WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 56 | 57 || 59 | 60 |   ...   | 76 |

В проблеме Штейнера, относящейся к трем «деревням», область изменения точки P есть вся плоскость, причем данные три точки A, B, C могут считаться граничными. И в этом случае возникают две возможности, дающие решение существенно различного характера: или минимум достигается внутри треугольника ABC (и тогда около точки P возникают три равных угла), или он достигается в одной из вершин — граничных точек области изменения. Подобные альтернативы имеют место и для дополнительной проблемы.

Рассмотрим, наконец, в качестве последнего примера изопериметрическую проблему с добавочными граничными условиями. Мы установим при этом замечательную связь между изопериметрической проблемой и проблемой Штейнера и, помимо того, повстречаемся с простейшим примером экстремальной проблемы нового типа. В исходной изопериметрической проблеме замкнутая кривая данной длины, играющая роль независимого переменного, может быть свободно деформируема, как угодно отклоняясь от окружности, и любая получаемая кривая является «допустимой»; таким образом, окружность дает настоящий свободный минимум. Видоизмененная проблема содержит дополнительное требование: допустимые кривые C должны заключать внутри себя данные точки P, Q, R (или должны проходить через них); как и раньше, площадь A считается заданной, и предлагается минимизировать длину L. В этом примере мы имеем «граничное» условие в настоящем смысле слова.

Ясно, что при достаточно большом значении A три точки P, Q, R не оказывают на решение проблемы никакого влияния. В самом деле, если 406 МАКСИМУМЫ И МИНИМУМЫ гл. VII P P Q R Q R P P P P R Q Q Q Q R R R Рис. 231–235. Изопериметрические фигуры, в пределе дающие решение проблемы Штейнера только A больше (или равно) площади круга, описанного около треугольника P QR, решение дается просто-напросто окружностью, охватывающей эти точки. Но что получается в противном случае Укажем только результаты, оставляя в стороне детали доказательства, впрочем, вполне элементарного. Итак, постараемся охарактеризовать решение проблемы, предполагая, что данное числовое значение A постепенно становится меньше и, наконец, обращается в нуль. Как только A делается меньше, чем площадь описанного круга, изопериметрическая окружность превращается в три круговые дуги одного и того же радиуса, образующие выпуклый треугольник с вершинами P, Q, R (рис. 232).

Этот треугольник и дает решение проблемы; он определяется полностью числовым значением A. При убывании A радиус дуг увеличивается, и дуги выпрямляются; когда A становится равным площади треугольника P QR, этот самый треугольник и дает решение. Если A становится еще меньше, то снова получаются треугольники, составленные из круговых дуг одного и того же радиуса, но с выпуклостью, обращенной внутрь треугольника, с вершинами — или, лучше сказать, «рожками» — в точках P, Q, R (рис. 233). При дальнейшем убывании A наступит момент, когда две круговые дуги, смыкающиеся у одной из данных точек, например R, станут касательными друг к другу. Еще далее, треугольники указанного типа уже перестанут быть возможными, и тогда обнаруживается новое явление: решение, как и перед тем, дается вогнутым треугольником, составленным из круговых дуг, но один из «рожков» R отделяется от точки R, и решение тогда состоит из кругового треугольника P QR с добавлением «дважды считаемого» (от R к R и обратно) прямолинейного отрезка RR. Этот отрезок касается двух круговых дуг, смыкающихся в § 10 ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ точке R. Когда A убывает еще дальше, «рожки» отделяются и у прочих вершин. При достаточно малых положительных значениях A мы будем иметь равносторонний треугольник, составленный из трех круговых дуг одного и того же радиуса, касающихся друг друга в вершинах P, Q, R, с добавлением трех «дважды считаемых» отрезков P P, Q Q, R R (рис. 234). Наконец, при обращении A в нуль названный треугольник обращается в точку, и мы получаем решение проблемы Штейнера, которая, таким образом, оказывается предельным случаем обобщенной (указанным выше способом) изопериметрической проблемы.

Если P, Q, R образуют тупоугольный треугольник с углом в или больше, то при стремлении A к нулю в пределе также получается решение проблемы Штейнера, так как круговые дуги в конце концов сливаются со сторонами тупого угла. Аналогичным образом, путем предельного перехода от изопериметрической проблемы, могут быть получены и решения обобщенной проблемы Штейнера (см. рис. 216–218 на стр. 382).

