WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 59 | 60 || 62 | 63 |   ...   | 76 |

С помощью этого определения весьма легко вычислить площадь прямоугольника. Если длины двух смежных сторон, измеренные в линейных единицах, представляются числами p и q, то площадь прямоугольника равна pq квадратных единиц или, короче, площадь равна произведению pq. Это справедливо для любых p и q, как рациональных, так и иррациональных. В случае рациональных значений p и q мы m m получаем этот результат, выполняя замену p =, q =, где m, n n m — целые числа, а n, n — натуральные. После этого мы находим 1 1 общую меру = обеих сторон — таким образом, что p = mn ·, N nn N q = nm ·. Наконец, мы разбиваем прямоугольник на мелкие квадN 1 ратики со стороной и с площадью. Всего таких квадратиков N N1 nm · mn будет nm · mn, и общая площадь равна nm · mn · = = Nn2n m m = · = pq. Для случая иррациональных p и q тот же результат n n § 1 ИНТЕГРАЛ получится, если сначала заменим p и q соответственно приближающими их рациональными числами pr и qr, а затем заставим pr и qr стремиться к p и q.

Геометрически очевидно, что площадь треугольника равна половине площади прямоугольника с тем же основанием b и высотой h; таким образом, площадь треугольника выражается хорошо известной формулой bh. Любая плоская область, ограниченная одной или несколькими ломаными, может быть разбита на треугольники; таким образом, ее площадь может быть получена как сумма площадей этих треугольников.

Потребность в более общем методе вычисления площадей возникает в связи с вопросом о вычислении площадей фигур, ограниченных уже не ломаными, а кривыми. Каким образом станем мы определять, например, площадь круга или сегмента параболы Этот капитальной важности вопрос, с решением которого связано обоснование интегрального исчисления, рассматривался с очень давних пор; еще в III в. до нашей эры Архимед вычислял площади подобного рода с помощью процедуры «исчерпания». Попробуем вместе с Архимедом и великими математиками до времен Гаусса стать на «наивную» точку зрения, согласно которой криволинейные площади являются интуитивно данными сущностями, так что вопрос стоит не об определении понятия площади, а о вычислении площади (см., однако, анализ понятия, произведенный на стр. 489). В рассматриваемую криволинейную область впишем многоугольник, ограниченный ломаной линией и обладающий прекрасно определенной площадью. Выбирая новый многоугольник такого же типа, включающий первый, мы получим лучшее приближение для площади заданной области. Продолжая таким образом, мы постепенно «исчерпаем» всю область и получим искомую площадь как предел площадей надлежащим образом подобранной последовательности вписанных многоугольников с возрастающим числом сторон. Так может быть вычислена площадь круга с радиусом 1; ее числовое значение обозначается символом.

Эту общую схему Архимед провел до конца в случае круга и в случае параболического сегмента. В течение XVII столетия было с успехом разобрано много других примеров. В каждом случае само вычисление предела ставилось в зависимость от того или иного остроумного приема, специально подобранного для каждой отдельной задачи. Одним из главных достижений анализа была замена этих специальных искусственных процедур одним общим и мощным методом.

2. Интеграл. Первым основным понятием анализа является понятие интеграла. В этой главе мы будем понимать интеграл как площадь под кривой, выраженную с помощью предела. Пусть дана непрерывная положительная функция y = f(x), например y = x2 или y = 1 + cos x;

430 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ гл. VIII рассмотрим область, ограниченную снизу отрезком оси от некоторой точки a до некоторой точки b (причем a меньше b), справа и слева — перпендикулярами к оси x в этих точках, а сверху — кривой y = f(x).

Цель наша — вычислить плоy щадь A этой области.

y Так как такая площадь не может быть, вообще говоря, разбита на прямоугольники или треугольники, то непосредственно нельзя указать точную математическую формулу, которая была бы пригодна для выx O a b числения площади A. Но мы можем находить приближенРис. 259. Интеграл как площадь ные значения для A и, следовательно, представить A как предел следующим образом: разделим промежуток от x = a до x = b на некоторое число маленьких частных промежутков, восставим перпендикуляры в каждой точке деления, и каждую полоску области под кривой заменим прямоугольником, высоту которого выберем произвольно между наибольшей и наименьшей ординатами кривой в этой полоске.

