WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 57 | 58 || 60 | 61 |   ...   | 76 |

= nd (n + 1)d Повторное применение этого рассуждения приводит к цепи равенств sin sin 1 (1) = =..., d 2d где обозначает угол между направлением пути в n-м слое и вертикаn лью.

Затем Бернулли предполагает, что толщина слоев d, неограниченно уменьшаясь, стремится к нулю, причем ломаная траектория, решающая приближенную проблему, в пределе переходит в искомую кривую, решающую основную проблему. При этом предельном переходе равенства (1) сохраняются, и потому Бернулли делает заключение: если обозначает угол, который в произвольной точке P кривой C траектория брахистохронного движения делает с вертикалью, а h — расстояние от A до P, sin рассчитываемое по вертикали, то выражение должно сохранять h 412 МАКСИМУМЫ И МИНИМУМЫ гл. VII постоянное значение во всех точках P кривой C. Легко показать, что указанное свойство характеризует циклоиду.

Бернуллиево «доказательство» представляет собой типичный пример остроумного и плодотворного математического рассуждения, которое в то же время нельзя назвать безукоризненно строгим. В нем содержится несколько неявно принятых допущений, оправдание которых было бы сложнее и пространнее, чем само рассуждение. Так, с одной стороны, не доказывается само существование решения C, с другой — постулируется без достаточных математических оснований, что решение приближенной проблемы является приближенным решением основной проблемы.

Вопрос о внутренней ценности такого рода эвристических (наводящих) построений заслуживает внимательного рассмотрения, но завел бы нас слишком далеко в сторону.

4. Геодезические линии на сфере. Минимаксы. Во введении к этой главе была упомянута проблема нахождения «геодезических линий» — кратчайших дуг, соединяющих две данные точки на некоторой поверхности. На сфере, как показывается в элементарной геометрии, такими линиями являются дуги больших кругов. Пусть P и Q — две точки на сфере (не являющиеся диаметрально противоположными) и c — меньшая из двух дуг большого круга, проходящего через P и Q. Тогда возникает вопрос: чем же является другая, б из двух дуг c того же круга. Конечольшая P но, минимума расстояния между точками P и Q она не дает, но не дает и максимума, c так как легко понять, что можно провести на сфере сколь угодно длинные линии, соедиQ S няющие две данные точки. Оказывается, что по отношению к рассматриваемой проблеме дуга c представляет собой минимакс, «седловую точку». Вообразим произвольную переменную точку S на сфере и поставим задачей Рис. 239. Геодезические найти кратчайший путь от P к Q, проходялинии на сфере щий через S. Конечно, минимум расстояния в такой постановке проблемы дается «ломаной» дугой, состоящей из двух дуг больших кругов P S и SQ. А затем постараемся найти такое положение точки S, при котором наименьшее расстояние P SQ было бы максимальным. Тогда получаем следующее решение вопроса: точка S должна быть такова, чтобы ломаная P SQ была более длинной дугой c большого круга P Q. Можно видоизменить проблему, сначала спрашивая себя о кратчайшем пути на сфере от точки P к точке S, проходящем через n наперед заданных точек S1, S2,..., Sn, и затем определяя точки S1, S2,..., Sn таким образом, чтобы минимальная длина была насколь§ 11 ОПЫТЫ С МЫЛЬНЫМИ ПЛЕНКАМИ ко возможно большой. Решением такой задачи служит путь по большому кругу, проходящему через P к Q, но обвивающийся вокруг сферы таким образом, чтобы пройти через точки, диаметрально противоположные P и Q, ровно n раз.

Эта минимаксная проблема является типичным примером для обширного класса вопросов из области вариационного исчисления, с полным успехом изученных в последнее время с помощью методов, предложенных Морсом и другими авторами.

§ 11. Экспериментальные решения задач на минимум. Опыты с мыльными пленками 1. Введение. Обыкновенно бывает очень трудно, а иногда даже невозможно, решить вариационную проблему явно с помощью формул или геометрических построений, включающих простые, известные элементы. Вместо того часто удовлетворяются одним лишь доказательством существования решения при тех или иных условиях и затем исследуют его свойства. Во многих случаях, если доказательство существования оказывается более или менее затруднительным, бывает полезно реализовать математические условия проблемы посредством соответствующих физических приспособлений, рассматривая таким образом математическую проблему как эквивалентную некоторой физической задаче. Само физическое явление в таких случаях предоставляет решение математической проблемы. Само собой разумеется, что подобного рода процедуру следует трактовать не как полноценное математическое доказательство, а только как «наводящую» (эвристическую): в самом деле, при этом остается открытым вопрос о том, является ли математическая интерпретация строго адекватной физическому явлению или же дает лишь несовершенное отображение реальной действительности.

