WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 55 | 56 || 58 | 59 |   ...   | 76 |

Насколько существенно свойство компактности области, в которой изменяется независимое переменное, обнаруживает следующий пример.

Если заданы две замкнутые кривые C1 и C2, то всегда можно найти на Cи C2 соответственно две такие точки P1 и P2, что расстояние между ними минимально, и можно найти две такие точки Q1 и Q2, что расстояние между ними максимально. Действительно, расстояние между точкой A1 на C1 и точкой A2 на C2 есть непрерывная функция, заданная на компактном множестве, элементы которого — пары точек A1, A2.

Напротив, если данные кривые, не будучи замкнутыми, уходят в бесконечность, проблема может и не иметь решения. На рис. 224 изображены две такие кривые, что ни наименьшее, ни наибольшее расстояния между соответственно принадлежащими им точками не достигаются: при этом нижняя граница расстояний равна нулю, а верхняя граница бесконечна.

В иных случаях существует минимум, но не существует максимума.

Так, в случае двух ветвей гиперболы (рис. 17, стр. 96) минимальное расстояние реализуется для вершин A и A, тогда как нельзя указать пары точек, между которыми расстояние было бы максимальным.

CCРис. 224. Кривые, между которыми нет ни наименьшего, ни наибольшего расстояния Нетрудно понять, чем обусловливается различие между двумя предыдущими примерами; для этого достаточно искусственно ограничить область изменения переменных. Возьмем произвольное положительное число R и подчиним абсциссы точек ограничению |x| R. Тогда для обеих проблем будет существовать и минимум и максимум. Но в первом примере и минимум и максимум достигаются на границе области, каково бы ни было R, и при неограниченном возрастании R соответствующие точки удаляются в бесконечность. Напротив, во втором примере минимальное расстояние достигается внутри области, и точки, его реализующие, остаются неподвижными, как бы ни возрастало R.

4. Трудности, возникающие в более сложных случаях. Если вопрос о существовании экстремума не представляет серьезных за400 МАКСИМУМЫ И МИНИМУМЫ гл. VII труднений в элементарных проблемах, зависящих от одной, двух или, вообще, конечного числа переменных, то дело обстоит совсем иначе в случае проблемы Дирихле или даже в случае более простых проблем такого же типа. Причина кроется или в том, что область изменения независимого переменного оказывается некомпактной, или в том, что рассматриваемая функция не является непрерывной. В первом примере пункта 2 мы имеем множество путей AO B, причем O стремится к A. Все такие пути, с точки зрения условия проблемы, одинаково допустимы. Но пути AO B в пределе переходят в прямолинейный отрезок AB, который сам уже не представляет собой допустимого пути.

Множество допустимых путей в этом примере подобно множеству чисел 0 < x 1, для которого не имеет места теорема Вейерштрасса об экстремальных значениях (см. стр. 336). Точно такое же положение вещей и во втором примере: если конусы становятся все тоньше и тоньше, последовательность соответствующих поверхностей в пределе переходит в диск с перпендикуляром, торчащим вверх и заканчивающимся точкой S. Но этот предельный геометрический образ уже не может быть причислен к «допустимым» поверхностям: множество «допустимых» поверхностей и на этот раз не оказывается компактным.

В качестве примера зависимости, не обладающей свойством непрерывности, рассмотрим длину кривой. Длину кривой нельзя считать функцией от конечного числа числовых переменных, так как кривая в целом не может быть характеризована конечным числом «координат», и зависимость длины кривой от самой кривой не является непрерывной. Чтобы убедиться в этом, соединим две точки A и B, отстоящие одна от другой на расстоянии d, зигзагообразной ломаной Pn, вместе с отрезком AB образующей n равносторонних треугольников. Из рис. 225 ясно видно, что длина Pn при любом n равна в точности 2d.

Рассмотрим теперь последовательность ломаных Рис. 225.

линий P1, P2,... Отдельные зигзаги ломаной лиПриближение отрезка нии Pn уменьшаются по своей высоте, в то время ломаными линиями как число их увеличивается, и совершенно ясно, что ломаная Pn в пределе переходит в прямолинейный отрезок AB, в котором уже нет и следов «зигзагообразности». Но длина Pn все время равна 2d, каково бы ни было n, тогда как длина предельного отрезка AB равна всего лишь d. Длина кривой, таким образом, не зависит «от самой кривой» непрерывно.

Все приведенные примеры подтверждают, что при исследовании во§ 8 ИЗОПЕРИМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОБЛЕМА проса о существовании решения экстремальных проблем в более сложных случаях следует проявлять крайнюю осмотрительность.

§ 8. Изопериметрическая проблема Что среди всех замкнутых кривых данной длины именно окружность охватывает наибольшую площадь, — это один из «очевидных» фактов математики, строгое доказательство которых возможно только на основе новейших методов. Несколько остроумных Q способов доказательства этой теоремы предложил Штейнер; мы рассмотрим одно из его II O P доказательств.