Сумма S площадей этих прямоугольников даст приближенное значение истинной площади «под» данной кривой. Точность этого приближения тем лучше, чем больше число прямоугольников и чем меньше ширина каждой отдельной полоски. Итак, мы принимаем следующее определение интересующей нас площади: если мы построим последовательность S1, S2, S3,... (1) приближений прямоугольниками площади под кривой, причем основание самого широкого прямоугольника в сумме Sn стремится к 0, когда n возрастает, то последовательность (1) стремится к пределу A:

Sn A, (2) и этот предел A, представляющий собой площадь под данной кривой, не зависит от того, каким именно образом выбрана последовательность (1), раз только основания прямоугольников неограниченно уменьшаются. (Например, Sn может произойти из Sn-1 путем прибавления одной или нескольких новых точек к прежним, определяющим Sn-1, или же выбор точек деления для Sn может совершенно не зависеть от выбора точек для Sn-1.) Площадь A данной области, выраженную указанным предельным переходом, мы называем, по определению, ин§ 1 ИНТЕГРАЛ тегралом от функции f(x) в пределах от a до b. Вводя специальный символ — знак интеграла, запишем это так:

b A = f(x)dx. (3) a Символ, значок dx и название «интеграл» были введены Лейбницем, чтобы намекнуть на способ получения этого предела. Чтобы объяснить это обозначение, мы еще раз, с б ольшими подробностями, повторим процесс приближения площади A. И в то же время аналитическая формулировка перехода к пределу позволит отбросить стесняющие предположения f(x) 0 и b > a и в конце концов избавиться от первоначальной интуитивной концепции интеграла как «площади под кривой» (это будет сделано в дополнении, § 1).

y x O a b Рис. 260. Приближение площади ступенчатой фигурой Разделим промежуток от a до b на n маленьких частных промежутков, которые только ради простоты мы будем предполагать имеющими b - a одинаковую длину ; обозначим точки деления следующим образом:

n b - a 2(b - a) n(b - a) x0 = a, x1 = a +, x2 = a +,..., xn = a + = b.

n n n b - a Введем для обозначения величины разности между двумя послеn довательными значениями x символ x (читается «дельта икс»):

b - a x = = xj+1 - xj, n где символ обозначает просто «разность». Это оперативный символ, который нельзя рассматривать как числовой множитель. За высоту каждого приближающего прямоугольника мы можем принять значение y = 432 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ гл. VIII f(x) в правой крайней точке соответствующего промежутка. Тогда сумма площадей прямоугольников будет равна Sn = f(x1)x + f(x2)x +... + f(xn)x, (4) или, сокращенно, n Sn = f(xj)x. (5) j=n Символ (читается «сумма по j от 1 до n») обозначает сумму всех выj=ражений, получаемых, когда j последовательно пробегает значения 1, 2, 3,..., n.

Употребление символа для выражения результата суммирования в сжатой форме можно иллюстрировать следующими примерами:

2 + 3 + 4 +... + 10 = j, j=n 1 + 2 + 3 +... + n = j, j=n 12 + 22 + 32 +... + n2 = j2, j=n aq + aq2 +... + aqn = aqj, j=n a + (a + d) + (a + 2d) +... + (a + nd) = (a + jd).

j=Построим теперь последовательность таких приближений Sn, в которых n возрастает неограниченно, так что число членов в каждой из сумм (5) стремится к бесконечности, в то время как каждый отдельный член f(xj)x стремится к 0 вследствие присутствия множителя x = b - a. При возрастании n эта сумма стремится к площади A:

n b n A = lim f(xj)x = f(x)dx. (6) n j=a Лейбниц символизировал этот предельный переход от приближаю щих сумм Sn к пределу A заменой знака суммирования через, а символа разности символом d. (Во времена Лейбница знак суммиро вания писался обычно в виде S, и символ представляет собой просто стилизацию буквы S.) Несмотря на то что символика Лейбница хорошо намекает на способ, каким был получен интеграл, не следует придавать § 1 ИНТЕГРАЛ слишком большого значения тому, что является лишь чисто условным приемом обозначения предела. В ранние дни анализа, когда отчетливого понятия о пределах еще не существовало и необходимость предельного перехода часто упускалась из виду, многие пытались объяснить смысл интеграла, говоря, что «конечное приращение x заменено бесконечно малой величиной dx, а сам интеграл есть сумма бесконечно большого числа бесконечно малых слагаемых f(x)dx». Хотя «бесконечно малое» имеет известную притягательность для умов, имеющих склонность к философским спекуляциям, ему нет и не может быть места в современной математике. Никакой полезной цели нельзя достигнуть, окружая ясное понятие интеграла туманом не имеющих смысла фраз. Но даже сам Лейбниц иногда поддавался соблазнительному воздействию своих символов: в самом деле, они работают так, как если бы обозначали сумму «бесконечно малых» величин, с которыми можно до некоторой степени оперировать, как с обыкновенными величинами. Даже само слово «интеграл» было создано для того, чтобы обозначить, что «всё», т. е.

«полная» площадь A, составлено из «бесконечно малых» частиц f(x)dx.

Как бы то ни было, прошло около сотни лет после Ньютона и Лейбница, прежде чем было ясно осознано, что истинной основой определения интеграла является понятие предела, и ничего больше. Твердо став на эту точку зрения, мы избежим всякой неясности, всех трудностей и всех нелепостей, которые вызывали такое смущение в ранний период развития анализа.

x b a Рис. 261. Положительные и отрицательные площади 3. Общие замечания о понятии интеграла. Общее определение. В нашем геометрическом определении интеграла как площади мы явно предполагали, что функция f(x) во всем промежутке интегрирования [a, b] неотрицательна, т. е. что никакая часть графика не лежит под осью x. В аналитическом же определении интеграла как предела последовательности сумм Sn такое предположение является излишним.