§ 10. Вариационное исчисление 1. Введение. Изопериметрическая проблема представляет собой, пожалуй, самый старый пример обширного класса важных проблем, к которым было привлечено общее внимание в 1696 г. Иоганном Бернулли. В «Acta Eruditorum», выдающемся научном журнале той эпохи, он поставил следующую проблему «о брахистохроне». Материальная частица скользит без трения по некоторой кривой, соединяющей выше расположенную точку A с ниже расположенной точкой B. Предполагая, что на частицу не действуют никакие силы, кроме силы тяжести, требуется установить, какова должна быть кривая AB, чтобы время, нужное для спуска от A к B, было наименьшим. Легко понять, что для спуска частицы от A к B необходимо то или иное время в зависимости от выбора пути. Прямолинейный отрезок никоим образом не обеспечивает наименьшего времени; то же приходится сказать о круговых дугах и других элементарных кривых. Бернулли объявил, что он обладает замечательным решением поставленной задачи, которого, однако, не хочет пока публиковать, имея в виду побудить крупнейших математиков своего времени приложить свое искусство к математическим задачам нового типа. В частности, он вызвал на состязание своего старшего брата Якоба, с которым был тогда в резко враждебных отношениях и открыто именовал невеждой. Своеобразие задачи о брахистохроне вскоре действительно было оценено математическим миром. В проблемах, исследованных до того времени с помощью дифференциального исчисления, подлежащая минимизации величина зависела от одной или нескольких (в конечном числе) числовых переменных; в этой же задаче 408 МАКСИМУМЫ И МИНИМУМЫ гл. VII рассматриваемая величина — время спуска — зависит от всей кривой в целом, чем и обусловливается существенное различие; именно по указанной причине задача о брахистохроне не могла быть решена ни методом дифференциального исчисления, ни каким-либо другим, известным в те времена приемом.

Новизна поставленной проблемы (по-видимому, то обстоятельство, что доказательство изопериметрического свойства круга представляет собой вопрос той же природы, не было тогда еще осознано) подействовала на современников Бернулли, в особенности когда выяснилось, что решением задачи является циклоида — как раз незадолго до того открытая кривая. (Напомним определение циклоиды: так называют траекторию движения точки, находящейся на окружности, которая катится без скольжения по прямой линии — рис. 236. Эта кривая уже раньше была поставлена в связь с некоторыми интересными задачами механического содержания, в частности, с конструированием идеального маятника.) Гюйгенс установил, что если тяжелая частица (точка) совершает (без трения, под влиянием силы тяжести) колебательное движение по циклоиде, расположенной в вертикальной плоскости, то период колебания не зависит от амплитуды (размаха). Напротив, на круговой дуге, представляющей собой траекторию движения обыкновенного маятника, такого рода независимость имеет лишь приближенный характер, и в этом обстоятельстве усматривалась непригодность круговой дуги при конструировании точных часов. Циклоиде было присвоено, в связи с указанным обстоятельством, наименование таутохроны, но теперь она стала именоваться также и брахистохроной1.

Рис. 236. Циклоида 2. Вариационное исчисление. Принцип Ферма в оптике.

Среди различных методов, с помощью которых решение брахистохронной проблемы было найдено братьями Бернулли и другими учеными, мы выберем и изложим здесь один из самых ранних в историческом смысле.

Первые предложенные методы носили более или менее специальный характер, будучи более приспособлены к специфическим задачам. Но очень скоро Эйлер и Лагранж (1736–1813) разработали более общие методы для решения экстремальных проблем, в которых независимым Таутохрона — от греч. (равно), (время); брахистохрона — от греч.

(короткий),. — Прим. ред.

§ 10 ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ элементом является не одна или несколько (в конечном числе) числовых переменных, а кривая или функция в целом, или даже система кривых (функций). Новый метод решения подобного рода проблем получил название вариационного исчисления.

Дать здесь изложение этой ветви математики в ее техническом аспекте или же проанализировать сколько-нибудь глубоко отдельные относящиеся сюда проблемы не представляется возможным. Вариационное исчисление имеет множество применений в физических теориях.

Было замечено с давних пор, что явления природы часто следуют тем или иным экстремальным принципам. Как мы уже видели, Герон Александрийский усмотрел, что отражение светового луча плоским зеркалом хорошо описывается на основе принципа минимума. Ферма — уже в XVII столетии — сделал следующий шаг, заметив, что и закон преломления света также прекрасно выражается в терминах минимального принципа. Отлично известно, что при переходе светового луча из одной однородной среды в другую путь его изменяет направление.

Так, световой луч, идущий из точки P (рис. 237) в верхней среде, где скорость равна v, в точку R в нижней среде, где скорость есть w, совершит ломаный путь P QR. Снеллиус (1591–1626) сформулировал найденный им эмпирическим путем закон, P согласно которому путь состоит из двух прямолинейных отрезков P Q и QR, обраI зующих с нормалью углы и, причем sin v =. С помощью дифференциально Q sin w II го исчисления Ферма установил, что этот путь как раз обладает тем свойством, что R время, нужное для прохода луча из P в R, минимально, т. е. меньше, чем понадобиРис. 237. Преломление светолось бы при прохождении по любому инового луча му пути. Таким образом, спустя шестнадцать столетий геронов закон отражения света был дополнен подобным ему и столь же важным законом преломления.