I Начнем с допущения, что решение проQ блемы существует. Приняв это, предположим, что это решение осуществляется некоторой кривой C, имеющей длину L и охватывающей максимальную площадь. Легко Рис. 226. К доказательдоказать, что кривая C выпуклая: это знаству решения изопериметчит, что прямолинейный отрезок, соедирической проблемы няющий любые две точки C, лежит целиком внутри или на C. Если бы кривая C не была выпуклой, то, как показано на рис. 226, можно было бы указать отрезок OP, конечные точки которого находились бы на C, а сам он был бы вне C. Дуга OQ P — отражение дуги OQP относительно OP — образовывала бы вместе с дугой ORP кривую длины L, охватывающую площадь б ольшую, чем охватывает данная кривая C, так как включала A B бы дополнительно площади I и II. Это противоречило бы допущению, что при данной длине L кривая C охватывает наибольшую площадь. Итак, кривая C должна быть выРис. 227. К доказательству пуклой. Возьмем теперь какие-нибудь две решения изопериметричеточки A, B, которые делят кривую C (явской проблемы ляющуюся решением проблемы) на две дуги равной длины. Тогда отрезок AB разделит область, ограниченную кривой C, на две равновеликие области.

В самом деле, если бы площади двух областей не были равны, то область большей площади можно было бы отразить относительно AB (рис. 227), и тогда получилась бы замкнутая кривая длины L, охватывающая площадь большую, чем та, которую охватывает кривая C.

Отсюда следует, что любая незамкнутая кривая, представляющая собой половину (по длине) кривой C, является решением следующей пробле402 МАКСИМУМЫ И МИНИМУМЫ гл. VII L мы: найти дугу длины с конечными точками A, B, охватывающую вместе с отрезком AB максимальную площадь. Мы покажем теперь, что решением этой новой проблемы является полуокружность, и тогда будет ясно, что решением основной проблемы является окружность. Итак, пусть дуга AOB решает новую проблему. Достаточно убедиться в том, что всякий вписанный угол, например AOB (рис. 228), будет прямым:

отсюда будет вытекать, что дуга AOB — полуокружность. Допустим, напротив, что угол AOB не прямой. Заменим тогда треугольник AOB другим треугольником с теми же сторонами AO и OB, но с заключенным между ними углом в 90; тогда длина дуги AOB останется та L же, и притом заштрихованные фигуры не изменятся. Но площадь треугольника AOB при этом увеличится, так как треугольник с двумя данными сторонами имеет максимальную площадь при условии, что заключенный между ними угол — прямой (см. стр. 352). Итак, новая дуга AOB (рис. 229) вместе с отрезком AB охватит б площадь, ольшую чем первоначальная. Полученное противоречие приводит к заключению, что, какова бы ни была точка O на рассматриваемой дуге AB, угол AOB должен быть прямым. В таком случае доказательство можно считать законченным: кривая, решающая изопериметрическую проблему, есть окружность.

O O A B A B Рис. 228–229. К доказательству решения изопериметрической проблемы Изопериметрическое свойство окружности может быть выражено в форме неравенства. Если L есть длина окружности, то охватываемая Lею площадь равна, и потому, какова бы ни была замкнутая кривая, непременно оправдывается следующее изопериметрическое неравенство, связывающее длину кривой C и охватываемую ею площадь A:

LA.

Равенство здесь имеет место только в случае окружности.

* Как ясно из соображений, приведенных в § 7, доказательство Штейнера имеет лишь условное значение: «Если существует кривая C длины L, охватывающая максимальную площадь, то эта кривая — § 8 ИЗОПЕРИМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОБЛЕМА окружность». Чтобы установить справедливость указанной предпосылки, нужна существенно иная аргументация. Прежде всего установим теорему элементарного содержания: среди всевозможных замкнутых многоугольников Pn с четным числом сторон 2n и обладающих периметром заданной длины наибольшую площадь имеет правильный 2n-угольник. Доказательство строится по тому же образцу, что и приведенное выше доказательство Штейнера, со следующими изменениями.

С вопросом о существовании решения здесь трудностей не возникает:

2n-угольник, а также его периметр и площадь, зависит непрерывно от 4n координат его вершин, и, не ограничивая общности, область изменения этих координат (в 4n-мерном пространстве) можно сделать компактной. Таким образом, мы можем смело начинать с утверждения, что некоторый 2n-угольник P есть решение рассматриваемой теперь проблемы, и затем переходить к анализу его свойств. Как и в штейнеровском доказательстве, доказывается, что многоугольник P выпуклый.