Иногда относящиеся сюда эксперименты, хотя бы они были воображаемыми, бывают способны воздействовать убеждающе даже на математиков. В прошлом столетии ряд фундаментальных теорем из области теории функций был открыт Риманом на основе придумывания простейших экспериментов, касающихся потока электричества в металлических листах.

В дальнейшем мы имеем в виду рассмотреть — на экспериментальнодемонстративной основе — одну из более глубоких вариационных проблем. Речь идет о так называемой проблеме Плато. Плато (1801–1883), известный физик, по национальности бельгиец, занимался интересными опытами, имеющими ближайшее отношение к этой проблеме. Сама по себе проблема гораздо старше по возрасту и относится к эпохе возникновения вариационного исчисления. В простейшей формулировке содержание ее таково: найти поверхность наименьшей площади, ограничен414 МАКСИМУМЫ И МИНИМУМЫ гл. VII ную данным замкнутым пространственным контуром. Мы рассмотрим также эксперименты, относящиеся к некоторым близким проблемам, и убедимся, что это позволит увидеть в новом свете как некоторые из приведенных выше экстремальных проблем, так и ряд экстремальных проблем нового типа.

2. Опыты с мыльными пленками. В математической постановке проблема Плато приводит к решению «дифференциального уравнения в частных производных» или же системы таких уравнений. Эйлер установил, что всякая «минимальная» поверхность, решающая эту проблему, если только не сводится к плоскости, непременно должна быть во всех своих точках «седлообразной» и что ее средняя кривизна всюду должна равняться нулю1. В течение последнего столетия решение было получено во множестве частных случаев, но существование решения в общем случае было доказано лишь недавно Дж. Дугласом и Т. Радо.

Опыты Плато непосредственно дают физические решения для самых разнообразных контуров. Если замкнутый контур, сделанный из проволоки, погрузить в жидкость со слабым поверхностным натяжением и затем вынуть оттуда, то увидим пленку, натянутую на контуре в форме минимальной поверхности с наименьшей площадью. (Предполагается, что можно пренебречь силой тяжести и другими силами, препятствующими стремлению пленки достигнуть устойчивого равновесия; последнее же наступает в том случае, если площадь пленки оказывается наименьшей, так как потенциальная энергия, возникающая вследствие поверхностного натяжения, при этом условии минимальна.) Вот хороший рецепт для получения такой жидкости: растворите 10 г чистого сухого олеата натрия в 500 г дистиллированной воды и затем смешайте 15 кубических единиц раствора с 11 кубическими единицами глицерина. Пленки, получаемые из указанной смеси на каркасах из латунной проволоки, сравнительно устойчивы. Сами каркасы не должны превышать 5–6 дюймов в диаметре.

С помощью пленок очень легко «решить» проблему Плато: достаточно придать проволочному каркасу нужную форму. Красивые модели поверхностей получаются на полигональных каркасах, образованных из последовательностей ребер правильных многогранников. В частности, любопытно погрузить в наш раствор каркас куба весь целиком. ТоСредняя кривизна поверхности в точке P определяется следующим образом.

Вообразим перпендикуляр к поверхности в точке P и все плоскости, через него проходящие. Эти плоскости пересекаются с данной поверхностью по кривым, которые в точке P имеют, вообще говоря, различную кривизну. Рассмотрим, в частности, кривые, обладающие наибольшей и наименьшей кривизной (соответствующие секущие плоскости, как можно доказать, перпендикулярны между собой). Полусумма этих двух кривизн и есть средняя кривизна поверхности в точке P.

§ 11 ОПЫТЫ С МЫЛЬНЫМИ ПЛЕНКАМИ гда получается система поверхностей, пересекающих друг друга под углом в 120. (Если куб вынимать из раствора очень осторожно, то можно насчитать тринадцать почти плоских поверхностей.) Потом можно протыкать и уничтожать поверхности одну за другой, пока не останется только одна поверхность, ограниченная замкнутым полигональным контуром. Таким образом можно получить целый ряд прекрасных поверхностей. Тот же опыт можно проделать и с тетраэдром.

3. Новые опыты, относящиеся к проблеме Плато. Опыты с пленками не сводятся к демонстрации минимальной поверхности, натянутой на замкнутый кон- Рис. 240. На кубическом каркасе натянуто 13 почти плостур (как у Плато); диапазон их гораздо шиких поверхностей ре. В последнее время проблема минимальных поверхностей была изучена не только для одного ограничивающего контура, но и для системы таких контуров; кроме того, было обращено внимание и на возможность образования минимальных поверхностей более сложной топологической структуры. Так, существуют односторонние минимальные поверхности и минимальные поверхности рода, отличного от нуля. Возникающие более общие проблемы порождают изумительное разнообразие геометрических явлений, которые могут быть продемонстрированы с помощью мыльных пленок. Заметим в связи с этим, что очень полезно проволочные каркасы делать гибкими и изучать изменение формы поверхности пленки под влиянием непрерывной деформации каркаса. Дадим описание некоторых опытов.