Ферма обобщил формулировку этого закона, распространяя его на случай кривых поверхностей раздела между двумя средами, каковы, например, сферические поверхности линз. Оказывается, что и в этом случае световой луч следует пути, обладающему тем свойством, что время, нужное для его прохождения, меньше, чем понадобилось бы при выборе любого другого пути. Наконец, Ферма рассмотрел и случай произвольной оптической системы, в которой скорость света меняется по определенному закону от точки к точке, например так, как это происходит в атмосфере. Он разделил непрерывную неоднородную среду 410 МАКСИМУМЫ И МИНИМУМЫ гл. VII на тонкие слои, в каждом из которых скорость света приблизительно постоянна, и представил себе новую, воображаемую среду, в которой скорость света действительно постоянна в пределах каждого слоя. При таких условиях можно было применять прежний принцип при переходе от каждого слоя к следующему. Затем, допуская, что толщина каждого слоя стремится к нулю, он получил общий принцип геометрической оптики (известный ныне под именем принципа Ферма): в неоднородной среде световой луч, идущий от одной точки к другой, следует по такому пути, что время, нужное для его прохождения, меньше, чем понадобилось бы при прохождении любого иного пути. Этот принцип оказался в высшей степени полезным не только теоретически, но и практически. В геометрической оптике, оперируя техническим аппаратом вариационного исчисления, пользуются этим принципом как основным орудием при расчетах систем линз.

Минимальные принципы стали затем господствующими и в других областях физики. Так, было замечено, что устойчивое равновесие механической системы бывает достигнуто при таком расположении, при котором «потенциальная энергия» минимальна. Рассмотрим, например, свободно изгибаемую однородную цепь, подвешенную за два ее конца и предоставленную действию силы тяжести. Тогда цепь займет именно такое положение, при котором потенциальная энергия ее будет наименьшей. В указанном примере потенциальная энергия зависит от высоты центра тяжести относительно некоторой постоянной оси. Кривая, образованная свободно подвешенной цепью, называется цепной линией и по внешнему виду несколько напоминает параболу.

Не только закон равновесия, но и законы движения подчиняются экстремальным принципам. Отчетливые представления об этих принципах впервые возникли у Эйлера, тогда как люди, склонные к спекулятивным размышлениям философского и мистического характера, как, например, Мопертюи (1698–1759), не были способны дать точные математические формулировки и ограничивались смутными высказываниями по поводу «божественного регулирования физических явлений общими принципами наивысшего совершенства». Эйлеровы вариационные принципы в области физики, вновь открытые и обобщенные ирландским математиком Гамильтоном (1805–1865), стали впоследствии могущественнейшим орудием в таких областях, как механика, оптика, электродинамика, самые разнообразные технические науки. Физические теории недавнего происхождения — теория относительности и квантовая теория — полны примеров, обнаруживающих значение методов вариационного исчисления.

3. Решение задачи о брахистохроне, принадлежащее Якобу Бернулли. Ранний метод, примененный к решению проблемы о брахистохроне Якобом Бернулли, может быть изложен с применени§ 10 ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ем сравнительно скромных математических средств. Возьмем в качестве исходного тот известный из механики факт, что материальная частица, начинающая свой путь в точке A с нулевой скоростью и затем скользящая вниз по произвольной кривой C, приходит в некото рую точку P со скоростью, пропорциональной величине h, где h есть отсчитываемое по вертикали расстояние точки P от точки A; иначе говоря, мы имеем зависимость v = c h, где c — постоянный коэффициент. Подвергнем рассматриваемую задачу легкому видоизменению.

Разобьем мысленно пространство на множество горизонтальных слоев, каждый толщиной d, и предположим на минуту, что скорость нашей частицы меняется не непрерывно, а небольшими скачками — при переходе от слоя к слою; именно в первом слое, прилежащем непосред ственно к A, скорость равна c d, во втором c 2d, наконец в n-м точке c nd = c h, где h — расстояние P от A, отсчитываемое по вертикали (рис. 238). При такой постановке задачи мы имеем дело с конечным числом переменных. В пределах каждого слоя путь частицы должен быть A прямолинейным. Вопрос о существовании экстремума не возникает; решение должно даваться ломаной линией; нужно только определить ее углы при верP шинах. Согласно минимальному принципу простого преломления, в каждой Рис. 238. К проблеме брахистопаре соседних слоев движение от P к R хроны через Q таково, что при фиксированных P и R точка Q соответствует наименьшему времени пути. Отсюда вытекает следующий «закон преломления»:

sin sin.

Pages:     | 1 |   ...   | 56 | 57 || 59 | 60 |   ...   | 76 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.