Затем убедимся, что все 2n сторон P равны между собой. Допустим, напротив, что две смежные стороны AB и BC имеют различные длины; тогда можно от многоугольника P отрезать треугольник ABC и заменить его B B равнобедренным треугольником AB C, в котором AB + B C = AB + BC и площадь A C которого больше (см. § 1). Тогда мы полу чим многоугольник P с тем же периметром, но с большей площадью, вопреки сделанному допущению. Итак, все стороны P должны быть равны между собой. Остается показать, что многоугольник P правильный: для этого достаточно убедиться, что около P можно описать окружность.

Доказательство строится дальше, как у Штейнера. Устанавливаем прежде всего, Рис. 230. К доказательству что всякая диагональ, соединяющая протирешения изопериметричевоположные вершины, делит площадь на ской проблемы две равные части. Затем доказываем, что все вершины одного из многоугольников, возникающего при разрезании по диагонали, лежат на одной и той же окружности. Восстановить подробности намеченных доказательств (следующих образцу Штейнера) предоставляем читателю в качестве упражнения.

Существование решения изопериметрической проблемы доказывается с помощью предельного перехода: когда мы увеличиваем неограниченно число сторон 2n многоугольника P, он в пределе переходит в окружность. Этот же предельный переход дает, очевидно, и само решение.

404 МАКСИМУМЫ И МИНИМУМЫ гл. VII Рассуждение Штейнера непригодно для доказательства изопериметрического свойства сферы в трехмерном пространстве. Сам Штейнер дал несколько иную, более сложную трактовку этой проблемы, пригодную для пространственного случая, но мы не приводим ее, так как на ее основе трудно получить доказательство существования решения.

Вообще доказательство изопериметрического свойства сферы гораздо труднее, чем доказательство соответствующего свойства окружности;

в достаточно полном и строгом изложении оно было дано позднее Г. А. Шварцем в работе, чтение которой довольно затруднительно.

Свойство, о котором мы говорим, выражается в виде неравенства 36 V A3, где A — площадь замкнутой поверхости, V — охватываемый ею объем;

равенство осуществляется лишь для сферы.

*§ 9. Экстремальные проблемы с граничными условиями. Связь между проблемой Штейнера и изопериметрической проблемой Решение экстремальных проблем принимает своеобразные черты, если область значений переменного подчинена тем или иным граничным условиям. Теорема Вейерштрасса (утверждающая, что в компактной области непрерывная функция принимает наибольшее и наименьшее значения) не исключает возможности того, что эти экстремальные значения достигаются на границе области. В качестве простого, почти тривиального примера может служить функция u = x. Если x не подчинено никаким ограничениям и может изменяться от - до +, то область B независимого переменного есть вся действительная ось; отсюда легко понять, что функция u = x нигде не принимает ни наибольшего, ни наименьшего значения. Но если область B ограничена, например, неравенством 0 x 1, то налицо имеется и наибольшее значение 1, достигаемое на правом конце промежутка, и наименьшее значение 0, достигаемое на левом. Но этим экстремальным значениям не соответствует «вершина» или «впадина» графика рассматриваемой функции. Иначе говоря, эти экстремумы осуществляются относительно не «двусторонней» окрестности; оставаясь на концах промежутка, они смещаются при расширении рассматриваемого промежутка. Если речь идет о настоящей «вершине» или «впадине» кривой, то экстремальный характер относится к полной окрестности рассматриваемой точки; небольшие сдвиги границы промежутка никак не влияют на экстремум. Такого рода экстремум сохраняется даже при свободном изменении переменного во всей области B или по крайней мере в некоторой достаточно малой окрестности точки.

При самых разнообразных обстоятельствах поучительно уяснить себе § 9 ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ различие между «свободными» и «граничными» экстремумами. В случае функции одной переменной это различие, правда, стоит в тесной связи со свойствами монотонности или немонотонности функции и потому не приводит к каким-нибудь особенно интересным замечаниям. Но стоит остановиться несколько внимательнее на условиях достижения экстремума на границе области изменения в случае функций многих переменных.

Рассмотрим, например, проблему Шварца, касающуюся треугольника. Область изменения трех независимых переменных состоит здесь из троек точек P, Q, R, лежащих соответственно на сторонах треугольника ABC. Решение проблемы носит альтернативный характер: или минимум достигается при условии, что каждая из трех независимо движущихся точек P, Q, R находится внутри соответствующей стороны треугольника (и тогда задача решается высотным треугольником), или же минимум достигается «на границе», когда какие-то две из точек P, Q, R совпадают с общим концом двух смежных сторон (и тогда минимальный «треугольник» есть не что иное, как дважды считаемая высота данного треугольника). Характер решения — тот или иной, смотря по тому, которая из возможностей имеет место.

Pages:     | 1 |   ...   | 55 | 56 || 58 | 59 |   ...   | 76 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.