1. Если граничный контур представляет собой окружность, то получается поверхность в виде кругового диска. Можно было бы ожидать, что при непрерывной деРис. 241.

формации контура минимальная поверхность Односторонняя всегда будет сохранять тот же топологичеповерхность (лента ский характер. Но это неверно. Если изоМёбиуса) гнуть контур так, как показано на рис. 241, то вместо поверхности, топологически эквивалентной диску, получается односторонняя лента Мёбиуса. Обратно, можно производить 416 МАКСИМУМЫ И МИНИМУМЫ гл. VII деформацию, исходя из контура, изображенного на чертеже, с натянутой на него пленкой в виде ленты Мёбиуса. Для осуществления непрерывной деформации следует припаять к каркасу рукоятки (см. тот же рисунок). В процессе обратной деформации наступает момент, когда внезапно топологический характер пленки меняется и возникает снова поверхность типа диска (рис. 242). Опять, обращая деформацию, мы вернемся к поверхности Мёбиуса. Замечательно, однако, то, что «мутация» дискообразной поверхности в поверхность типа Мёбиуса происходит на более поздней стадии деформации, чем при обратном процессе. Это показывает, что существует непрерывная цепь замкнутых пространственных контуров, для которых и поверхности типа Мёбиуса, и дискообразные поверхности устойчивы, т. е. доставляют относительные минимумы. Но если поверхность типа Мёбиуса обладает значительно меньшей площадью, чем другая, то эта последняя все же слишком неустойчива, чтобы существовать физически.

2. Можно натянуть минимальную поверхность на систему контуров, состоящих из двух окружностей. Вынув каркас из раствора, мы получаем не одну поверхность, Рис. 242. Двусторонняя поа структуру, состоящую из трех поверхноверхность стей, смыкающихся под углом в 120; одна из них — обыкновенный круговой диск, плоскость которого параллельна плоскостям граничных окружностей (рис. 243). Уничтожая этот диск, мы получим, далее, классический катеноид (поверхность, образуемую вращением цепной линии, о которой шла речь на стр. 404, около прямой, перпендикулярной к оси симметрии). При раздвигании граничных контуров наступает момент, когда двусвязный катеноид лопается и превращается в два отдельных диска. Указанный процесс, конечно, необратим.

3. Еще один замечательный пример доставляется каркасом, изображенным на рис. 244–246; на этот каркас могут быть натянуты три различные минимальные поверхности. Одна из них (рис. 244) имеет род 1, тогда как две другие односвязны и в некотором смысле обладают свойством взаимной симметрии. Две последние поверхности имеют одну и ту же площадь, если только контур вполне симметричен. Но в противном случае только одна из поверхностей обеспечивает абсолютный минимум площади, тогда как другая — только относительный (мы предполагаем при этом, что минимум разыс§ 11 ОПЫТЫ С МЫЛЬНЫМИ ПЛЕНКАМИ кивается только по отношению к односвязным поверхностям). Возможность образования поверхности рода 1 обусловливается тем обстоятельством, что, допуская поверхности рода 1, можно получить поверхность меньшей площади, чем для какой бы то ни было односвязной поверхности. При деформации контура мы придем, если только деформация будет достаточно сильно выражена, к такому положению, когда указанное свойство будет уже утеряно: тогда поверхность рода 1 потеряет свою устойчивость и, внезапно разрываясь, превратится в односвязную поверхность одного из двух типов, изображенных на рис. 245 и 246.

Если, с другой стороны, мы станем исходить из поверхности одного из этих двух типов, — например, изображенного на рис. 246, то возможно деформировать контур таким образом, что другой Рис. 243. Система трех поверхтип (см. рис. 245) станет гораздо боностей лее устойчивым. Следствием этого явится тот факт, что в определенный момент произойдет внезапный переход от одного типа к другому. Медленно обращая всю деформацию в обратном направлении, вернем контур снова к исходному положению, но уже с иной натянутой на нем минимальной поверхностью. Можно снова повторить весь процесс в обратном направлении; таким образом, можно многократно повторять переход от одного типа поверхности к другому. Оперируя контуром надлежащим образом, удается Рис. 244–246. На каркасе натянуты три различные поверхности родов 0 и 418 МАКСИМУМЫ И МИНИМУМЫ гл. VII также трансформировать одну из односвязных поверхностей в поверхность рода 1. Для этой цели нужно сблизить между собой те части Рис. 247. Односторонняя минимальная поверхность более сложной топологической структуры, натянутая на простой замкнутый контур контура, на которые натянуты дискообразные части самой поверхности — с таким расчетом, чтобы поверхность рода 1 стала гораздо более устойчивой. Иногда в процессе выполнения описанной выше операции с контуром возникают промежуточные пленочные поверхности: их нужно уничтожать, чтобы получилась поверхность рода 1.

Pages:     | 1 |   ...   | 57 | 58 || 60 | 61 |   ...   | 76 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.