интеграл от произведения функции на постоянное c равен произведению интеграла от функции на постоянное c. Эти два правила можно выразить одной формулой b b b [cf(x) + kg(x)] dx = c f(x)dx + k g(x)dx. (9) a a a Доказательство следует непосредственно из определения интеграла как предела конечных сумм (5), поскольку соответствующая формула для суммы Sn, очевидно, справедлива. Это правило обобщается тотчас же на сумму более чем двух функций.

В качестве примера применения этого правила рассмотрим полином f(x) = a0 + a1x + a2x2 +... + anxn, коэффициенты которого a0, a1,..., an постоянны. Чтобы вычислить интеграл от функции f(x) в пределах от a до b, мы будем интегрировать почленно, согласно правилу. Применяя формулу (7), мы найдем b b2 - a2 bn+1 - an+f(x)dx = a0(b - a) + a1 +... + an.

2 n + a Другое правило, вытекающее со всей очевидностью как из аналитического определения интеграла, так и из его геометрической интерпретации, выражается формулой b c c f(x)dx + f(x)dx = f(x)dx. (10) a b a Кроме того, ясно, что наш основной интеграл равен нулю, если b равно a.

Правило b a f(x)dx = - f(x)dx, (11) a b приведенное на стр. 428, не стоит в противоречии с последними двумя, поскольку оно получается из (10) при c = a.

Иногда бывает удобно использовать то обстоятельство, что значение интеграла не зависит от выбора наименования независимого переменного интегрируемой функции; например, b b b f(x)dx = f(u)du = f(t)dt и т. д.

a a a В самом деле, простая замена наименований координат, к системе которых отнесен график функции, не меняет площади под данной кривой.

442 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ гл. VIII Аналогичное замечание относится к тому случаю, когда производится некоторая замена в самой системе координат. Например, перенесем начало координат на одну единицу вправо из точки O в точку O, как показано на рис. 265, таким образом, что x будет заменено новой коорy динатой x по формуле x = 1 + x.

Уравнение кривой y = f(x) в новой системе координат примет вид y = f(1 + x ) например, y = = x =. Данная площадь A под 1 + x x этой кривой, скажем, в пределах от x = 1 до x = b, в новой системе координат будет площадью под криx вой в пределах от x = 0 до x = b - 1.

x Таким образом, будем иметь O O f(x) b- b f(x)dx = f(1 + x )dx Рис. 265. Перемещение оси y 1 и, написав букву u вместо буквы x, получим b- b f(x)dx = f(1 + u)du; (12) 1 например, b- b 1 dx = du; (12а) x 1 + u 1 а для функции f(x) = xk получим таким же образом b- b xk dx = (1 + u)k du. (12б) 1 Аналогично, b- b xk dx = (1 + u)k du (k 0), (12в) 0 -bk+и, поскольку интеграл в левой части (12в) равен, мы получим k + b- bk+(1 + u)k du =. (12г) k + -§ 1 ИНТЕГРАЛ Упражнения. 1) Вычислите интеграл от многочлена 1 + x + x2 +... + xn в пределах от 0 до b.

2) Докажите при n > 0, что интеграл от функции (1 + x)n в пределах от -до z равен дроби (1 + z)n+.

n + 3) Покажите, что интеграл от xn sin x в пределах от 0 до 1 меньше, чем. (Указание: последняя величина есть значение интеграла от xn.) n + 4) Докажите непосредственно, а также пользуясь разложением по форму(1 + x)n ле бинома, что интеграл от функции в пределах от -1 до z равен n (1 + z)n+дроби.

n(n + 1) Следует упомянуть, наконец, два важных правила, которые выражаются посредством неравенств. Эти правила дают, правда, грубые, но все же полезные оценки для значения интегралов. y Предположим, что b > a и что значения функции f(x) в промеg(x) жутке от a до b нигде не превосходят значений другой функf(x) ции g(x). Тогда мы имеем b b f(x)dx g(x)dx, (13) a x O b a a что непосредственно ясно или из Рис. 266. Сравнение интегралов рис. 266, или из аналитического определения интеграла. В частности, если функция g(x) равна M, т. е.

является постоянной, то мы получаем:

b b g(x)dx = M dx = M(b - a);

a a отсюда следует неравенство b f(x)dx M(b - a). (14) a Если функция f(x) неотрицательна, то f(x) = |f(x)|. Если f(x) < 0, то |f(x)| > f(x). Отсюда, полагая в неравенстве (13) g(x) = |f(x)|, мы получим полезную формулу:

b b f(x)dx |f(x)|dx. (15) a a 444 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ гл. VIII Но поскольку |-f(x)| = |f(x)|, мы имеем также формулу b b - f(x)dx |f(x)|dx, a a что дает вместе с формулой (15) более сильное неравенство, а именно b b f(x)dx |f(x)|dx. (16) a a § 2. Производная 1. Производная как наклон. В то время как понятие интеграла своими корнями уходит в античную древность, другое основное понятие анализа — производная — было сформулировано только в XVII столетии знаменитым Ферма и другими. Сделанное Ньютоном и Лейбницем открытие органической связи между этими понятиями, казалось бы столь различными, способствовало небывалому развитию математической науки.

Ферма интересовался вопросом об определении наибольших и наименьших значений функции y = f(x). При изучении графика функции принято называть максимумом точку, расположенную выше всех других, а минимумом — точку, расположенную ниже всех других точек в ее окрестности. На рис. 191 на стр. 365 точка B является максимумом, точка C — минимумом. Естественно при нахождении максимума или минимума использовать понятие касательной к кривой. Предположим, что график кривой нигде не образует острых углов и не обладает другими особенностями и что в каждой точке он имеет определенное направление, определяемое касательной прямой. В точках максимума или минимума касательная к кривой y = f(x) должна быть параллельна оси x; в противном случае кривая около этих точек или поднималась бы, или опускалась бы. Это замечание побуждает нас заняться общим вопросом об определении направления касательной к кривой y = f(x) в любой точке P этой кривой.

Чтобы охарактеризовать направление прямой в плоскости x, y, обыкновенно задается ее наклон, который представляет собой тангенс угла между положительным направлением оси x и рассматриваемой прямой.

Если P есть некоторая точка прямой L, продвигаемся вправо от нее до некоторой точки R, а затем вверх или вниз до точки Q, лежащей на RQ прямой, тогда наклон L равен tg, т. е.. Отрезок P R предполагается P R положительным, тогда как RQ — положительным или отрицательным в зависимости от того, будет ли он направлен вверх или вниз; таким образом, наклон дает нам подъем или падение на единицу длины по § 2 ПРОИЗВОДНАЯ горизонтали (при перемещении по прямой слева направо). На рис. наклон первой прямой равен, в то время как наклон второй прямой равен -1.

y R P Q x O Рис. 267. Наклоны прямых Под наклоном кривой в точке P мы подразумеваем наклон ее касательной в этой точке. Поскольку мы расположены принять понятие касательной как интуитивно данное, перед нами остается только задача — найти способ для вычисления наклона кривой. В настоящий момент мы встанем на именно такую точку зрения: более тщательный анализ относящихся сюда проблем будет произведен в дополнении к этой главе.

Pages:     | 1 |   ...   | 60 | 61 || 63 | 64 |   ...   | 76 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.