Мы просто возьмем малые количества f(xj)x, составим их сумму и перейдем к пределу; эта процедура остается имеющей вполне опреде434 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ гл. VIII ленный смысл и в том случае, если некоторые или все значения f(xj) отрицательны. Интерпретируя это геометрически с помощью площадей (рис. 261), мы приходим к заключению, что интеграл от f(x) представляет собой алгебраическую сумму площадей, ограниченных графиком и осью x, причем площади, лежащие под осью x, считаются отрицательными, остальные — положительными.

Может случиться, что в тех или иных случаях мы придем к интегра b b - a лам f(x)dx, в которых b меньше, чем a, так что = x окажется n a отрицательным числом. Тогда в нашем аналитическом определении члены вида f(xj)x будут отрицательными, если f(xj) положительно, а x отрицательно, и т. д. Другими словами, величина этого интеграла будет только знаком отличаться от величины интеграла в пределах от b до a.

Таким образом получаем следующее простое свойство интеграла:

b a f(x)dx = - f(x)dx.

a b Далее, нужно подчеркнуть, что значение интеграла не меняется и в том случае, если точки деления xj не будут выбираться равноотстоящими, другими словами, если разности x = xj+1 - xj не будут одинаковы.

Мы можем выбрать xj произвольно, и тогда разности x = xj+1 - xj должны быть различаемы с помощью соответствующих значков. Даже в этом предположении сумма Sn = f(x1)x0 + f(x2)x1 +... + f(xn)xn-1, а также сумма Sn = f(x0)x0 + f(x1)x1 +... + f(xn-1)xn-будут стремиться к одному и тому же пределу, именно к значению ин b теграла f(x)dx, если только мы позаботимся о том, чтобы с возрастаa нием x все разности xj = xj+1 - xj стремились к нулю таким образом, чтобы наибольшая из них (при данном значении n) стремилась к нулю, когда n неограниченно возрастает.

Окончательное определение интеграла дается с помощью формулы b n f(x)dx = lim f(vj)xj. (6a) n j=a Под знаком суммы число vi может обозначать любую точку в промежутке xj vj xj+1, и единственное ограничение, касающееся способа разбиений основного промежутка, заключается в том, чтобы наибольшая из разностей xj = xj+1 - xj стремилась к нулю, когда n стремится к бесконечности.

§ 1 ИНТЕГРАЛ Существование предела (6a) не требует доказательства, если мы допустим как само собой разумеющееся понятие «площади под кривой», а также и возможность приближения этой площади с помощью прямоугольников. И все же, как это выяснится из дальнейших рассуждений (стр. 489), более глубокий анализ показывает, что для того, чтобы определение интеграла было логически совершенным, желательно и даже необходимо доказать существование этого предела независимо от первоначального геометрического представления о площади и притом какова бы ни была непрерывная функция f(x).

a v1 x1 v2 x2 xn vn b Рис. 262. Произвольность разбиения области определения функции при общем определении интеграла 4. Примеры интегрирования. Интегрирование функции xr.

До сих пор наши рассуждения об интеграле были чисто теоретическими. Возникает основной вопрос по поводу рассмотренного построения сумм Sn по общей установленной схеме и последующего перехода к пределу: ведет ли эта процедура к каким-либо осязаемым результатам в отдельных конкретных случаях Конечно, решение этого вопроса потребует некоторых дополнительных рассуждений, приспособленных к тем специальным функциям f(x), от которых нужно найти интеграл.

Когда Архимед две тысячи лет назад вычислил площадь параболического сегмента, он выполнил то, что мы теперь называем интегрированием функции f(x) = x2, притом чрезвычайно остроумным способом;

в XVII столетии предшественники Ньютона и Лейбница успешно решили проблему интегрирования таких простых функций, как xn, опять-таки с помощью специальных приемов. Только после рассмотрения большого числа конкретных примеров был найден общий подход к проблеме интегрирования на основе систематического метода, и таким образом область разрешимых задач была сильно расширена. В настоящей главе мы рассмотрим небольшое число отдельных конструктивных задач, принадлежащих к эпохе «праанализа», так как для операции интегрирования, понимаемой как предельный процесс, лучшей иллюстрации не 436 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ гл. VIII придумаешь.

а) Начнем с совершенно тривиального примера. Если y = f(x) явля b ется константой, например, f(x) = 2, то, очевидно, интеграл 2dx, поa нимаемый как площадь, равен 2(b - a), поскольку площадь прямоугольника равна произведению основания на высоту. Сравним этот результат с определенным интегралом. Если в формуле (5) мы подставим f(xj) = для всех значений j, то при любом значении n найдем, что n n n Sn = f(xj)x = 2x = 2 x = 2(b - a);

Pages:     | 1 |   ...   | 59 | 60 || 62 | 63 |   ...   | 76 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.